高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件.ppt

7 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 第七章不等式 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 二元一次不等式表示的平面区域 1 一般地 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的 我们把直线画成虚线 以表示区域边界直线 当我们在坐标系中画不等式ax by c 0所表示的平面区域时 此区域应边界直线 则把边界直线画成 2 对于直线ax by c 0同一侧的所有点 把它的坐标 x y 代入ax by c 所得的符号都 所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 x0 y0 作为测试点 由ax0 by0 c的即可断定ax by c 0表示的是直线ax by c 0哪一侧的平面区域 知识梳理 平面区域 不包括 包括 实线 相同 符号 2 线性规划相关概念 一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 3 重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界 特殊点定域 1 直线定界 不等式中无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 2 特殊点定域 若直线不过原点 特殊点常选原点 若直线过原点 则特殊点常选取 0 1 或 1 0 来验证 1 利用 同号上 异号下 判断二元一次不等式表示的平面区域对于ax by c 0或ax by c0时 区域为直线ax by c 0的上方 2 当b ax by c 0时 区域为直线ax by c 0的下方 2 最优解和可行解的关系最优解必定是可行解 但可行解不一定是最优解 最优解不一定唯一 有时唯一 有时有多个 知识拓展 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集 2 不等式ax by c 0表示的平面区域一定在直线ax by c 0的上方 3 点 x1 y1 x2 y2 在直线ax by c 0同侧的充要条件是 ax1 by1 c ax2 by2 c 0 异侧的充要条件是 ax1 by1 c ax2 by2 c 0 题组一思考辨析 基础自测 1 2 4 5 6 3 4 第二 四象限表示的平面区域可以用不等式xy 0表示 5 线性目标函数的最优解是唯一的 6 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 7 目标函数z ax by b 0 中 z的几何意义是直线ax by z 0在y轴上的截距 1 2 4 5 6 3 题组二教材改编 1 2 4 5 6 解析 3 答案 解析x 3y 6 0表示直线x 3y 6 0及其右下方部分 x y 2 0表示直线x y 2 0的左上方部分 故不等式组表示的平面区域为选项b中的阴影部分 1 2 4 5 6 答案 解析 3 p91t2 投资生产a产品时 每生产100吨需要资金200万元 需场地200平方米 投资生产b产品时 每生产100吨需要资金300万元 需场地100平方米 现某单位可使用资金1400万元 场地900平方米 则上述要求可用不等式组表示为 用x y分别表示生产a b产品的吨数 x和y的单位是百吨 3 1 2 4 5 6 3 解析用表格列出各数据 所以不难看出 x 0 y 0 200 x 300y 1400 200 x 100y 900 题组三易错自纠4 下列各点中 不在x y 1 0表示的平面区域内的是a 0 0 b 1 1 c 1 3 d 2 3 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析把各点的坐标代入可得 1 3 不适合 故选c 1 2 4 5 6 答案 3 解析作出满足不等式组的平面区域 如图阴影部分所示 解析 由图知直线m 2x y经过点a 1 2 时 m取得最大值 解析 1 2 4 5 6 答案 3 1 解析先根据约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 当直线z ax y和直线ab重合时 z取得最大值的点 x y 有无数个 a kab 1 a 1 题型分类深度剖析 命题点1不含参数的平面区域问题典例 2017 黄冈模拟 在平面直角坐标系中 已知平面区域a x y x y 1 且x 0 y 0 则平面区域b x y x y x y a 的面积为 题型一二元一次不等式 组 表示的平面区域 多维探究 解析 答案 解析对于集合b 令m x y n x y 解析 答案 由图知 要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形 只需动直线l x y a在l1 l2之间 包含l2 不包含l1 或l3上方 包含l3 故选d 1 求平面区域的面积对平面区域进行分析 若为三角形应确定底与高 若为规则的四边形 如平行四边形或梯形 可利用面积公式直接求解 若为不规则四边形 可分割成几个三角形 分别求解再求和即可 2 利用几何意义求解的平面区域问题 也应作出平面图形 利用数形结合的方法求解 跟踪训练 1 不等式 x 2y 1 x y 3 0在坐标平面内表示的区域 用阴影部分表示 应是下列图形中的 解析 解析由 x 2y 1 x y 3 0 答案 解析由于x 1与x y 4 0不可能垂直 所以只有可能x y 4 0与kx y 0垂直或x 1与kx y 0垂直 当x y 4 0与kx y 0垂直时 k 1 检验知三角形区域面积为1 即符合要求 当x 1与kx y 0垂直时 k 0 检验不符合要求 解析 答案 解析 题型二求目标函数的最值问题 多维探究 答案 解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 将目标函数z 2x y化为y 2x z 作出直线y 2x 并平移该直线知 当直线y 2x z经过点a 6 3 时 z有最小值 且zmin 2 6 3 15 故选a 解析 答案 x2 y2是可行域上动点 x y 到原点 0 0 距离的平方 显然 当x 3 y 1时 x2 y2取得最大值 最大值为10 故选c 解析 答案 解析对于选项a 当m 2时 可行域如图 1 直线y 2x z的截距可以无限小 z不存在最大值 不符合题意 故a不正确 对于选项b 当m 1时 mx y 0等同于x y 0 可行域如图 2 直线y 2x z的截距可以无限小 z不存在最大值 不符合题意 故b不正确 对于选项c 当m 1时 可行域如图 3 当直线y 2x z过点a 2 2 时截距最小 z最大为2 满足题意 故c正确 对于选项d 当m 2时 可行域如图 4 直线y 2x z与直线ob平行 截距最小值为0 z最大为0 不符合题意 故d不正确 故选c 1 先准确作出可行域 再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 2 当目标函数是非线性的函数时 常利用目标函数的几何意义来解题 常见代数式的几何意义有 3 当目标函数中含有参数时 要根据临界位置确定参数所满足的条件 解析 答案 解析 答案 解析根据已知条件 画出可行域 如图阴影部分所示 由z ax y 得y ax z 直线的斜率k a 当01 即a1时 由图形可知此时最优解为点 2 0 此时z 2a 0 4 得a 2 解答 题型三线性规划的实际应用问题 师生共研 典例某玩具生产公司每天计划生产卫兵 骑兵 伞兵这三种玩具共100个 生产一个卫兵需5分钟 生产一个骑兵需7分钟 生产一个伞兵需4分钟 已知总生产时间不超过10小时 若生产一个卫兵可获利润5元 生产一个骑兵可获利润6元 生产一个伞兵可获利润3元 1 试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润 元 解依题意每天生产的伞兵个数为100 x y 所以利润 5x 6y 3 100 x y 2x 3y 300 解答 2 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大 最大利润是多少 目标函数为 2x 3y 300 作出可行域 如图阴影部分所示 作初始直线l0 2x 3y 0 平移l0 当l0经过点a时 有最大值 最优解为a 50 50 此时 max 550元 故每天生产卫兵50个 骑兵50个 伞兵0个时利润最大 且最大利润为550元 解线性规划应用问题的一般步骤 1 审题 仔细阅读材料 抓住关键 准确理解题意 明确有哪些限制条件 借助表格或图形理清变量之间的关系 2 设元 设问题中起关键作用 或关联较多 的量为未知量x y 并列出相应的不等式组和目标函数 3 作图 准确作出可行域 平移找点 最优解 4 求解 代入目标函数求解 最大值或最小值 5 检验 根据结果 检验反馈 跟踪训练 2016 全国 某高科技企业生产产品a和产品b需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品a需要甲材料1 5kg 乙材料1kg 用5个工时 生产一件产品b需要甲材料0 5kg 乙材料0 3kg 用3个工时 生产一件产品a的利润为2100元 生产一件产品b的利润为900元 该企业现有甲材料150kg 乙材料90kg 则在不超过600个工时的条件下 生产产品a 产品b的利润之和的最大值为 元 答案 216000 解析 解析设生产a产品x件 b产品y件 根据所耗费的材料要求 工时要求等其他限制条件 得线性约束条件为 目标函数z 2100 x 900y 作出可行域为图中的四边形 包括边界 顶点为 60 100 0 200 0 0 90 0 在 60 100 处取得最大值 zmax 2100 60 900 100 216000 元 线性规划是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有三类 目标函数是线性的 目标函数是非线性的 已知最优解求参数 处理时要注意搞清是哪种类型 利用数形结合解决问题 线性规划问题 高频小考点 答案 解析 考点分析 解析由约束条件作出可行域如图 阴影部分 所示 平移该直线 易知经过点a时z最小 又知点a的坐标为 3 0 zmin 2 3 5 0 6 故选b 课时作业 1 下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析将原点坐标 0 0 代入2x y 2 得2 0 于是2x y 2 0所表示的平面区域在直线2x y 2 0的右下方 结合所给图形可知c正确 解析 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析画出可行域 如图中阴影所示 解析 由目标函数z x y 结合图象易知y x z过 0 3 点时z取得最大值 即zmax 0 3 3 故选d 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示 直线2x y 10 0恰过点a 5 0 且其斜率k 2 kab 即直线2x y 10 0与平面区域仅有一个公共点a 5 0 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分 则图中a点纵坐标ya 1 m m 1或m 3 又 当m 3时 不满足题意 应舍去 m 1 5 某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克 b原料2千克 生产乙产品1桶需耗a原料2千克 b原料1千克 每桶甲产品的利润是300元 每桶乙产品的利润是400元 公司在生产这两种产品的计划中 要求每天消耗a b原料都不超过12千克 通过合理安排生产计划 从每天生产的甲 乙两种产品中 公司共可获得的最大利润是a 1800元b 2400元c 2800元d 3100元 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设每天生产甲种产品x桶 乙种产品y桶 设获利z元 则z 300 x 400y 画出可行域如图阴影部分 画出直线l 300 x 400y 0 即3x 4y 0 平移直线l 从图中可知 当直线l过点m时 目标函数取得最大值 zmax 300 4 400 4 2800 元 故选c 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 答案 即 4 a 2时 仅在点 1 0 处取得最小值 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析根据约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 设点p到圆心的距离为d 则求最短弦长 等价于求到圆心的距离d最大的点 即为图中的p点 其坐标为 1 3 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 表示的可行域如图阴影部分所示 由z 3x 4y a 1 1 zmin 3 4 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析依题意 得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示 当目标函数z 2x y过点c 1 1 时 z 2x y取得最大值3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线x m从如图所示的实线位置运动到过a点的虚线位置时 m取最大值 m的最大值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则m2 n2表示区域上的点到原点的距离的平方 所以1 m2 n2 4 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4