2013美国数学竞赛(八年级).pdf

2 0 1 4年第 4期 21 2 0 1 3美国数学竞赛 八年级 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标 识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 4 0 4 2 1 0 5 1 艾玛想把她的汽车模型摆成一个每行恰有 6 辆汽车的方阵 若她现有 2 3辆汽车模型 要摆 出汽车方阵 则最少还需买 辆汽车模型 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 2 鱼市场上悬挂一条 今 日五折优惠 一磅 一 包的鱼 半包仅卖 3元 的横幅 则每磅鱼平 日 卖的全价为 元 A 6 B 9 C 1 0 D 1 2 E 1 5 3 计算 4 一1十2 3 4一 1 0 0 0 A 一1 0 B 0 C 1 D 5 0 0 E 2 0 0 0 4 八位朋友到餐厅吃饭 餐费大家均摊 因为 朱迪 忘 了带钱 所 以 其 余七位朋友 每人多付 2 5 0元 则这顿饭共花费 元 A 1 2 0 B 1 2 8 C 1 4 0 D 1 4 4 E 1 6 0 5 已知哈曼是六年级的学生 体重 1 0 6 磅 他 的四个妹妹体重分别为 5磅 5磅 6磅 8 磅 则 在这五名孩子体重的平均数和中位数中 接下来的一种证法利用到了二项式定理 考 虑把要证不等式的左边展开 看能否找到新思路 证法 2 设 0 1 口 其中 n 利用均值不等式得 上 c 1 善 k 1 1 1 c 1 2 n 下面是安振平老师利用均值不等式的证法 证法3 注意到 1 一 上 卜 惫 涨 惫 故 1 想到加权的均值不等式的二元形式为 0 l l 0 2 2 n 口 其中 口 l 17 2 0 I 2 I 0 l 2 1 数学爱好者孙孟越同学利用此提供的证法 证法4 由加权的均值不等式的二元形式知 I x 南 正正 正 1 1 1 则 i 1 1 2 2 中 等 数 学 大 其差为 A 中位数 6 O C 平均数 5 E 平均数 2 0 6 如图 1 每个盒 子中的数均是 由与其 相邻 的上一层两个盒 子中的数之积确定 如 3 0 6 x 5 则第一行 中未填数 的盒子应填 的数是 B 中位数 2 O D 平均数 l 5 6 5 3 0 网 l A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 7 特雷和妈妈在铁道边观察经过的火车 从 车头开始算起 前 1 O秒钟经过 6节车厢 火车通 过的总时间是 2分 4 5秒 假设火车是匀速行驶 则这列火车大约有 节车厢 A 6 0 B 8 0 C 1 0 0 D 1 2 0 E 1 4 0 8 连续三次抛掷一枚质量分布均匀的硬币 至少连续两次头像朝上的概率为 A B 1 c 3 D E 9 绿巨人每次跳跃的距离均为前一次跳跃距 离的两倍 若第一次跳 1 米 则第二次就跳 2米 第三次跳 4米 依此类推 当他首次跳跃超过 1 千 米时 是其第 次跳跃 A 9 B 1 O C 1 1 D l 2 E l 3 1 0 1 8 0和 5 9 4的最小公倍数与最大公约数 之比为 A 1 1 0 B 1 6 5 C 3 3 0 D 6 2 5 E 6 6 0 l 1 泰德的祖父在跑步机上锻炼了三天 每天 跑 2英里 已知第一 第二 第三天的速度分别是 5 英里 l 时 3英里 小时 4英里 小时 若其祖 父一直保持 4 英里 小时的速度 则他可以在跑步 机上少锻炼 分钟 A 1 B 2 C 3 0 4 E 5 1 2 2 0 1 3年 温妮 贝戈县市场里有一个 特 别 的凉鞋交易原则 若买一双凉鞋 按原价 5 0 元交易 若买第二双 则按原价六折交易 若买第 三双 则半价 已知哈维尔按此交易原则买了三双 凉鞋 则比按原价买节省了 A 2 5 B 3 0 C 3 3 D 4 0 E 4 5 1 3 当克拉拉计算 自己各科测试成绩的总分 时 无意识地将某一科分数的十位与个位交换了 位置 则最有可能是错误的总分与正确的总分相 差的分数是 A 4 5 B 4 6 C 4 7 0 4 8 E 4 9 1 4 安倍特手里有绿色 红色的软糖豆各一 块 贝亚手里有一块绿色 一块黄色及两块红色的 软糖豆 若两人随机地各拿一块 自己的软糖豆给 对方 则交换后 安倍特手里的软糖豆同色的概率 为 A 1 B c 3 D E 了2 1 5 已知 3 3 9 0 2 4 4 7 6 5 6 1 4 2 1 则 p r s A 2 7 B 4 0 C 5 0 D 7 0 E 9 0 1 6 斐波那契中学六至八年级的一些学生参 加某项社区服务 已知八年级与六年级 八年级与 七年级参加的人数之比分别为5 3 8 5 则最少 有 人参加了该项社区服务 A 1 6 B 4 0 C 5 5 D 7 9 E 8 9 1 7 若六个连续正整数之和为 2 0 1 3 则这六 个连续正整数中 最大的数为 A 3 3 5 B 3 3 8 C 3 4 0 D 3 4 5 E 3 5 0 1 8 如图 2 伊莎贝拉用棱长为 1 英尺的正方 体砖块建一座长 1 2 英尺 宽 1 O 英尺 高 5英尺的 长方体堡垒 且地面和四周墙体均为 1 英尺厚 则 共需要 块砖 2 0 1 4年第4期 l冬 l 2 A 2 0 4 B 2 8 0 C 3 2 0 D 3 4 0 E 6 0 0 1 9 布里奇特 凯西和汉娜在讨论她们某次数 学考试的分数 汉娜把 自己的分数给布里奇特和 凯西看了 但她们没给任何人看 自己的分数 凯西 说 我不是班里的最低分 然后布里奇特补充 说 我不是班里的最高分 则这三名女孩考试 成绩从高到低的顺序是 A 汉娜凯西布里奇特 B 汉娜布里奇特凯西 C 凯西布里奇特汉娜 D 凯西汉娜布里奇特 E 布里奇特凯西汉娜 2 0 已知一个长为 2 宽为 1的矩形 A B C D内 接于半圆O0 且矩形的长 B C在半圆直径上 则 半圆o0的面积为 A 詈 B c 兀 D E 2 1 萨曼莎的家在城市公园西南角以西两个 街区 以南一个街区 她的学校距城市公园东北角 以东两个街区 以北两个街区 上学时 萨曼莎总 是骑 自行车到城市公园的西南角 然后沿对角线 穿过公园到达公园的东北角 再骑行到学校 要使 萨曼莎骑行的路线尽可能短 则共有 条不 同的上学路线 A 3 B 6 C 9 D l 2 E 1 8 2 2 如图 3 用牙签搭建一个 6 O根牙签长 3 2 根牙签宽的网格 共需牙签 根 A 1 9 2 0 B 1 9 5 2 C 1 9 8 0 D 2 0 1 3 E 3 9 3 2 网 3 网 4 2 3 如图 4 在 R t A B C中 已知 A B C 9 0 分别以 A B C的三边为直径向形外作半圆 以边 A B为直径的半圆面积为8 7 c 以边 A C为直径 的半 圆弧长为8 5 7 c 则以 B C为直径的半圆的半 径为 A 7 B 7 5 C 8 D 8 5 E 9 2 4 如图5 已知正方形 A B C D 正方形 E F G H 正方形 G H I J面积相等 C D分别是边 H I E H的 中点 则阴影部分的面积是三个正方形面积和的 隆I 5 A 1 B c D 3 E 2 5 如图 6 一个直径为 4英寸的小球沿轨道 从点A开始滚动 轨道 由三个半圆组成 已知三 个半圆的半径分别是 R 1 0 0英寸 R 6 0英 寸 R 8 0英寸 若小球始终保持与轨道接触滚 动而不滑落 则小球的球心从点 到 日的运动距 离为 A A 2 3 8 D 2 8 0 7 c 图 6 B 2 4 0 C 2 6 0 E 5 0 0 中 等 数 学 参 考 答 案 注意到 2 3 一1 m o d 6 故只需再有 1 辆汽车模型 就可以摆成 6行 4列的方阵 2 D 由题意 知一磅一包的鱼半包五折后是 3 元 则整包鱼五折是 6元 故每磅鱼的平 日价是 1 2 元 3 E 注意到 4 一1 2 3 4一 1 0 0 0 4 一 1 2 一 3 4 一 9 9 9 1 0 13 0 4 1 2 0 0 0 4 C 事实上 朱迪应付2 5 0 7 1 7 5 0 元 由于餐费大家均摊 故每个人付 的钱数为 1 7 5 O元 从而 这顿饭共花费 l 7 5 0 8 1 4 0元 5 E 由题意 知五个人的平均数为 2 6 五个人的中位数为 6 于是 平均数大 其差为 2 6 6 2 0 6 C 设首行未填数为 第二行未填数为 Y 依题 意得 3 7 C 注意到 2分 4 5秒 1 6 5 秒 由题意 知车厢节数为 l 6 5 9 9 故火车大约 1 0 0节车厢 8 C 连续三次抛掷一枚质量分布均匀的硬币 共 有 2 8 种情形 于是 至少连续两次头像朝上的 情形为 上 上 上 上 上 下 下 上 上 故 至 少 连 续 两 次 头 像 朝 上 的 概 率 是 詈 9 C 易知 绿巨人每次跳跃的距离构成一个等比 数列 即 a 2 7 Z 而 a l 0 2 5 1 21 0 0 0 故当他首次跳跃超过 1 千米时 是第 1 1 次跳跃 1 0 C 注意到 一 1 8 0 5 9 4 一 2 3 W 2 3 5 l 1 3 3 0 1 1 D 由题意 所求即为 手 一 6 1 I I 小 时 e 1 分 钟 一 I I H I J I 1 5 3 4 4 1 5 1 2 B 由题意 所求即为 1 5 0一 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 4 5 元 于是 节省了 1 0 0 3 o 1 3 A 设正确的总分为 l O a b 则错误 的总分 为 l O b a 注意到 两者相差 l O a b 一 1 O b a 9 a b 兰 0 m o d 9 由于只有选项 A符合 从而 最有可能的分 数差是 4 5 1 4 C 安倍特手里的软糖豆同为绿色的概率为 1 1 一 一 2 4 8 其手里的软糖豆同为红色的概率为 1 1 1 故软糖豆同色的概率为 2 0 1 4年第 4期 1 5 B 由已知解得P 2 r 5 s 4 从而 p r s 4 0 1 6 E 由题意 知八年级的人数必为 5的倍数和 8 的倍数 于是 八年级最少有 5 8 4 0人 此时 六年级的人数为4 0 3 2 4人 七 年 级 的 人 数 为 4 o 詈 2 5 人 故参加该项社区服务的人数最少为 4 O 2 4 2 5 8 9 1 7 B 设这六个数中的最大数是 n 则 n n一1 凡一5 2 0 1 3 解得 n 3 3 8 1 8 B 堡垒的体积可看成是两个实心长方形的体积 之差 则 1 2 1 0 5 6 0 0 1 0 8 4 3 2 0 故共需 6 0 0 3 2 0 2 8 0块 1 9 D 由题意 知凯西所说表明凯西 的分数比汉娜 高 而布里奇特所说表明其分数比汉娜 的低 从 而 成绩从高到低的顺序为凯西 汉娜 布里奇特 2 0 C 如 图 7 D C 图7 因为矩形 A B C D内接于半圆6 0 所以 OB OC 1 c 1 又 C D 1 则 O D 故S 半 圆 丌 丌 2 1 E 萨曼莎从家到公园西南角最少需要走三个街 区 向东一街区走两次 向北一街区走一次 共有 三种路线 她从公园东北角到学校最少需要走四 个街区 向东两次 向北两次 共有六种路线 故全程有 3 6 1 8 种不同路线 2 2 E 第一行网格需要牙签根数为 3 2 3 l 9 7 从第二行到第六十行网格需要牙签根数为 3 2 2 1 5 9 3 8 3 5 从而 共需 9 7 3 8 3 5 3 9 3 2 根牙签 2 3 B 由题意 知 A B 8 A C 1 7 由勾股定理得 B C c 一 A B 2 8 9 6 4 1 5 从而 以 B C为直径的半圆的半径是 7 5 2 4 C 设 A 与 C D交于点 因为正方 形 A B C D 正方 形 E F G H 正 方形 G H