中考数学总复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识 4 3等腰三角形与直角三角形 中考数学 浙江专用 1 2017湖州 6 4分 如图 已知在rt abc中 c 90 ac bc ab 6 点p是rt abc的重心 则点p到ab所在直线的距离等于 a 1b c d 2 考点一等腰三角形 a组2014 2018年浙江中考题组 五年中考 答案a 如图 连接cp并延长交ab于d 连接bp并延长交ac于e 且延长到f 使ef pe 连接af c 90 ac bc ab 6 ac bc 3 p为 abc的重心 ce ae ad db cd ab 3 cdb 90 在 aef和 cep中 aef cep fae ecp 45 cp af 3 dp fad 90 cd fa bpd bfa pd 1 故选a 关键提示三角形的重心是三条中线的交点 2 2017杭州 10 3分 如图 在 abc中 ab ac bc 12 e为ac边的中点 线段be的垂直平分线交边bc于点d 设bd x tan acb y 则 a x y2 3b 2x y2 9c 3x y2 15d 4x y2 21 答案b如图 过a作am bc于m 过e作en bc于n 连接ed e为ac的中点 am en en mn ab ac am bc cm 6 mn 3 tan acb y am 6y en 3y 直线df是线段be的垂直平分线 ed bd x de2 dn2 en2 x2 9 x 2 3y 2 即2x y2 9 此题选b 3 2016杭州 9 3分 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n m n 过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形 若这两个三角形都为等腰三角形 则 a m2 2mn n2 0b m2 2mn n2 0c m2 2mn n2 0d m2 2mn n2 0 答案c根据题意画图 如图 在rt abc中 bc ab 且 abe和 aec均为等腰三角形 ab be m ae ec n m ae ab n m m 两边平方整理得 m2 2mn n2 0 故选c 关键提示本题考查直角三角形与等腰三角形 涉及等式变形 关键是画出草图 挖掘条件 4 2017丽水 10 3分 等腰三角形的一个内角为100 则顶角的度数是 答案100 解析 100 90 100 的角是顶角 故答案为100 5 2016杭州 14 4分 在菱形abcd中 a 30 在同一平面内 以对角线bd为底边作顶角为120 的等腰三角形bde 则 ebc的度数为 答案45 或105 解析根据题意 知点e所在位置有2种可能 如图 四边形abcd是菱形 且 a 30 abc 150 bd平分 abc cbd 75 又 以db为底边的等腰三角形dbe的顶角 deb 120 edb ebd 30 ebc 75 30 45 或 ebc 30 75 105 解题关键解题的关键是画出草图 并对点e所处位置进行分类讨论 评析本题考查菱形和等腰三角形的性质 以及分类讨论思想 6 2015绍兴 13 5分 由于木质的衣架没有柔性 在挂置衣服的时候不太方便操作 小敏设计了一种衣架 在使用时能轻易收拢 然后套进衣服后松开即可 如图1 衣架杆oa ob 18cm 当衣架收拢时 aob 60 如图2 则此时a b两点间的距离是cm 答案18 解析oa ob 18cm 收拢后 aob 60 连接ab 则 aob是正三角形 故ab 18cm 7 2015嘉兴 舟山 14 4分 已知一张三角形纸片abc ab ac 5 如图 折叠该纸片 使点a落在bc的中点上 折痕交ac ab分别于点e f 则ae的长为 答案2 5 解析连接aa 设aa 与ef交于点o 折叠问题就是轴对称问题 所以ef所在直线是aa 的中垂线 又由等腰三角形的性质可知aa bc 所以ef bc 又ao a o 所以ef是 abc的中位线 所以ae ac 2 5 解题关键证出ef是 abc的中位线是解题的关键 8 2018杭州 21 10分 如图 在 abc中 acb 90 以点b为圆心 bc长为半径画弧 交线段ab于点d 以点a为圆心 ad长为半径画弧 交线段ac于点e 连接cd 1 若 a 28 求 acd的度数 2 设bc a ac b 线段ad的长是方程x2 2ax b2 0的一个根吗 说明理由 若ad ec 求的值 解析 1 acb 90 a 28 b 62 由题意知bd bc bcd bdc 59 acd 90 bcd 31 2 线段ad的长是方程x2 2ax b2 0的一个根 理由如下 由勾股定理得ab ad a 解方程x2 2ax b2 0 得x a 线段ad的长是方程x2 2ax b2 0的一个根 ad ae ad ec ae ec 由勾股定理得a2 b2 整理得 思路分析 1 根据三角形内角和定理求出 b 再根据等腰三角形的性质求出 bcd 根据 acd为 bcd的余角计算即可 2 根据勾股定理求出ab 进而得到ad 利用求根公式解方程 比较即可 根据勾股定理及等量关系列出等式 化简 整理即可 方法总结本题考查的是勾股定理 一元二次方程的解法 掌握一元二次方程的求根公式 熟练应用勾股定理是解题的关键 1 2016宁波 12 4分 下图是一个由5张纸片拼成的平行四边形 相邻纸片之间互不重叠也无缝隙 其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为s1 另两张直角三角形纸片的面积都为s2 中间一张正方形纸片的面积为s3 则这个平行四边形的面积一定可以表示为 a 4s1b 4s2c 4s2 s3d 3s1 4s3 考点二直角三角形 答案a设等腰直角三角形纸片的直角边长为a 中间一张正方形纸片的边长为m 则s1 a2 s3 m2 s2 a m a m a2 m2 s2 2s1 s3 即s3 2s1 2s2 所求平行四边形的面积为2s1 2s2 s3 2s1 2s2 2s1 2s2 4s1 故选a 解题关键解决本题的关键是引入字母表示出纸片的边长 从而找出s1 s2 s3之间的关系 2 2015温州 9 4分 如图 在rt aob的平分线on上依次取点c f m 过点c作de oc 分别交oa ob于点d e 以fm为对角线作菱形fgmh 已知 dfe gfh 120 fg fe 设oc x 图中阴影部分面积为y 则y与x之间的函数关系式是 a y x2b y x2c y 2x2d y 3x2 答案b on是rt aob的平分线 de oc dco eco ode是等腰直角三角形 且oc dc ce oc x de 2x 易得df ef 从而 edf def dfe 120 edf 30 cf x s def 2x x x2 在菱形fgmh中 gfh 120 又fg fe s菱形fgmh 2s def y 3s def x2 故选b 解题关键分析出s菱形fgmh 2s def 并用含x的式子表示出de和cf的长是解题的关键 3 2015台州 8 4分 如果将长为6cm 宽为5cm的长方形纸片折叠一次 那么这条折痕的长不可能是 a 8cmb 5cmc 5 5cmd 1cm 答案a因为矩形的最长折痕是对角线 对角线长 cm 8cm 故选a 4 2017丽水 13 3分 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理 创造了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦图 如图1所示 在图2中 若正方形abcd的边长为14 正方形ijkl的边长为2 且ij ab 则正方形efgh的边长为 答案10 解析题图2中有8个全等的直角三角形 每个的面积为 14 14 2 2 8 196 4 8 192 8 24 则正方形efgh的面积为24 4 2 2 96 4 100 正方形efgh的边长为 10 故答案为10 方法指导求得正方形efgh的面积即可求出其边长 5 2016温州 15 5分 七巧板是我们祖先的一项卓越创造 被誉为 东方魔板 小明利用七巧板 如图1所示 中各块板的边长之间的关系将其拼成一个凸六边形 如图2所示 则该凸六边形的周长是cm 答案32 16 解析如图 由题图1可得 ab bc 8cm cd ah 8cm de ef fg gh 4cm 凸六边形的周长 8 8 8 4 4 4 4 8 32 16 cm 方法指导分析图形的构成 找等量关系 6 2017台州 24 14分 在平面直角坐标系中 借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根 比如对于方程x2 5x 2 0 操作步骤是 第一步 根据方程系数特征 确定一对固定点a 0 1 b 5 2 第二步 在坐标平面中移动一个直角三角板 使一条直角边恒过点a 另一条直角边恒过点b 第三步 在移动过程中 当三角板的直角顶点落在x轴上点c处时 点c的横坐标m即为该方程的一个实数根 如图1 第四步 调整三角板直角顶点的位置 当它落在x轴上另一点d处时 点d的横坐标n即为该方程的另一个实数根 1 在图2中 按照 第四步 的操作方法作出点d 请保留作出点d时直角三角板两条直角边的痕迹 2 结合图1 请证明 第三步 操作得到的m就是方程x2 5x 2 0的一个实数根 3 上述操作的关键是确定两个固定点的位置 若要以此方法找到一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 b2 4ac 0 的实数根 请你直接写出一对固定点的坐标 4 实际上 3 中的固定点有无数对 一般地 当m1 n1 m2 n2与a b c之间满足怎样的关系时 点p m1 n1 q m2 n2 就是符合要求的一对固定点 图1图2 解析 图 1 如图 所示 2 如图 过点b作bd x轴 交x轴于点d 据题意可证 aoc cdb 图 m 5 m 2 m2 5m 2 0 m是方程x2 5x 2 0的实数根 3 方程ax2 bx c 0 a 0 可化为x2 x 0 模仿可得a 0 1 b或a b等 说明 当点a在y轴上时 写出形如a 0 t b t 0 的即可 图 4 如图 p m1 n1 q m2 n2 解法一 设方程的根为x 根据三角形相似可得 上式可化为x2 m1 m2 x m1m2 n1n2 0 又 ax2 bx c 0 即x2 x 0 比较系数可得m1 m2 m1m2 n1n2 解法二 m1 m2 根据三角形相似可得 上式可化为m1m2 n1n2 7 2015台州 24 14分 定义 如图1 点m n把线段ab分割成am mn和bn 若以am mn bn为边的三角形是一个直角三角形 则称点m n是线段ab的勾股分割点 1 已知点m n是线段ab的勾股分割点 若am 2 mn 3求bn的长 2 如图2 在 abc中 fg是中位线 点d e是线段bc的勾股分割点 且ec de bd 连接ad ae分别交fg于点m n 求证 点m n是线段fg的勾股分割点 3 已知点c是线段ab上的一定点 其位置如图3所示 请在bc上画一点d 使c d是线段ab的勾股分割点 要求尺规作图 保留作图痕迹 画出一种情形即可 4 如图4 已知点m n是线段ab的勾股分割点 mn am bn amc mnd和 nbe均是等边三角形 ae分别交cm dm dn于点f g h 若h是dn的中点 试探究s amf s ben和s四边形mnhg的数量关系 并说明理由 解析 1 当mn为最长线段时 点m n是线段ab的勾股分割点 bn 当bn为最长线段时 点m n是线段ab的勾股分割点 bn 综上 bn 或 2 证明 fg是 abc的中位线 fg bc 1 点m n分别是ad ae的中点 bd 2fm de 2mn ec 2ng 点d e是线段bc的勾股分割点 且ec de bd ec2 bd2 de2 2ng 2 2fm 2 2mn 2 ng2 fm2 mn2 点m n是线段fg的勾股分割点 3 如图 4 s四边形mnhg s amf s ben 理由 设am a bn b mn c h是dn的中点 dh hn c mnd bne均为等边三角形 d dne 60 又 dhg nhe dh hn dgh neh dg en b mg c b gm en agm aen c2 2ab ac bc 点m n是线段ab的勾股分割点 且mn am bn c2 a2 b2 a2 b2 2ab ac bc 整理得 a b a b c 0 又 a b c 0 a b 在 dgh和 caf中 d c dg ca dgh caf dgh caf s dgh s caf c2 a2 b2 c2 a2 b2 s dmn s acm s enb s dmn s dgh s四边形mnhg s acm s caf s amf s四边形mnhg s amf s ben 8 2014温州 22 8分 勾股定理神秘而美妙 它的证法多样 其巧妙各有不同 其中的 面积法 给了小聪以灵感 他惊喜地发现 当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时 都可以用 面积法 来证明 下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放 其中 dab 90 求证 a2 b2 c2 图1证明 连接db 过点d作 cbd的bc边上的高df 则df ec b a s四边形adcb s acd s abc b2 ab 又 s四边形adcb s adb s dcb c2 a b a b2 ab c2 a b a a2 b2 c2 请参照上述证法 利用图2完成下面的证明 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放 其中 dab 90 求证 a2 b2 c2 证明 连接 s五边形acbed 图2 又 s五边形acbed a2 b2 c2 证明 连接bd 过点b作 bde的de边上的高bf 则bf b a s五边形acbed s acb s abe s ade ab b2 ab 又 s五边形acbed s acb s abd s bde ab c2 a b a ab b2 ab ab c2 a b a a2 b2 c2 评析本题主要考查了勾股定理的证明 表示出五边形面积是解题关键 1 2017湖北武汉 10 3分 如图 在rt abc中 c 90 以 abc的一边为边画等腰三角形 使得它的第三个顶点在 abc的其他边上 则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 a 4b 5c 6d 7 考点一等腰三角形 b组2014 2018年全国中考题组 答案d 如图1 以b为圆心 bc长为半径画弧 交ab于点d 则 bcd就是等腰三角形 如图2 以a为圆心 ac长为半径画弧 交ab于点e 则 ace就是等腰三角形 如图3 以c为圆心 bc长为半径画弧 交ab于点m 交ac于点f 则 bcm bcf就是等腰三角形 如图4 作ac的垂直平分线交ab于点h 则 ach就是等腰三角形 如图5 作ab的垂直平分线交ac于点g 则 agb就是等腰三角形 如图6 作bc的垂直平分线交ab于i 则 bci就是等腰三角形 故选d 2 2018安徽 14 5分 矩形abcd中 ab 6 bc 8 点p在矩形abcd的内部 点e在边bc上 满足 pbe dbc 若 apd是等腰三角形 则pe的长为 答案3或 解析在矩形abcd中 ad bc 8 在 abd中 由勾股定理可得bd 10 ab ad 根据 pbe dbc可知p点在线段bd上 当ad pd 8时 由相似可得 pe 当ap pd时 p点为bd的中点 pe cd 3 故答案为3或 思路分析根据ab ad及已知条件先判断p点在线段bd上 再根据等腰三角形腰的情况分两种情况 ad pd 8 ap pd 再由相似三角形中对应边的比相等求解即可 难点突破判断p点在线段bd上是解答本题的突破口 3 2017内蒙古包头 18 3分 如图 在矩形abcd中 点e是cd的中点 点f是bc上一点 且fc 2bf 连接ae ef 若ab 2 ad 3 则cos aef的值是 答案 解析连接af 四边形abcd是矩形 ab cd b c 90 点e是cd的中点 ab 2 ce 1 fc 2bf bc 3 bf 1 fc 2 易证 abf fce af ef afb fec fec efc 90 afb efc 90 afe 90 aef是等腰直角三角形 cos aef cos45 4 2016宁夏 21 6分 在等边 abc中 点d e分别在边bc ac上 若cd 2 过点d作de ab 过点e作ef de 交bc的延长线于点f 求ef的长 解析 abc为等边三角形 a b acb 60 de ab edf b 60 dec a 60 cde为等边三角形 de cd 2 4分 ef de def 90 在rt def中 ef de tan60 2 6分 1 2017内蒙古包头 12 3分 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab 垂足为d af平分 cab 交cd于点e 交cb于点f 若ac 3 ab 5 则ce的长为 a b c d 考点二直角三角形 答案a过f作fg ab于点g af平分 cab acb 90 fc fg 易证 acf agf ac ag 5 6 90 b 6 90 5 b 3 1 5 4 2 b 1 2 3 4 ce cf ac 3 ab 5 bc 4 在rt bfg中 设cf x x 0 则fg x bf 4 x bg ab ag 5 3 2 由bf2 fg2 bg2 得 4 x 2 x2 22 解得x ce cf 选a 2 2014山西 4 3分 下图是我国古代数学家赵爽在为 周髀算经 作注解时给出的 弦图 它解决的数学问题是 a 黄金分割b 垂径定理c 勾股定理d 正弦定理 答案c中国是发现和研究勾股定理最古老的国家 周髀算经 记载了古代数学家赵爽证明勾股定理的 弦图 故选c 3 2014江苏扬州 8 3分 如图 在四边形abcd中 ab ad 6 ab bc ad cd bad 60 点m n分别在ab ad边上 若am mb an nd 1 2 则tan mcn a b c d 2 答案a连接mn ac 在rt abc与rt adc中 ab ad ac ac 所以rt abc rt adc 因为 bad 60 所以 bac dac 30 在rt abc中 ab 6 bac 30 所以bc 2 因为am bm 1 2 所以am 2 bm 4 在rt bcm中 bm 4 bc 2 所以mc 2 同理可得nc 2 又 amn为等边三角形 所以mn 2 过m点作mh cn 垂足为h 所以cm2 ch2 mn2 hn2 设ch x 则 2 2 x2 22 2 x 2 解得x 在rt hcm中 cm 2 ch 所以mh 所以tan mcn 故选a 解题关键解决本题的关键是构造包含 mcn的直角三角形 4 2017安徽 14 5分 在三角形纸片abc中 a 90 c 30 ac 30cm 将该纸片沿过点b的直线折叠 使点a落在斜边bc上的一点e处 折痕记为bd 如图1 剪去 cde后得到双层 bde 如图2 再沿着过 bde某顶点的直线将双层三角形剪开 使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形 则所得平行四边形的周长为cm 答案40或 只写出一个正确答案得3分 解析由已知可知 adb edb 又 a 90 c 30 所以 abd ebd c 30 则cd bd 设ad de xcm 则cd 30 x cm 在直角三角形abd中 sin30 解得x 10 所以bd 20cm ab 10cm 经分析可知满足题意的剪法有以下两种 取bd的中点f 连接ef af 沿ef剪开所得四边形adef是平行四边形 也是菱形 其边长de为10cm 故其周长为40cm 作 edb的平分线dm 沿dm剪开所得四边形是平行四边形 也是菱形 其边长dm cm 故其周长为4 cm 综上 所求周长为40cm或cm 思路分析由轴对称的性质得 adb edb 由已知可求ad ab bd 考虑到在三角形bde中 bed 90 ebd 30 bde 60 故沿bd上的中线或 edb的平分线剪开可得平行四边形 且都为菱形 求出边长即可求得周长 5 2017湖北武汉 15 3分 如图 在 abc中 ab ac 2 bac 120 点d e都在边bc上 dae 60 若bd 2ce 则de的长为 答案3 3 解析如图 将 abd沿ad翻折得 afd 连接ef ab af ac bd df afd b 30 bac 120 dae 60 bad cae 60 又 bad fad fad cae 60 cae fae ace afe sas ce ef afe c 30 dfe 60 过点e作eh df 交df于点h 过点a作am bc 交bc于点m 设ce 2x 则bd 2ce 4x ef 2x df 4x fh x eh x dh 3x 又bc 2bm 2ab cos30 6 de 6 6x 在rt deh中 de2 dh2 eh2 即 6 6x 2 3x 2 x 2 解得x1 x2 舍去 de 6 6x 3 3 一题多解将 abd绕点a逆时针旋转120 得 acf 连接ef cf bd 可证 ade afe de ef acd b 30 fce 60 过点e作eh cf 交cf于点h 设ce 2x 则bd 4x ch x cf 4x fh 3x eh x 过点a作am bc 交bc于点m 则bc 2cm 2ac cos30 2 2 6 fe de 6 6x 在rt efh中 fe2 fh2 eh2 即 6 6x 2 3x 2 x 2 解得x1 x2 舍去 de 6 6x 3 3 6 2018安徽 23 14分 如图1 rt abc中 acb 90 点d为边ac上一点 de ab于点e 点m为bd的中点 cm的延长线交ab于点f 1 求证 cm em 2 若 bac 50 求 emf的大小 3 如图2 若 dae cem 点n为cm的中点 求证 an em 图1图2 解析 1 证明 由已知 在rt bcd中 bcd 90 m为斜边bd的中点 cm bd 又de ab 同理 em bd cm em 4分 2 由已知得 cba 90 50 40 又由 1 知cm bm em cme cmd dme 2 cbm ebm 2 cba 2 40 80 emf 180 cme 100 9分 3 证明 dae cem cme dea 90 de cm ae em 又cm dm em dm de em dem是等边三角形 mef def dem 30 证法一 在rt emf中 emf 90 mef 30 又 nm cm em ae fn fm nm ef ae ae ef af 又 afn efm afn efm naf mef an em 14分 证法二 连接am 则 eam ema mef 15 amc emc ema 75 又 cmd emc emd 30 且mc md acm 180 30 75 由 可知ac am 又n为cm的中点 an cm 又 em cf an em 14分 思路分析 1 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证 2 由直角三角形中两锐角互余求出 cba 由等腰三角形的性质可得 meb mbe mcb mbc 从而可得 cme dme cmd 2 cbm ebm 最后由补角性质求出 emf 3 由 dae cem可推出 dem为等边三角形 从而可得 mef 30 下面证an em有两个思路 一是根据直角三角形30 角所对直角边等于斜边的一半可得 又点n是cm的中点 可推出 从而可证 afn efm 进一步即可证明an em 二是连接am 计算可得 amc acm 而n是cm的中点 从而an cm 进一步即可证明an em 1 2015陕西 6 3分 如图 在 abc中 a 36 ab ac bd是 abc的角平分线 若在边ab上截取be bc 连接de 则图中等腰三角形共有 a 2个b 3个c 4个d 5个 考点一等腰三角形 c组教师专用题组 答案d依题意 可知题图中的 abc aed bdc bde adb为等腰三角形 则共有5个等腰三角形 故选d 2 2015广西南宁 7 3分 如图 在 abc中 ab ad dc b 70 则 c的度数为 a 35 b 40 c 45 d 50 答案a ab ad adb b 70 ad dc c dac adb是 adc的外角 c adb 35 故选a 3 2015江苏苏州 7 3分 如图 在 abc中 ab ac d为bc中点 bad 35 则 c的度数为 a 35 b 45 c 55 d 60 答案c ab ac d为bc中点 cad bad 35 ad dc 在 adc中 c 90 dac 55 故选c 4 2015吉林长春 6 3分 如图 在 abc中 ab ac 过点a作ad bc 若 1 70 则 bac的大小为 a 30 b 40 c 50 d 70 答案b ab ac b c ad bc 1 c 70 b 70 bac 40 故选b 5 2014江苏苏州 6 3分 如图 在 abc中 点d在bc上 ab ad dc b 80 则 c的度数为 a 30 b 40 c 45 d 60 答案b因为ab ad 所以 b adb 80 因为dc ad 所以 c cad 又因为 adb是 acd的外角 所以 adb c cad 2 c 所以 c 40 故选b 6 2018贵州贵阳 24 12分 如图 在矩形abcd中 ab 2 ad p是bc边上的一点 且bp 2cp 1 用尺规在图 中作出cd边上的中点e 连接ae be 保留作图痕迹 不写作法 2 如图 在 1 的条件下 判断eb是否平分 aec 并说明理由 3 如图 在 2 的条件下 连接ep并延长交ab的延长线于点f 连接ap 不添加辅助线 pfb能否由都经过p点的两次变换与 pae组成一个等腰三角形 如果能 说明理由 并写出两种方法 指出对称轴 旋转中心 旋转方向 旋转角或平移方向和平移距离 如果不能 也请说明理由 解析 1 如图所示 点e为所作的点 ea eb为所连的线段 2 eb平分 aec 理由如下 如题图 由 1 及已知可知de 1 四边形abcd是矩形 ad 在rt ade中 tan dea ae 2 dea 60 eab 60 aec 180 60 120 由作图可知ea eb eab是等边三角形 aeb 60 ceb 120 60 60 aeb ceb eb平分 aec 3 pfb能由都经过p点的两次变换与 pae组成一个等腰三角形 理由如下 如题图 bp 2cp ad bc bp 由题意可知 c pbf 90 epc fpb ecp fbp fb 2ec dc 2 b是af的中点 pb是线段af的垂直平分线 pbf pba 在rt pfb中 tanf f 30 aep 180 f eaf 90 ae ab ap ap aep abp 90 rt pea rt pba pbf pba pea 可将 pfb作如下变换后与 pae组成一个等腰三角形 pfb关于pf对称 再以点p为旋转中心 逆时针旋转120 pfb以点p为旋转中心 顺时针旋转120 再关于pe对称 7 2018辽宁沈阳 24 12分 已知 abc是等腰三角形 ca cb 0 acb 90 点m在边ac上 点n在边bc上 点m 点n不与所在线段端点重合 bn am 连接an bm 射线ag bc 延长bm交射线ag于点d 点e在直线an上 且ae de 1 如图 当 acb 90 时 求证 bcm acn 求 bde的度数 2 当 acb 其他条件不变时 bde的度数是 用含 的代数式表示 3 若 abc是等边三角形 ab 3 点n是bc边上的三等分点 直线ed与直线bc交于点f 请直接写出线段cf的长 备用图1备用图2 解析 1 证明 ca cb bn am cb bn ca am 即cn cm bc ac mcb acn cm cn bcm acn bcm acn mbc nac ea ed ead eda ag bc gac acb 90 adb dbc adb nac adb eda nac ead 180 90 90 bde 90 2 或180 3 4或 详解 2 由e在直线an上 可知 分两种情况讨论 如图1 e与n在点a异侧 可得 bde 180 如图2 e与n在点a同侧 可得 bde 图1图2 3 由点n是bc边上的三等分点可知 分两种情况讨论 如图3 当cn mc bc 2时 由ad bc可得 adm cbm ad 由ea ed得an df 又由 bcm acn可得an bm 过点a作ah bc于h 由勾股定理可得 an 由 2 知 bde 120 bdf 60 从而可得 bcm bdf bf cf bf bc 图3图4 如图4 当cn bc 时 与 同法可求得cf 4 思路分析 1 由 边角边 可证三角形全等 bde eda adm 由等边对等角可得 ead eda 由 bcm acn 可得 cbm can 由两直线平行 内错角相等 可得 adm cbm dam c 90 而 can ead dam 180 can ead 90 bde 90 2 分e与n在点a同侧和异侧两种情况讨论求解 3 n为bc的三等分点 分类讨论bn bc和bn bc两种情况 易错警示本题的易错点在于审题 第 2 问e在直线an上 第 3 问点n是bc边上的三等分点 都需要分类讨论 8 2014温州 20 10分 如图 在等边三角形abc中 点d e分别在边bc ac上 且de ab 过点e作ef de 交bc的延长线于点f 1 求 f的度数 2 若cd 2 求df的长 解析 1 abc是等边三角形 b 60 de ab edc b 60 ef de def 90 f 90 edc 30 2 acb 60 edc 60 edc是等边三角形 ed dc 2 def 90 f 30 df 2de 4 9 2015北京 20 5分 如图 在 abc中 ab ac ad是bc边上的中线 be ac于点e 求证 cbe bad 证明 ab ac ad是bc边上的中线 ad bc bad cad be ac bec adc 90 cbe 90 c cad 90 c cbe cad cbe bad 10 2015福建龙岩 24 13分 如图 在rt abc中 acb 90 ac 6 bc 8 点d以每秒1个单位长度的速度由点a向点b匀速运动 到达b点即停止运动 m n分别是ad cd的中点 连接mn 设点d运动的时间为t 1 判断mn与ac的位置关系 2 求点d由点a向点b匀速运动的过程中 线段mn所扫过区域的面积 3 若 dmn是等腰三角形 求t的值 解析 1 在 adc中 m是ad的中点 n是dc的中点 mn ac 3分 2 如图 分别取 abc三边中点e f g 并连接eg fg 根据题意可知线段mn扫过区域的面积就是 afge的面积 ac 6 bc 8 ae 3 gc 4 acb 90 s afge ae gc 12 线段mn扫过区域的面积为12 7分 3 解法一 依题意可知 md ad dn dc mn ac 3 i 当md mn 3时 dmn为等腰三角形 此时ad ac 6 t 6 9分 ii 当md dn时 ad dc 过d作dh ac交ac于h 则ah ac 3 cosa ad t 5 11分 iii 当dn mn 3时 ac dc 连接mc 则cm ad cosa 即 am ad t 2am 综上所述 当t 5或6或时 dmn为等腰三角形 13分 解法二 依题意可知 md ad dn dc mn ac 3 i 当md mn 3时 dmn为等腰三角形 此时ad ac 6 t 6 9分 ii 当md dn时 ad dc dac acd acb 90 bcd acd 90 b bac 90 b bcd bd cd ad 在rt abc中 ab 10 t ad ab 5 11分 iii 当dn mn 3时 ac dc 连接mc 则cm ab s acb bc ac ab mc cm 在rt amc中 am t ad 2am 综上所述 当t 5或6或时 dmn为等腰三角形 13分 11 2014黑龙江哈尔滨 28 10分 如图 在四边形abcd中 对角线ac bd相交于点e 且ac bd adb cad abd bad 3 cbd 1 求证 abc为等腰三角形 2 m是线段bd上一点 bm ab 3 4 点f在ba的延长线上 连接fm bfm的平分线fn交bd于点n 交ad于点g 点h为bf中点 连接mh 当gn gd时 探究线段cd fm mh之间的数量关系 并证明你的结论 解析 1 证明 如图1 作 bap dae ap交bd于p 图1设 cbd cad adb cad abd ape bap abd ape adb ap ad 1分 ac bd pae dae 2分 pad 2 bad 3 bad 3 cbd 3 3 3分 ac bd acb 90 90 abc 180 bac acb 90 acb abc 4分 ab ac abc为等腰三角形 5分 2 2mh fm cd 6分 证明 如图2 由 1 知 ap ad ab ac bap cad abp acd abe acd 7分 ac bd gdn 90 gn gd gnd gdn 90 agf ngd 2 afg bad agf 3 2 fn平分 bfm nfm fmn 90 8分 h为bf中点 bf 2mh 在fb上截取fr fm 连接rm 图2 frm fmr 90 abc 90 frm abc rm bc cbd rmb cad cbd rmb cad 9分 又 rbm acd rmb dac fb fm br cd 2mh fm cd 10分 评析本题是一道综合题 主要考查了等腰三角形的判定 三角形全等的判定及三角形相似的判定等知识 所探究的线段之间的数量关系较复杂 综合性较强 属难题 1 2018福建 15 4分 把两个同样大小的含45 角的三角尺按如图所示的方式放置 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点a 且另三个锐角顶点b c d在同一直线上 若ab 则cd 考点二直角三角形 答案 1 解析由题意知 abc ade均为等腰直角三角形 且ab ac ae ed 由勾股定理得bc ad 2 过a作af bc于f 则fc af 1 在rt afd中 由勾股定理得fd 故cd fd fc 1 2 2017河南 15 3分 如图 在rt abc中 a 90 ab ac bc 1 点m n分别是边bc ab上的动点 沿mn所在的直线折叠 b 使点b的对应点b 落在边ac上 若 mb c为直角三角形 则bm的长为 答案或1 解析在rt abc中 a 90 ab ac b c 45 1 当 mb c 90 时 b mc c 45 设bm x 则b m b c x 在rt mb c中 由勾股定理得mc x x x 1 解得x 1 bm 1 2 如图 当 b mc 90 时 点b 与点a重合 此时bm b m bc 综上所述 bm的长为1或 3 2015上海 18 4分 已知在 abc中 ab ac 8 bac 30 将 abc绕点a旋转 使点b落在原 abc的点c处 此时点c落在点d处 延长线段ad 交原 abc的边bc的延长线于点e 那么线段de的长等于 答案4 4 解析如图 作bf ae交ae于点f 在rt abf中 baf 60 ab 8 可得af 4 bf 4 所以df ad af 8 4 4 易证 bfe是等腰直角三角形 所以ef bf 4 所以de ef df 4 4 评析本题考查解含特殊角的直角三角形 画出图形 通过作出适当的辅助线 把一般的三角形化为直角三角形是关键 属于中等难度题 5 2014贵州贵阳 15 4分 如图 在rt abc中 bac 90 ab ac 16cm ad为bc边上的高 动点p从点a出发 沿a d方向以cm s的速度向点d运动 设 abp的面积为s1 矩形pdfe的面积为s2 运动时间为t秒 0 t 8 则t 时 s1 2s2 答案6 解析由题意可知rt adc和rt efc都是等腰直角三角形 ad dc bd 8cm 因为ap tcm 所以dp ef fc 8 t cm df tcm s1 ap bd t 8 8tcm2 s2 pd df 8 t t 2t2 16t cm2 所以当s1 2s2时 有8t 4t2 32t 解得t 6 6 2018四川成都 27 10分 在rt abc中 acb 90 ab ac 2 过点b作直线m ac 将 abc绕点c顺时针旋转得到 a b c 点a b的对应点分别为a b 射线ca cb 分别交直线m于点p q 1 如图1 当p与a 重合时 求 aca 的度数 2 如图2 设a b 与bc的交点为m 当m为a b 的中点时 求线段pq的长 3 在旋转过程中 当点p q分别在ca cb 的延长线上时 试探究四边形pa b q的面积是否存在最小值 若存在 求出四边形pa b q的最小面积 若不存在 请说明理由 解析 1 由旋转的性质得ac a c 2 acb 90 ab ac 2 bc acb 90 m ac a bc 90 cos a cb a cb 30 aca 60 2 m为a b 的中点 a cb 90 ma mb mc a cm ma c 由旋转的性质得 ma c a a a cm tan pcb tan a pb bc tan bqc tan pcb bq bc 2 pq pb bq 3 s四边形pa b q s pcq s a cb s pcq s四边形pa b q最小即s pcq最小 s pcq pq bc pq 取pq的中点g 连接cg pcq 90 cg pq 当cg最小时 pq最小 cg pq 即cg与cb重合时 cg最小 cgmin pqmin 2 s pcq min 3 s四边形pa b q min 3 思路分析 1 在rt abc中 由勾股定理得bc 根据旋转知a c ac 2 解直角 a bc 得 a cb 30 所以 aca 60 2 根据m为a b 的中点 可得 a cm ma c a 且 a bqc 解rt pbc rt bqc 求出pb bq 2 进而得出pq pb bq 3 依据s四边形pa b q s pcq s a cb s pcq 得当s pcq最小时 s四边形pa b q最小 又s pcq pq bc pq 求出pq最小值即可得到s pcq的最小值为3 则四边形pa b q的最小面积是3 解后反思本题是以直角三角形旋转为背景的几何综合题 主要考查了旋转的性质 平行线的性质 解直角三角形 直角三角形的性质等 根据直线m ac以及旋转变换中相等的线段和相等的角 求 pqc中角的大小和边长是解题的关键 7 2015丽水 19 6分 如图 已知 abc中 c为直角 ac bc d为bc上一点 且到a b两点的距离相等 1 用直尺和圆规作出点d的位置 不写作法 保留作图痕迹 2 连接ad 若 b 37 求 cad的度数 解析 1 作图如下 2 abc中 c为直角 b 37 bac 53 ad bd b bad 37 cad bac bad 16 思路分析 1 由点d到a b两点的距离相等知 点d在线段ab的垂直平分线上 结合点d在bc上知 点d是线段ab的垂直平分线与bc的交点 2 根据直角三角形两锐角互余 求出 bac 根据等腰三角形 等边对等角 的性质 求出 bad 从而作差求得 cad的度数 8 2016北京 23 5分 如图 在四边形abcd中 abc 90 ac ad m n分别为ac cd的中点 连接bm mn bn 1 求证 bm mn 2 若 bad 60 ac平分 bad ac 2 求bn的长 解析 1 证明 在 abc中 abc 90 m为ac的中点 bm ac n为cd的中点 mn ad ac ad bm mn 2 bad 60 ac平分 bad bac cad 30 由bm am 可得 bmc 2 bac 60 由mn ad 可得 cmn cad 30 bmn bmc cmn 90 ac ad 2 bm mn 1 在rt bmn中 bn 9 2015重庆 25 12分 如图1 在 abc中 acb 90 bac 60 点e是 bac角平分线上一点 过点e作ae的垂线 过点a作ab的垂线 两垂线交于点d 连接db 点f是bd的中点 dh ac 垂足为h 连接ef hf 1 如图1 若点h是ac的中点 ac 2 求ab bd的长 2 如图1 求证 hf ef 3 如图2 连接cf ce 猜想 cef是不是等边三角形 若是 请证明 若不是 请说明理由 图1图2 解析 1 点h是ac的中点 ac 2 ah ac 1分 acb 90 bac 60 abc 30 ab 2ac 4 2分 da ab dh ac dab dha 90 dah 30 ad 2 3分 在rt adb中 dab 90 bd2 ad2 ab2 bd 2 4分 2 证明 连接af 如图 f是bd的中点 dab 90 af df fda fad 5分 de ae dea 90 dha 90 dah 30 dh ad ae平分 bac cae bac 30 dae 60 ade 30 ae ad ae dh 6分 fda fad hda ead 60 fda hda fad ead fdh fae 7分 fdh fae sas fh fe 8分 3 cef是等边三角形 9分 理由如下 取ab的中点g 连接fg cg 如图 f是bd的中点 fg da fg da fga 180 dag 90 又 ae ad ae fg 在rt abc中 acb 90 点g为ab的中点 cg ag 又 cab 60 gac为等边三角形 10分 ac cg acg agc 60 fgc 30 fgc eac fgc eac sas 11分 cf ce ace gcf ecf ecg gcf ecg ace acg 60 cef是等边三角形 12分 10 2014上海 22 10分 如图 已知在rt abc中 acb 90 cd是斜边ab上的中线 过点a作ae cd ae分别与cd cb相交于点h e ah 2ch 1 求sinb的值 2 如果cd 求be的长 解析 1 在rt abc中 acb 90 cd是斜边ab上的中线 ab 2cd 2bd dcb b ah cd ahc cah ach 90 又 dcb ach 90 cah dcb b abc cah 又 ah 2ch bc 2ac 可设ac k bc 2k 在rt abc中 ab k sinb 2 ab 2cd cd ab 2 在rt abc中 ac ab sinb 2 2 bc 2ac 4 在rt ace和rt ahc中 tan cae ce ac 1 be bc ce 3 11 2014湖南郴州 25 10分 如图 在rt a