【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用3．4微积分基本定理教学案 理 新人教A版 .docVIP

3.4微积分基本定理1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义1定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式_，当n时，上述和式无限接近_，这个_叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即f(x)dx_.(2)在f(x)dx中，_分别叫做积分下限与积分上限，区间_叫做积分区间，_叫做被积函数，_叫做积分变量，_叫做被积式2定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分)(2)一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa，xb之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数3定积分的性质(1)kf(x)dx_(k为常数)；(2)f(x)g(x)dx_；(3)f(x)dx_(其中acb)4微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且f(x)f(x)，那么f(x)dx_.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式其中f(x)叫做f(x)的一个原函数为了方便，我们常把f(b)f(a)记作_，即baf(x)dxf(x)|f(b)f(a)1.dx()a2ln 2 b2ln 2 cln 2 dln 22下列值等于1的积分是()axdx b(x1)dxc1dx ddx3(2013届山东潍坊四县一校期中联考)已知t0，若(2x2)dx8，则t()a1 b2c2或4 d44如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()a1 b. c. d25根据定积分的几何意义计算定积分：|x2|dx_.6(2012山东高考)设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.一、利用微积分基本定理计算定积分【例1】 计算下列定积分：(1)(3x22x1)dx；(2)dx；(3)设f(x)试求f(x)dx的值方法提炼计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值提醒：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算请做演练巩固提升2二、定积分在物理中的应用【例2】 列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？方法提炼1做变速运动的物体在一段时间间隔内所经过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解因此要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体做变速直线运动的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分v(t)dt.另外物体做变速直线运动的速度v，等于加速度函数aa(t)在时间区间a，b上的定积分a(t)dt.2如果力f(x)使得物体沿力的方向由xa运动到xb(ab)，则力f(x)对物体所做的功wf(x)dx.请做演练巩固提升4三、利用定积分求面积【例3】 (2012上海高考)已知函数yf(x)的图象是折线段abc，其中a(0,0)，b，c(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_方法提炼1求曲边多边形的面积的步骤为：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限；(3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)计算定积分2失误与防范(1)被积函数若含有绝对值号，应去掉绝对值号，再分段积分(2)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量(3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限(4)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负(5)将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷请做演练巩固提升1,5利用函数思想研究定积分问题【典例】 (12分)在区间0,1上给定曲线yx2，试在此区间内确定t的值，使图中的阴影部分的面积s1与s2之和最小，并求最小值分析：(1)题目要求是求s1与s2之和最小，所以要先构造ss1s2的函数，利用函数思想求解(2)s1，s2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量规范解答：面积s1等于边长为t与t2的矩形面积减去曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积，即s1tt2x2dxt3.(2分)面积s2等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t2,1t，即s2x2dxt2(1t)t3t2.(4分)所以阴影部分面积ss1s2t3t2(0t1)(5分)令s(t)4t22t4t0，得t0或t.(8分)t0时，s；t时，s；t1时，s.(10分)所以当t时，s最小，且最小值为.(12分)答题指导：本题既不是直接求曲边梯形的面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识1(2012湖北高考)已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()abcd2已知等差数列an的前n项和为sn，且s10(12x)dx，s2017，则s30为()a15 b20 c25 d303设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，其中1x00，则x0_.4一物体受到与它运动方向相反的力f(x)exx的作用，则它从x0运动到x1时f(x)所做的功等于_5求定积分dx.参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)(i)xf(i)某个常数常数f(x)dxf(i)(2)a与ba，b函数f(x)xf(x)dx3(1)kf(x)dx(2)f(x)dxg(x)dx(3)f(x)dxf(x)dx4f(b)f(a)f(x)基础自测1d解析：dxln xln 4ln 2ln 2.2c解析：1dxx101.3d解析：由(2x2)dx8，得(x22x)t22t8，解得t4或t2(舍去)，选d.4b解析：由得x10，x22.s(x22x11)dx(x22x)dx4.51解析：根据定积分的几何意义，所求的定积分就是函数y|x2|的图象、直线x1，x3和x轴所围成的图形的面积，故s|x2|dx11111.6解析：由题意可得曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积sdxa2，解得a.考点探究突破【例1】 解：(1)(3x22x1)dx(x3x2x)|3124.(2)dxxdxdxdxx2ln x(e21)(ln eln 1)e2.(3)f(x)dxx2dxdxx3ln xln e.【例2】 解：因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程已知列车速度v072 km/h20 m/s，列车制动时获得的加速度为a0.4 m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则vv0adt200.4dt200.4t，令v0，得t50(s)设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则svdt(200.4t)dt500(m)，所以列车应在进站前50 s，以及离车站500 m处开始制动【例3】解析：由题意f(x)则xf(x)xf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx(10x210x)dxx3.演练巩固提升1b解析：由图象可得二次函数的解析式为f(x)x21，则与x轴所围图形的面积s(x21)dx.2a解析：s10(12x