高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课件1 新人教A版选修11.ppt

3 3 3函数的最大 小 值与导数 x1 x2 在极大值点附近 在极小值点附近 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 左正右负为极大值 左负右正为极小值 1 极值的判定 2 求可导函数f x 极值的步骤 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 把定义域划分为部分区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的符号如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 1 确定函数的定义域 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 3 最大值与最小值 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最小值 1 借助函数图象 直观地理解函数的最大值和最小值概念 2 弄清函数最大值 最小值与极大值 极小值的区别与联系 理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件 重点 3 掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤 难点 在社会生活实践中 为了发挥最大的经济效益 常常遇到如何能使用料最省 产量最高 效益最大等问题 这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大 最小值 它们与函数极值关系如何 极值是一个局部概念 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小 探究点函数的最大 小 值与导数 解答 图 1 最大值f b 最小值f a 图 2 最大值f x3 最小值f x4 探究 根据函数最值的概念 探究以下问题 1 函数的极值是否一定是函数的最值 提示 不一定 端点值也可能是函数的最值 2 若连续函数f x 在区间 a b 上有唯一的极值点且为极小值点x0 则f x0 是否是最小值 提示 是 函数y f x 在 a x0 上单调递减 在 x0 b 上单调递增 故f x 在x0点取得最小值 f x0 是最小值 拓展延伸 开区间 a b 上连续函数y f x 的最值情况分析共有四种情况 具体如下 图 1 中的函数y f x 在开区间 a b 上有最大值无最小值 图 2 中的函数y f x 在开区间 a b 上有最小值无最大值 图 3 中的函数y f x 在开区间 a b 上既无最大值也无最小值 图 4 中的函数y f x 在开区间 a b 上既有最大值也有最小值 函数f x x3 3x x 1 a 有最大值 但无最小值b 有最大值 也有最小值c 无最大值 但有最小值d 既无最大值 也无最小值 即时训练 d 4 函数f x xex的最小值为 解析 f x xex 所以f x ex xex x 1 ex 当x 1时 f x 0 所以函数f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 函数的最小值为f 1 e 1 答案 即时训练 例2求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 13 4 5 4 13 0 0 0 2 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 1 函数的最值概念是全局性的 2 函数的最大值 最小值 唯一 3 函数的最值可在端点处取得 提升总结 已知f x x2 4 x 2 求函数f x 在 2 2 上的最值 解析 由题意得f x x3 2x2 4x 8 所以f x 3x2 4x 4 令f x 3x2 4x 4 0 得x 或x 2 又f f 2 0 f 2 0 所以 函数f x 在 2 2 上的最大值为 最小值为0 即时训练 例3 含参数的最值问题 1 已知函数f x x3 ax2 3x 若x 3是函数的极值点 则函数在 1 a 上的最大值为 最小值为 2 已知函数f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 求a的值 并求函数f x 在 2 2 上的最大值 解题关键 1 根据题目中给出的条件 先求出参数a的值 然后求函数的最值 2 根据函数在闭区间上的最小值为 37 可求出a的值 从而可求出函数的最大值 自主解答 1 f x x3 ax2 3x 所以f x 3x2 2ax 3 因为x 3是函数的极值点 所以f 3 27 6a 3 0 解得a 5 f x 3x2 10 x 3 令f x 0 得x 舍去 或x 3 又f 1 1 f 3 9 f 5 15 所以函数在 1 a 上的最大值为15 最小值为 9 答案 15 9 2 f x 2x3 6x2 a 所以f x 6x2 12x 令f x 6x2 12x 0 得x 0或x 2 又f 2 40 a f 0 a f 2 8 a 所以函数f x 2x3 6x2 a在 2 2 上最小值为f 2 40 a 37 所以a 3 函数f x 的最大值为f 0 3 规律总结 已知函数最值求参数的一般步骤 1 求最值 求出导数 根据极值的定义 求出函数的极值及区间端点处的函数值 进而求出最值 2 列方程 根据题意 列出参数满足的方程 3 求参数 解方程 求出参数的值 1 2014 聊城高二检测 函数在区间上的最大值是 a b c d 以上都不对 c 2 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 函数在 2 2 上的最小值为 37 3 函数f x x3 ax b 满足f 0 0 且在x 1时取得极小值 则实数a的值为 3 0 解 令 解得 x 0 0 0 当x变化时 f x 的变化情况如下表 0 5 若函数的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解 令得x 0 x 4 舍去 当x变化时 f x 的变化情况如下表 由表知 当x 0时 f x 取得最大值b 故b 3 又f 1 f 2 9a 0 所以f x 的最小值为f 2 16a 3 29 故a 2 因此f 2a 2等价于lna a 11时 g a 0 因此 a的取值范围是 0 1 1 求在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数 2 求函数最值的一般方法 3 求函数的最值时 应注意以下几点 1 要正确区分