山东省潍坊市中考数学复习 第3章 函数 第12讲 二次函数的图象与性质课件.ppt

第三章函数第12讲二次函数的图象与性质 考点梳理过关 考点1二次函数表达式的三种形式6年6考 1 一般式 y ax2 bx c a b c为常数 a 0 2 顶点式 y a x h 2 k a h k为常数 a 0 3 交点式 y a x x1 x x2 x1 0 x2 0 为抛物线与x轴的交点 a 0 考点2二次函数的图象与性质6年2考 1 原点与抛物线和y轴的交点c之间的线段oc c 2 原点与抛物线和x轴的交点a b之间的线段oa x1 ob x2 3 抛物线与x轴两交点之间的线段ab x2 x1 4 抛物线的顶点到x轴的垂线段mh 考点3二次函数中重要的线段6年1考 考点4抛物线的平移规律6年1考 因为平移不改变图形的形状和大小 所以抛物线的平移可归结为顶点的平移 即将已知的二次函数化为顶点式 y a x h 2 k a 0 后 a不变 仅是顶点的横 纵坐标变 其变化规律是 h的正 负 左 右移 k的正 负 上 下移 如将y a x h 2 k a 0 向左 向右 平移m m 0 个单位 则为y a x h m 2 k 若再向上 向下 平移n n 0 个单位 则为y a x h 2 k n 考点5二次函数与一元二次方程的关系6年2考 1 二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的根 2 对于二次函数y ax2 bx c b2 4ac的符号 0 0 或 0 抛物线与x轴有两个不同的交点 相应的一元二次方程有 两个不相等的实数根 2 当b2 4ac 0 抛物线与x轴有唯一的公共点 相应的一元二次方程有 两个相等的实数根 3 当b2 4ac 0 抛物线与x轴无交点 相应的一元二次方程 无实数根 3 若抛物线与x轴有两个交点为a x1 0 b x2 0 则抛物线的对称轴是 两交点间距离ab x2 x1 典型例题运用 类型1二次函数的图象与性质 例1 2017 日照中考 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线x 2 与x轴的一个交点坐标为 4 0 其部分图象如图所示 下列结论 抛物线过原点 4a b c 0 a b c 0 抛物线的顶点坐标为 2 b 当x 2时 y随x增大而增大 其中结论正确的是 a b c d c 技法点拨 此类题解法通常从七个方面探讨 1 开口方向 2 抛物线与y轴交点位置 3 对称轴 4 顶点的位置 5 抛物线与x轴交点情况 6 自变量取特殊值时的函数值 7 以方程组或不等式组的思想为指导 运用一些技巧解决 变式运用 1 2017 烟台中考 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 对称轴是直线x 1 下列结论 ab4ac a b c 0 3a c 0 其中正确的是 a b c d c 类型2二次函数的综合题 例2 2017 聊城中考 如图 已知抛物线y ax2 2x c与y轴交于点a 0 6 与x轴交于点b 6 0 点p是线段ab上方抛物线上的一个动点 1 求这条抛物线的表达式及其顶点坐标 2 当点p移动到抛物线的什么位置时 使得 pab 75 求出此时点p的坐标 3 当点p从a点出发沿线段ab上方的抛物线向终点b移动 在移动中 点p的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动 与此同时点m以每秒1个单位长度的速度沿ao向终点o移动 点p m移动到各自终点时停止 当两个移点移动t秒时 求四边形pamb的面积s关于t的函数表达式 并求t为何值时 s有最大值 最大值是多少 思路分析 1 由a b坐标 利用待定系数法可求得抛物线的表达式 化为顶点式可求得顶点坐标 2 过点p作pc y轴于点c 由条件可求得 pac 60 可设ac m 在rt pac中 表示出pc的长 从而用m表示出点p坐标 代入抛物线解析式求得m的值 即可求得点p坐标 3 用t可表示出点p m的坐标 过点p作pe x轴于点e 交ab于点f 则可表示出点f的坐标 从而可用t表示出pf的长 从而可表示出 pab的面积 利用s四边形pamb s pab s amb 可得到s关于t的二次函数 利用二次函数的性质可求得其最大值 技法点拨 本题为二次函数的综合应用 涉及待定系数法 直角三角形的性质 二次函数的性质 三角形的面积及方程思想等知识 在 1 中注意待定系数法的应用 在 2 中构造rt pac是解题的关键 在 3 中用t表示出点p m的坐标 表示出pf的长是解题的关键 本题考查知识点较多 综合性较强 难度适中 变式运用 2 2017 枣庄中考 如图1 抛物线y x2 bx c与x轴交于点a和点b 与y轴交于点c 点b坐标为 6 0 点c坐标为 0 6 点d是抛物线的顶点 过点d作x轴的垂线 垂足为e 连接bd 1 求抛物线的解析式及点d的坐标 2 点f是抛物线上的动点 当 fba bde时 求点f的坐标 3 若点m是抛物线上的动点 过点m作mn x轴与抛物线交于点n 点p在x轴上 点q在坐标平面内 以线段mn为对角线作正方形mpnq 请写出点q的坐标 类型3二次函数图象的平移 例3 2017 绵阳中考 将二次函数y x2的图象先向下平移1个单位 再向右平移3个单位 得到的图象与一次函数y 2x b的图象有公共点 则实数b的取值范围是 a b 8b b 8c b 8d b 8 d 技法点拨 抛物线的平移遵循 左加右减 上加下减 的原则 据此可直接由解析式中常数的加减变化求出解析式 再列方程组 有公共点 则 0 则可求出字母的取值范围 变式运用 3 2017 贵港中考 将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度 再向上平移3个单位长度后 得到的抛物线解析式是 a y x 1 2 1b y x 1 2 1c y 2 x 1 2 1d y 2 x 1 2 1 c c由图象 得平移前抛物线的解析式为y 2x2 2 由平移规律 得平移后抛物线的解析式为y 2 x 1 2 1 类型4二次函数与一元二次方程 例4 2016 锦州中考 二次函数y ax2 bx c a b c为常数 且a 0 的x与y轴的部分对应值如下表 有下列结论 a 0 4a 2b 1 0 x 3是关于x的一元二次方程ax2 b 1 x c 0的一个根 当 3 x n时 ax2 b 1 x c 0 其中正确结论的个数为 a 4b 3c 2d 1 b 变式运用 4 2016 南宁中考 二次函数y ax2 bx c a 0 和正比例函数y x的图象如图所示 则方程ax2 b x c 0 a 0 的两根之和 a a 大于0b 等于0c 小于0d 不能确定 六年真题全练 命题点1二次函数的图象和性质 1 2015 潍坊 12 3分 已知二次函数y ax2 bx c 2的图象如图所示 顶点为 1 0 下列结论 abc2 4a 2b c 0 其中正确结论的个数是 a 1b 2c 3d 4 b b抛物线的开口向上 对称轴在y轴左侧 故a 0 b 0 抛物线与y轴交点在点 0 2 的上方 故c 2 2 c 0 由此可得abc 0 故 错误 把抛物线向下平移两个单位可得抛物线y ax2 bx c 此时抛物线y ax2 bx c与x轴有两个交点 故b2 4ac 0 故 错误 当a 2时 抛物线的解析式为y 2 x 1 2 2x2 4x 2 与y轴的交点坐标恰为 0 2 根据 a 越大 开口越小 可知要使抛物线与y轴交点在点 0 2 的上方 则a 2 故 正确 因为抛物线的对称轴为x 1 且x 0时 y 2 所以由抛物线的对称性可知 x 2时 y 2 即4a 2 b c 2 2 4a 2b c 0 故 正确 2 2014 潍坊 8 3分 如图 已知矩形abcd的长ab为5 宽bc为4 e是bc边上的一个动点 ae ef ef交cd于点f 设be x fc y 则点e从点b运动到点c时 能表示y关于x的函数关系的大致图象是 a 猜押预测 1 二次函数y ax2 bx c a b c为常数 且a 0 中 x与y的部分对应值如下表 c 下列结论 ac1时 y随x的增大而增大 4是方程ax2 b 4 x c 0的一个根 当 10 其中正确的结论有 a 4个b 3个c 2个d 1个 3 2017 潍坊 25 13分 如图1 抛物线y ax2 bx c经过 abcd的顶点a 0 3 b 1 0 d 2 3 抛物线与x轴的另一交点为e 经过点e的直线l将 abcd分割为面积相等的两部分 与抛物线交于另一点p 点p为直线l上方抛物线上一动点 设点p的横坐标为t 命题点2二次函数的综合题 1 求抛物线的解析式 2 当t为何值时 pfe的面积最大 并求最大值的立方根 3 是否存在点p使 pae为直角三角形 若存在 求出t的值 若不存在 说明理由 4 2016 潍坊 25 12分 如图 已知抛物线y x2 bx c经过 abc的三个顶点 其中点a 0 1 点b 9 10 ac x轴 点p是直线ac下方抛物线上的动点 1 求抛物线的解析式 2 过点p且与y轴平行的直线l与直线ab ac分别交于点e f 当四边形aecp的面积最大时 求点p的坐标 3 当点p为抛物线的顶点时 在直线ac上是否存在点q 使得以c p q为顶点的三角形与 abc相似 若存在 求出点q的坐标 若不存在 请说明理由 5 2015 潍坊 24 14分 链接专题4二次函数与几何图形的综合例1 6 2014 潍坊 24 13分 链接专题4二次函数与几何图形的综合例2 7 2013 潍坊 24 13分 如图 抛物线y ax2 bx c关于直线x 1对称 与坐标轴交于a b c三点 且ab 4 点d 2 在抛物线上 直线l是一次函数y kx 2 k 0 的图象 点o是坐标原点 1 求抛物线的解析式 2 若直线l平分四边形obdc的面积 求k的值 3 把抛物线向左平移1个单位 再向下平移2个单位 所得抛物线与直线l交于m n两点 问在y轴正半轴上是否存在一定点p 使得不论k取何值 直线pm与pn总是关于y轴对称 若存在 求出p点坐标 若不存在 请说明理由 猜押预测 2 如图 抛物线y ax2 bx 3与x轴交于a 1 0 b 3 0 两点 与y轴交于点c 1 求抛物线的解析式 2 如图 直线bc下方的抛物线上有一点d 过点d作de bc于点e 作df平行于x轴交直线bc于点f 求 def周长的最大值 3 已知点m是抛物线的顶点 点n是y轴上一点 点q是坐标平面内一点 若点p是抛物线上一点 且位于抛物线的对称轴右侧