【全程复习方略】高中数学 2.2.2.2椭圆方程及性质的应用课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

椭圆方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.过椭圆x24+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于a,b两点,则|ab|等于()a.4b.2c.1d.43【解析】选c.因为x24+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标f(3,0),将x=3代入x24+y2=1得,y=12,故|ab|=1.2.已知直线l过点(3,-1),且椭圆c:x225+y236=1,则直线l与椭圆c的公共点的个数为()a.1b.1或2c.2d.0【解析】选c.因为直线过定点(3,-1)且3225+(-1)236b0)的右焦点f(3,0),过点f的直线交e于a,b两点,若ab的中点坐标为(1,-1),则e的方程为()a.x245+y236=1b.x236+y227=1c.x227+y218=1d.x218+y29=1【解题指南】本题中给出ab的中点坐标,所以在解题时先设出a,b两点坐标,然后采用点差法求解.【解析】选d.由椭圆x2a2+y2b2=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点f的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)交于a,b两点,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x22=1,y1+y22=-1,则b2x12+ a2y12= a2b2,b2x22+ a2y22= a2b2,由-得b2(x12-x22)+ a2(y12-y22)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,y1-y2x1-x2=b2a2,又直线的斜率为k=0-(-1)3-1=12,即b2a2=12.因为b2=a2-c2=a2-9,所以a2-9a2=12,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为x218+y29=1.【变式训练】椭圆x216+y29=1中,以点m(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()a.916b.932c.964d.-932【解析】选b.设弦的两个端点为a(x1,y1),b(x2,y2),则x1216+y129=1,x2216+y229=1,-得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)9=0,又因为弦中点为m(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以-2(x1-x2)16+4(y1-y2)9=0,所以k=y1-y2x1-x2=932.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014天水高二检测)过点m(1,1)作一直线与椭圆x29+y24=1相交于a,b两点,若m点恰好为弦ab的中点,则ab所在直线的方程为.【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),代入椭圆方程,得4x12+9y12=94,4x22+9y22=94,两式相减,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,由中点坐标公式得x1+x22=1,y1+y22=1,所以k=y1-y2x1-x2=-49,所以所求直线方程为4x+9y-13=0.答案:4x+9y-13=08.(2014德州高二检测)如图,f1,f2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点p在椭圆上,pof2是面积为3的正三角形,则b2的值是.【解析】因为|of2|=c,所以spof2=34c2=3,所以c=2.又因为p点在椭圆上,且p(1,3),所以12a2+(3)2b2=1,所以1a2+3b2=1.又因为a2=b2+c2=4+b2,所以b2=23.答案:239.(2013辽宁高考改编)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,bf.若|ab|=10,|bf|=8,cosabf=45,则c的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点a(或b)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在三角形abf中,由余弦定理得|af|2=|ab|2+|bf|2-2|ab|bf|cosabf,又|ab|=10,|bf|=8,cosabf=45,解得|af|=6.在三角形abf中,|ab|2=102=82+62=|bf|2+|af|2,故三角形abf为直角三角形.设椭圆的右焦点为f,连接af,bf,根据椭圆的对称性,四边形afbf为矩形,则其对角线|ff|=|ab|=10,且|bf|=|af|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|af|+|af|=2a,所以2a=|af|+|af|=6+8=14.故离心率e=ca=2c2a=57.答案:57三、解答题(每小题10分,共20分)10.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于a,b两点,c是ab的中点,若|ab|=22,oc的斜率为22,求椭圆的方程.【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),代入椭圆方程,得ax12+by12=1,ax22+by22=1.-,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而y2-y1x2-x1=kab=-1,y2+y1x2+x1=koc=22,则b=2a.又因为|ab|=1+k2|x2-x1|=2|x2-x1|=22,所以|x2-x1|=2.又由ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=2ba+b,x1x2=b-1a+b.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=2ba+b2-4b-1a+b=4,将b=2a代入,得a=13,b=23,所以所求的椭圆方程为x23+23y2=1.【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则|ab|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=24b2-4(a+b)(b-1)(a+b)2.因为|ab|=22,所以a+b-aba+b=1.设c(x,y),则x=x1+x22=ba+b,y=1-x=aa+b.因为oc的斜率为22,所以ab=22.代入,得a=13,b=23.所以椭圆方程为x23+23y2=1.11.(2014德阳高二检测)已知离心率为22的椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)过点m(6,1).(1)求椭圆的方程.(2)已知与圆x2+y2=83相切的直线l与椭圆c相交于不同两点a,b,o为坐标原点,求oaob的值.【解题指南】(1)由e=22,及椭圆c过点m(6,1)建立方程组,即可确定椭圆c的方程.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),讨论l的斜率不存在时l:x=236,此时oaob=x12-y12=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与圆相切得3m2-8k2-8=0,再将l代入椭圆方程,利用根与系数的关系及向量的数量积公式即可求得.【解析】(1)因为e=22,又椭圆c过点m(6,1),所以a2-b2a2=12,6a2+1b2=1,解得a2=8,b2=4.所以椭圆方程为x28+y24=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,l:x=236,则x1=x2=236,y1=-y2,所以oaob=x12-y12=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由于l与圆相切得:|m|k2+1=223,所以3m2-8k2-8=0.将l的方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2,所以oaob=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2-8k2-81+2k2=0,综上,oaob=0.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014成都高二检测)直线l:x-2y+2=0过椭圆左焦点f1和一个顶点b,则该椭圆的离心率为()a.15b.25c.55d.255【解析】选d.由x-2y+2=0,令y=0,得f1(-2,0).令x=0,得b(0,1),即c=2,b=1,所以a=5,所以e=ca=25=255.2.(2014北京高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆x29+y24=1的公共点个数为()a.0b.1c.2d.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点p是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选c.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=4a2+b22,所以a2+b24,所以点p(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点p是椭圆内的点,所以过点p(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.故选c.3.(2013大纲版全国卷)椭圆c:x24+y23=1的左、右顶点分别为a1,a2,点p在c上且直线pa2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线pa1斜率的取值范围是()a.12,34b.38,34c.12,1d.34,1【解题指南】将p(x0,y0)代入到x24+y23=1中,得到x0与y0之间的关系,利用kpa1kpa2为定值求解kpa1的取值范围.【解析】选b.设p(x0,y0),则x024+y023=1,kpa2=y0x0-2,kpa1=y0x0+2,kpa1kpa2=y02x02-4=3-34x02x02-4=-34,故kpa1=-341kpa2.因为kpa2-2,-1,所以kpa138,34.4.过点m(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于p1,p2,线段p1p2的中点为p,设直线m的斜率为k1(k10),直线op的斜率为k2,则k1k2的值为()a.2b.-2c.12d.-12【解析】选d.设p1(x1,y1),p2(x2,y2),p(x0,y0),则x122+y12=1,x222+y22=1,-得(x1+x2)(x1-x2)2=-(y1+y2)(y1-y2),所以y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-x02y0.因为k1=y1-y2x1-x2,k2=y0x0,所以k1=-12k2.所以k1k2=-12.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014邯郸高二检测)过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为.【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).由4x2+5y2-20=0,y=2x-2,消去y,得3x2-5x=0,所以x=0或x=53,从而a(0,-2),b53,43.所以|ab|=259+1009=1259=553.又o到ab的距离d=25=255,所以saob=12|ab|d=12553255=53.答案:536.(2014广州高二检测)已知椭圆c:x22+y2=1的两焦点为f1,f2,点p(x0,y0)满足0x022+y021,则|pf1|+|pf2|的取值范围为.【解析】依题意知p位于椭圆c的内部(异于原点o),因此有|f1f2|pf1|+|pf2|2a,即2|pf1|+|pf2|b0),c2离心率为22.若c1与c2相交于a,b两点,且线段ab恰好为圆c1的直径.求直线ab的方程和椭圆c2的方程.【解析】由e=22得a2=2c2=2b2.所以椭圆c2的方程为x22b2+y2b2=1.设a(x1,y1),b(x2,y2),由圆心(2,1)得x1+x2=4,y1+y2=2.又x122b2+y12b2=1,x222b2+y22b2=1,相减整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.从而y2-y1x2-x1=-1,所以直线方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.代入椭圆方程,得3x2-12x+18-2b2=0.因为直线ab与椭圆相交,所以0,即b20.由|ab|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=242-418-2b23=2203,所以b2=8,a2=16,所以椭圆方程为x216+y28=1.8.(2013重庆高考)如图,椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于a,a两点,|aa|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点p,p,过p,p作圆心为q的圆,使椭圆上的其余点均在圆q外.求ppq的面积s的最大值,并写出对应的圆q的标准方程.【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出q点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆q外可求ppq的面积s的最大值以及圆的标准方程.【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意知点a(-c,2)在椭圆上,则(-c)2a2+22b2=1,从而e2+4b2=1.由e=22,得b2=41-e2=8,从而a2=b21-e2=16,故该椭圆的标准方程为x216+y28=1.(2)由椭圆的对称性,可设q(x0,0),又设m(x,y)是椭圆上任意一点,则|qm|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x +x02+81-x216=12(x-2x0)2-x02+8(x-4,4