福建省罗源县高三数学 归纳与推理专项复习题 新人教A版.doc

福建省罗源县2013届高三数学 归纳与推理专项复习题 新人教a版一，归纳与推理1已知数列an的前n项和snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()ba.b. c. d.2利用归纳推理推断，当n是自然数时，(n21)1(1)n的值()ca一定是零 b不一定是整数 c一定是偶数 d是整数但不一定是偶数 解析当n1时，值为0；当n2时，值为0；当n3时，值为2；当n4时，值为0；当n5时，值为6.3对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的()a一条中线上的点，但不是中心 b一条垂线上的点，但不是垂心c一条角平分线上的点，但不是内心 d中心答案d 解析边的中点对应于面的中心4(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()ca2 b4c6 d8 解析因为其规律是a为肩上两数之和，故a336.(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()b各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等；各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等a b c d解析类比的原则是“类比前后保持类比的一致性，”而违背了这一原则5在平面几何中，若三角形内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积sr(abc)成立，类比上述结论，相应地，在立体几何中，若一个四面体的内切球的半径为r，四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，则这个四面体的体积v_成立6(2010陕西理)观察下列等式：132332,13233362根据上述规律，第五个等式为_答案1323334353632127在数列an中，a11，an1(nn*)，试猜想这个数列的通项公式解析a11，a2，a3，a4，猜想：an.一归纳与推理例1通过归纳推理完成下列各题：(1)观察下表113587911271315171964据此你可归纳猜想出的结论是_(2)观察下式：1322135321357421357952据此你可归纳猜想出的一般结论为_练习：1.当正三角形的边长为n(nn*)时，图(1)中点的个数为f3(n)123(n1)(n1)(n2)；当正方形的边长为n时，图(2)中点的个数为f4(n)(n1)2；在计算图(3)中边长为n的正五边形中点的个数f5(n)时，观察图(4)可得f5(n)f4(n)f3(n1)(n1)2(n1)(3n2)；.则边长为n的正k边形(k3，kn)中点的个数fk(n)_。答案(n1)(k2)n2解析观察对边长为n的正五边形的“分割”，那么对边长为n的正六边形分割时就又多了一个点数为f3(n1)的三角形，依次类推可以推知边长为n的正k(k5，kn)边形就可以分割为一个点数为f4(n)的四边形和k4个点数为f3(n1)的三角形，即fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)，并且这个规律对k3,4也成立，这样fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)(n1)2 (k4)(n1)(k2)n2(k3，kn).二类比例2在rtabc中，若c90，则cos2acos2b1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想分析考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体pabc，且三个面分别与面abc所成的二面角分别是、.解析如图，在rtabc中，cos2acos2b221.于是把结论类比到四面体pabc中，我们猜想，三棱锥pabc中，若三个侧面pab，pbc，pca两两互相垂直，且分别与底面所成的角为、，则cos2cos2cos21.练：已知等差数列an：7，5，3，1，1,3,5,7,9，设其前n项和为sn，易知a4a50，且有s1s7，s2s6，s3s5，一般地，对于等差数列an，其前n项和为sn，若存在kn*，k2，使akak10，则对任意的nn*，且n2k1，等式s2knsn恒成立请你用类比的方法，写出等比数列bn中相应的正确命题，并给予证明解析命题为：对于等比数列an，其前n项之积为tn，若存在kn*，k2，使bkbk11，则对任意nn*且n2k1等式t2kntn恒成立证明如下：设bn的公比为q，由bkbk11知，综合：例3椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：ab是椭圆1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点为的弦，m为ab的中点，则komkab那么对于双曲线则有如下命题：ab是双曲线1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，m为ab的中点，则komkab_。分析推理与证明是新增内容，也是一个重要内容，考试说明对推理论证能力的考查提出了较高的要求：能够根据已知的事实和已经获得的正确命题，运用归纳、类比和演绎的方法进行推理，论证某一命题的正确性解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，则有1，1.两式相减得，即，即，即komkab.一、选择题1(2010山东文)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()af(x)bf(x)cg(x)dg(x)答案d解析本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选d，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查2观察下式：112,23432,3456752,4567891072，则第n个式子是()an(n1)(n2)(2n1)n2 bn(n1)(n2)(2n1)(2n1)2cn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2答案c解析由类比推理可知等号左边应有2n1项，右边是(2n1)2.3已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是()a(3,8) b(4,7) c(4,8) d(5,7)答案d解析观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由60n(n1)120，nz，n10时，55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第60个数对是(5,7)4如图所示，把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是()a27 b28 c29 d30答案b解析a11，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，ann(n1)(n2)21，a728.5如图所示：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟内它由原点运动到(0,1)，而后接着按图所示在与x轴，y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是()a(44,25) b(45,25) c(25,45) d(24,44)答案d解析质点到达(1,1)处，走过的长度单位是2，方向向右；质点到达(2,2)处，走过的长度单位是624，方向向上；质点到达(3,3)处，走过的长度单位是12246，方向向上；猜想：质点到达(n，n)处，走过长度单位是2462nn(n1)，且n为偶数时运动方向与x轴正向相反，n为奇数时运动方向与y轴正向相反所以2000秒后是指质点到达(44,44)后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是(24,44)6(2011烟台模拟)函数f(x)由下表定义：x25314f(x)12345若a05，an1f(an)，n0,1,2，则a2011()a1 b2 c4 d5答案c解析由a05，an1f(an)，n0,1,2，得a1f(a0)f(5)2；a2f(a1)f(2)1；a3f(a2)f(1)4；a4f(a3)f(4)5；a5f(a4)f(5)2；说明递推数列a05，an1f(an)是周期为4的数列a2011f(a2010)f(1)4.7设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球的半径为r，四面体pabc的体积为v，则r()a. b.c. d.答案c解析类比条件，分母应为4个面面积的和，分子应为体积v的3倍证明如下：设四面体的内切球球心为o，那么由vpabcvoabcvopabvopacvopbc，即：vs1rs2rs3rs4r，可得：r.8自然数按下表的规律排列1251017 | | | |4 3 6 11 18 | | |9 8 7 12 19 | |16 15 14 13 20 |25 24 23 22 21则上起第2 007行，左起第2 008列的数为()a2 0072b2 0082c2 0062 007 d2 0072 008答案d解析经观察可得这个自然数表的排列特点：第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；第一行第n个数为(n1)21；第n行从第1个数至第n个数依次递减1；第n行从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为(2 0081)212 0062 0072 008.二、填空题9(2011安师大附中期中)观察下图：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10则第_行的各数之和等于2 0092.答案1 005解析通过观察题图可发现规律：第n行的第一个数为n，且第n行共有2n1个连续的正整数，故由(2n1)n1(2n1)22 0092，得n1 005.10(2010浙江文)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n1列的数是_.答案n2n解析本题考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求考生能从给出的信息总结规律，归纳结论由图表知，第n行的数构成首项为n，公差为n的等差数列，第n行第n1列的数为：n(n11)nn2n.11(2010湖南理)若数列an满足：对任意的nn*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nn*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.答案2n2解析因为am5，而ann2，所以m1,2，所以(a5)*2.因为(a1)*0，(a2)*1，(a3)*1，(a4)*1，(a5)*2，(a6)*2，(a7)*2，(a8)*2，(a9)*2，(a10)*3，(a11)*3，(a12)*3，(a13)*3，(a14)*3，(a15)*3，(a16)*3.所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，(a4)*)*16.猜想(an)*)*n2.三、解答题12若函数f(x)，g(x)，分别计算g(4)2f(2)g(2)和g(6)2f(3)g(3)的值，由此归纳出函数f(x)和g(x)的对于所有实数x都成立的一个等式，并加以证明解析g(4)2f(2)g(2)0，g(6)2f(3)g(3)0，由此归纳出g(2x)2f(x)g(x)0，证明如下：g(2x)2f(x)g(x)20.13观察下列各式：sin25sin265sin2125.sin230sin290sin2150.sin245sin2105sin2165.归纳猜想出一个一般性命题，并给出证明解析一般性的命题为：sin2sin2(60)sin2(120).证明如下：左边cos2cos(1202)cos(2402)cos2cos120cos2sin120sin2cos240cos2sin240sin2右边所以命题得证14已知f(x)且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足xn1f(1)1f(2)1f(n)，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通项分析(1)先由f(1)，f(2)的值求出a，b的值；(2)然后通过计算x1，x2，x3，x4归纳出通项公式解析(1)把f(1)log162，f(2)1，代入函数表达式得，整理得，解得于是f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x2，x3，x4.(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为，便可猜想xn.15在abc中，abac，adbc于d，求证：，那