高考数学一轮复习 第五篇 数列 第2节 等差数列课件 理 新人教版.ppt

第2节等差数列 考纲展示 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 知识梳理自测 考点专项突破 解题规范夯实 知识梳理自测把散落的知识连起来 提示 充分必要条件 2 如何推导等差数列的通项公式 提示 可用累加法 3 如何推导等差数列的前n项和公式 提示 利用倒序相加法推导 知识梳理 1 等差数列的相关概念 1 定义 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的都等于常数 那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为 n 2 n n d为常数 差 同一个 an an 1 d 2 等差数列的通项公式 1 若等差数列 an 的首项是a1 公差为d 则其通项公式为an 2 通项的推广 an am d a1 n 1 d n m 3 等差数列的前n项和公式 1 已知等差数列 an 的首项a1和第n项an 则其前n项和公式sn 2 已知等差数列 an 的首项a1与公差d 则其前n项和公式sn 4 等差数列 an 的性质 1 若m n p q 则am an ap aq 其中m n p q n 特别地 若p q 2m 则ap aq p q m n 2 若等差数列 an 的前n项和为sn 则sk s2k sk s3k s2k 成等差数列 3 若下标成等差数列 则相应的项也成等差数列 即ak ak m ak 2m k m n 成等差数列 4 若等差数列 an 的前n项和为sn 则s2n 1 2n 1 an 2am 5 等差数列的增减性与最值公差d 0时为递数列 且当a10时 前n项和sn有最值 6 等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an a1 n 1 d可得an dn a1 d 如果设p d q a1 d 那么an pn q 其中p q是常数 当p 0时 n an 在一次函数y px q的图象上 即公差不为零的等差数列的图象是直线y px q上的均匀排开的一群孤立的点 当p 0时 an q 等差数列为常数列 此时数列的图象是平行于x轴的直线 或x轴 上的均匀排开的一群孤立的点 增 小 减 大 重要结论 1 等差数列 an 中 若am n an m 则am n 0 2 等差数列 an 的前n项和为sn 若sm sn m n 则sm n 0 3 等差数列 an 的前n项和为sn 若sm n sn m 则sm n m n 双基自测 1 已知数列 an 中 an 3n 4 若an 13 则n等于 a 3 b 4 c 5 d 6 a 解析 由an 3n 4 13 解得n 3 故选a 2 2017 临川一中期中 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5等于 a 5 b 7 c 9 d 11 a 3 等差数列 an 中 a4 a8 10 a10 6 则公差d等于 a 答案 13 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 等差数列的基本量运算 答案 1 a 2 2017 衡水中学调研 已知sn是等差数列 an 的前n项和 且s6 s7 s5 给出下列五个命题 d0 s12 a7 其中正确命题的个数是 解析 2 因为等差数列 an 中 s6最大 且s6 s7 s5 所以a1 0 ds7 s5 所以a6 0 a70 s6最大 所以 不正确 s11 11a1 55d 11 a1 5d 0 s12 12a1 66d 6 a1 a12 6 a6 a7 0 所以 正确 错误 故正确命题的个数为3 答案 2 3 反思归纳等差数列基本运算的方法策略 1 等差数列中包含a1 d n an sn五个量 可知三求二 解决这些问题一般设基本量a1 d 利用等差数列的通项公式与求和公式列方程 组 求解 体现方程思想 跟踪训练1 1 2017 宁夏银川一模 设sn为等差数列 an 的前n项和 a12 8 s9 9 则s16等于 a 72 b 76 c 80 d 84 答案 1 a 2 导学号38486095 2016 嘉兴一中期中 已知等差数列 an sn是数列 an 的前n项和 且满足a4 10 s6 s3 39 则数列 an 的首项a1 通项an 解析 2 设等差数列 an 的公差为d 因为a4 10 s6 s3 39 所以a4 a5 a6 39 所以3a4 3d 39 所以d 3 所以a1 a4 3d 1 所以an a1 n 1 3 3n 2 答案 2 13n 2 解析 3 设公差为d 则由题意可得a1 a1 d 2 3 5a1 10d 10 解得a1 4 d 3 则a9 4 8 3 20 答案 3 20 考点二 等差数列的判断与证明 反思归纳判定数列 an 是等差数列的常用方法 1 定义法 对任意n n an 1 an是同一个常数 2 等差中项法 对任意n 2 n n 满足2an an 1 an 1 3 通项公式法 数列的通项公式an是n的一次函数 4 前n项和公式法 数列的前n项和公式sn是n的二次函数 且常数项为0 考点三 等差数列的性质 例3 1 2017 葫芦岛一中期中 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则a7 a5的值为 a 8 b 12 c 16 d 72 2 2017 西安一模 已知等差数列 an 的前n项和为sn 满足a13 s13 13 则a1等于 a 14 b 13 c 12 d 11 反思归纳 跟踪训练3 1 2017 湖南益阳二模 若sn是等差数列 an 的前n项和 且s8 s3 10 则s11的值为 a 12 b 18 c 22 d 44 答案 1 c 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知前6项和为36 最后6项的和为180 sn 324 n 6 则数列 an 的项数n 答案 2 18 考点四 等差数列的最值问题 例4 已知等差数列 an 的首项a1 0 设其前n项和为sn 且s5 s12 则当n为何值时 sn有最大值 解析 由题意 不妨设a6 9t a5 11t 则公差d 2t 其中t 0 因此a10 t a11 t 即当n 10时 sn取得最大值 故选b 备选例题 例题 在公差为d的等差数列 an 中 已知a1 10 且a1 2a2 2 5a3成等比数列 1 求d an 解