高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.6 离散型随机变量的均值与方差课件 理 北师大版.ppt

12 6离散型随机变量的均值与方差 正态分布 第十二章概率 随机变量及其分布 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为p x ai pi i 1 2 r 1 均值ex 均值ex刻画的是 2 方差dx 为随机变量x的方差 它刻画了随机变量x与其均值ex的 2 二项分布的均值 方差若x b n p 则ex dx 知识梳理 a1p1 a2p2 arpr x取值的 中心位置 e x ex 2 平均偏离程度 np 1 p np 3 正态分布 1 x n 2 表示x服从参数为的正态分布 2 正态分布密度函数的性质 函数图像关于对称 决定函数图像的 胖 瘦 p x p 2 x 2 p 3 x 3 和 2 直线x 0 的大小 68 3 95 4 99 7 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 随机变量的均值是常数 样本的平均数是随机变量 它不确定 2 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离变量的平均程度越小 3 正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布 参数 是正态分布的均值 是正态分布的标准差 4 一个随机变量如果是众多的 互不相干的 不分主次的偶然因素作用结果之和 它就服从或近似服从正态分布 5 均值是算术平均数概念的推广 与概率无关 基础自测 1 2 3 4 5 6 设y 2x 3 则ey的值为a b 4c 1d 1 题组二教材改编2 已知x的分布列为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 3 甲 乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量x y 其分布列分别为 答案 解析 解析ex 0 0 4 1 0 3 2 0 2 3 0 1 1 ey 0 0 3 1 0 5 2 0 2 0 9 ey ex 乙技术好 1 2 3 4 5 6 若甲 乙两人的日产量相等 则甲 乙两人中技术较好的是 乙 解析 答案 4 已知随机变量x服从正态分布n 3 1 且p x 2c 1 p x c 3 则c 1 2 3 4 5 6 解析 x n 3 1 正态曲线关于x 3对称 且p x 2c 1 p x c 3 题组三易错自纠5 已知随机变量x 8 若x b 10 0 6 则e d 分别是a 6 2 4b 2 2 4c 2 5 6d 6 5 6 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析由已知随机变量x 8 所以 8 x 因此 求得e 8 ex 8 10 0 6 2 d 1 2dx 10 0 6 0 4 2 4 6 设随机变量 服从正态分布n 2 函数f x x2 4x 没有零点的概率是 则 等于a 1b 2c 4d 不能确定 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析当函数f x x2 4x 没有零点时 16 4 4 根据正态曲线的对称性 当函数f x x2 4x 没有零点的概率是时 4 题型分类深度剖析 命题点1求离散型随机变量的均值 方差典例某银行规定 一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误 该银行卡将被锁定 小王到该银行取钱时 发现自己忘记了银行卡的密码 但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一 小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试 若密码正确 则结束尝试 否则继续尝试 直至该银行卡被锁定 1 求当天小王的该银行卡被锁定的概率 题型一离散型随机变量的均值 方差 多维探究 解设 当天小王的该银行卡被锁定 的事件为a 解答 解答 2 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为x 求x的分布列和均值 解依题意得 x所有可能的取值是1 2 3 所以x的分布列为 解答 命题点2已知离散型随机变量的均值与方差 求参数值典例设袋子中装有a个红球 b个黄球 c个蓝球 且规定 取出一个红球得1分 取出一个黄球得2分 取出一个蓝球得3分 1 当a 3 b 2 c 1时 从该袋子中任取 有放回 且每球取到的机会均等 2个球 记随机变量 为取出此2球所得分数之和 求 的分布列 解由题意得 2 3 4 5 6 所以 的分布列为 解答 2 从该袋子中任取 每球取到的机会均等 1个球 记随机变量 为取出此球所得分数 若e d 求a b c 解由题意知 的分布列为 解得a 3c b 2c 故a b c 3 2 1 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 1 求离散型随机变量的均值与方差 可依题设条件求出离散型随机变量的分布列 然后利用均值 方差公式直接求解 2 由已知均值或方差求参数值 可依据条件利用均值 方差公式得出含有参数的方程 组 解方程 组 即可求出参数值 3 由已知条件 作出对两种方案的判断 可依据均值 方差的意义 对实际问题作出判断 解答 跟踪训练 2017 青岛一模 为迎接2022年北京冬奥会 推广滑雪运动 某滑雪场开展滑雪促销活动 该滑雪场的收费标准是 滑雪时间不超过1小时免费 超过1小时的部分每小时收费标准为40元 不足1小时的部分按1小时计算 有甲 乙两人相互独立地来该滑雪场运动 设甲 乙不超过1小时离开的概率分别为1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为两人滑雪时间都不会超过3小时 1 求甲 乙两人所付滑雪费用相同的概率 解两人所付费用相同 相同的费用可能为0 40 80元 解答 2 设甲 乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 求 的分布列与均值e 方差d 解设甲 乙所付费用之和为 的可能取值为0 40 80 120 160 则 所以 的分布列为 典例计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站 过去50年的水文资料显示 水库年入流量x 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超过120的年份有35年 超过120的年份有5年 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 并假设各年的入流量相互独立 1 求未来4年中 至多有1年的年入流量超过120的概率 题型二均值与方差在决策中的应用 师生共研 解答 由二项分布可知 在未来4年中 至多有1年的年入流量超过120的概率为 2 水电站希望安装的发电机尽可能运行 但每年发电机最多可运行台数受年入流量x限制 并有如下关系 解答 若某台发电机运行 则该台发电机年利润为5000万元 若某台发电机未运行 则该台发电机年亏损800万元 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机多少台 解记水电站年总利润为y 单位 万元 安装1台发电机的情形 由于水库年入流量总大于40 故一台发电机运行的概率为1 对应的年利润y 5000 e y 5000 1 5000 安装2台发电机的情形 依题意 当40 x 80时 一台发电机运行 此时y 5000 800 4200 因此p y 4200 p 40 x 80 p1 0 2 当x 80时 两台发电机运行 此时y 5000 2 10000 因此p y 10000 p x 80 p2 p3 0 8 由此得y的分布列如下 所以 ey 4200 0 2 10000 0 8 8840 安装3台发电机的情形 依题意 当40120时 三台发电机运行 此时y 5000 3 15000 因此p y 15000 p x 120 p3 0 1 由此得y的分布列如下 所以 ey 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 综上 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机2台 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 跟踪训练 2017 贵州调研 某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到 低碳 项目上 现有两个项目供选择 项目一 新能源汽车 据市场调研 投资到该项目上 到年底可能获利30 也可能亏损15 且这两种情况发生的概率分别为项目二 通信设备 据市场调研 投资到该项目上 到年底可能获利50 可能损失30 也可能不赔不赚 且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目 请你为投资公司选择一个合理的项目 并说明理由 解答 解若按 项目一 投资 设获利为x1万元 则x1的分布列为 若按 项目二 投资 设获利为x2万元 则x2的分布列为 ex1 ex2 dx1 dx2 这说明虽然项目一 项目二获利相等 但项目一更稳妥 综上所述 建议该投资公司选择项目一投资 题型三正态分布的应用 师生共研 典例 2017 全国 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件 并测量其尺寸 单位 cm 根据长期生产经验 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布n 2 1 假设生产状态正常 记x表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 3 3 之外的零件数 求p x 1 及x的均值 解抽取的一个零件的尺寸在 3 3 之内的概率为0 9974 从而零件的尺寸在 3 3 之外的概率为0 0026 故x b 16 0 0026 因此p x 1 1 p x 0 1 0 997416 0 0408 ex 16 0 0026 0 0416 解答 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 3 3 之外的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸 9 9510 129 969 9610 019 929 9810 0410 269 9110 1310 029 2210 0410 059 95 解答 解 如果生产状态正常 一个零件尺寸在 3 3 之外的概率只有0 0026 一天内抽取的16个零件中 出现尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有0 0408 发生的概率很小 因此一旦发生这种情况 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 可见上述监控生产过程的方法是合理的 因此 的估计值为10 02 解决正态分布问题有三个关键点 1 对称轴x 2 标准差 3 分布区间 利用对称性可求指定范围内的概率值 由 分布区间的特征进行转化 使分布区间转化为3 特殊区间 从而求出所求概率 注意只有在标准正态分布下对称轴才为x 0 跟踪训练从某企业生产的某种产品中抽取500件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频率分布直方图 1 求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 解答 s2 30 2 0 02 20 2 0 09 10 2 0 22 0 0 33 102 0 24 202 0 08 302 0 02 150 2 由直方图可以认为 这种产品的质量指标值z服从正态分布n 2 其中 近似为样本平均数 2近似为样本方差s2 利用该正态分布 求p 187 8 z 212 2 解答 解由 1 知 z n 200 150 即z n 200 12 22 从而p 187 8 z 212 2 p 200 12 2 z 200 12 2 0 6826 某用户从该企业购买了100件这种产品 记x表示这100件产品中质量指标值位于区间 187 8 212 2 的产品件数 利用 的结果 求ex 解答 若z n 2 则p z 0 6826 p 2 z 2 0 9544 解由 知 一件产品的质量指标值位于区间 187 8 212 2 的概率为0 6826 依题意知x b 100 0 6826 所以ex 100 0 6826 68 26 离散型随机变量的均值与方差问题 答题模板 典例 12分 为回馈顾客 某商场拟通过模拟兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其余3个均为10元 求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及均值 2 商场对奖励总额的预算是60000元 并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成 或标有面值20元和40元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 规范解答 答题模板 规范解答解 1 设顾客所获的奖励额为x 依题意 得x的所有可能取值为20 60 故x的分布列为 4分 所以顾客所获的奖励额的均值为 2 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励额为60元 所以 先寻找均值为60的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为60元是面值之和的最大值 所以均值不可能为60元 如果选择 50 50 50 10 的方案 因为60元是面值之和的最小值 所以均值也不可能为60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案1 对于面值由20元和40元组成的情况 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 记为方案2 以下是对两个方案的分析 对于方案1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励额为x1 则x1的分布列为 7分 对于方案2 即方案 20 20 40 40 设顾客所获的奖励额为x2 则x2的分布列为 10分 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求 但方案2奖励额的方差比方案1的小 所以应该选择方案2 12分 答题模板求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步 确定随机变量的所有可能取值 第二步 求每一个可能取值所对应的概率 第三步 列出离散型随机变量的分布列 第四步 求均值和方差 第五步 根据均值 方差进行判断 并得出结论 适用于均值 方差的应用问题 第六步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范性 课时作业 1 2018 太原模拟 随机变量x的分布列如下 基础保分练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2017 浙江 已知随机变量 i满足p i 1 pi p i 0 1 pi i 1 2 若0 p1 p2 则a e 1 e 2 d 1 d 2b e 1 e 2 d 1 d 2c e 1 e 2 d 1 d 2d e 1 e 2 d 1 d 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意可知e 1 p1 e 2 p2 d 1 p11 p1 d 2 p21 p2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点 则落入阴影部分 曲线c为正态分布n 0 1 的密度曲线 的点的个数的估计值为附 若x n 2 则p x 0 683 p 2 x 2 0 954 a 2386b 2718c 3415d 4772 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由x n 0 1 知 p 1 x 1 0 683 x 10000 0 3413 3413 故选c 4 若x b n p 且ex 6 dx 3 则p x 1 的值为a 3 2 2b 2 4c 3 2 10d 2 8 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 设随机变量x n 2 且x落在区间 3 1 内的概率和落在区间 1 3 内的概率相等 若p x 2 p 则p 0 x 2 等于 解析由x落在 3 1 内的概率和落在 1 3 内的概率相等得 0 又 p x 2 p p 2 x 2 1 2p 6 某班举行了一次 心有灵犀 的活动 教师把一张写有成语的纸条出示给a组的某个同学 这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学 若小组内同学甲猜对成语的概率是0 4 同学乙猜对成语的概率是0 5 且规定猜对得1分 猜不对得0分 则这两个同学各猜1次 得分之和x 单位 分 的均值为a 0 9b 0 8c 1 2d 1 1 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意得x 0 1 2 则p x 0 0 6 0 5 0 3 p x 1 0 4 0 5 0 6 0 5 0 5 p x 2 0 4 0 5 0 2 ex 1 0 5 2 0 2 0 9 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2017 全国 一批产品的二等品率为0 02 从这批产品中每次随机取一件 有放回地抽取100次 x表示抽到的二等品件数 则dx 1 96 解析由题意得x b 100 0 02 dx 100 0 02 1 0 02 1 96 8 马老师从课本上抄录一个随机变量 的分布列如下表 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 请小牛同学计算 的均值 尽管 处完全无法看清 且两个 处字迹模糊 但能断定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案e 2 解析设 处的数值为x 则 处的数值为1 2x 则e 1 x 2 1 2x 3x x 2 4x 3x 2 9 已知当x n 2 时 p x 0 683 p 2 x 2 0 954 p 3 x 3 0 997 则dx 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 0215 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 随机变量 的取值为0 1 2 若p 0 e 1 则d 解析设p 1 a p 2 b 11 2017 天津 从甲地到乙地要经过3个十字路口 设各路口信号灯工作相互独立 且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 设x表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 求随机变量x的分布列和均值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解随机变量x的所有可能取值为0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 随机变量x的分布列为 2 若有2辆车独立地从甲地到乙地 求这2辆车共遇到1个红灯的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解设y表示第一辆车遇到红灯的个数 z表示第二辆车遇到红灯的个数 则所求事件的概率为p y z 1 p y 0 z 1 p y 1 z 0 p y 0 p z 1 p y 1 p z 0 12 2017 全国名校名师原创联考 汽车租赁公司为了调查a b两种车型的出租情况 现随机抽取了这两种车型各100辆汽车 分别统计了每辆车某个星期内的出租天数 统计数据如下表 a型车 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b型车 1 从出租天数为3天的汽车 仅限a b两种车型 中随机抽取一辆 估计这辆汽车恰好是a型车的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 故这辆汽车是a型车的概率为0 6 2 根据这个星期的统计数据 估计该公司一辆a型车 一辆b型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解设 事件ai表示一辆a型车在一周内出租天数恰好为i天 事件bj表示一辆b型车在一周内出租天数恰好为j天 其中i j 1 2 3 7 则该公司一辆a型车 一辆b型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为p a1b3 a2b2 a3b1 p a1b3 p a2b2 p a3b1 p a1 p b3 p a2 p b2 p a3 p b1 3 试写出a b两种车型的出租天数的分布列及均值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解设x为a型车出租的天数 则x的分布列为 设y为b型车出租的天数 则y的分布列为 ex 1 0 05 2 0 10 3 0 30 4 0 35 5 0 15 6 0 03 7 0 02 3 62 ey 1 0 14 2 0 20 3 0 20 4 0 16 5 0 15 6 0 10 7 0 05 3 48 如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同 该公司需要从a b两种车型中购买一辆 请你根据所学的统计知识 建议应该购买哪一种车型 并说明你的理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解一辆a类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3 62天 b类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3 48天 故选择a类型的出租车更加合理 13 某班有50名学生 一次考试的数学成绩 服从正态分布n 100 102 已知p 90 100 0 3 估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 14 一个不透明的盒子中关有蝴蝶 蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只 现在盒子上开一小孔 每次只能飞出1只昆虫 假设任意1只昆虫等可能地飞出 若有2只昆虫先后任意飞出 不考虑顺序 则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是 1 求盒子中蜜蜂有几只 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解设 2只昆虫先后任意飞出 飞出的是蝴蝶或蜻蜓 为事件a 设盒子中蜜蜂为x只 则由题意 得 所以 11 x 10 x 42 解得x 4或x 17 舍去 故盒子中蜜蜂有4只 解答 2 若从盒子中先后任意飞出3只昆虫 不考虑顺序 记飞出蜜蜂的只数为x 求随机变量x的分布列与均值e x 1 2 3