【全程复习方略】高中数学 5.6数列的综合应用课时提能训练 苏教版.doc

【全程复习方略】2013版高中数学 5.6数列的综合应用课时提能训练 苏教版 (45分钟 100分) 一、填空题(每小题5分，共40分)1.已知各项不为0的等差数列an满足2a3-a72+2a11=0,数列bn是等比数列，且b7=a7，则b6b8=_.2.(2012常州模拟)在公差不为零的等差数列an中,a1=2,a1、a2、a5成等比数列,若sn是数列an的前n项和,则s10=_.3.已知实数等比数列an中，sn是它的前n项和.若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为，则s5=_.4.设sn是数列an的前n项和,若(nn*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”.若数列是首项为2,公比为4的等比数列，则数列bn_(填“是”或“不是”)“和等比数列”.5.各项均为正数的等比数列an的公比q1,a2,a1成等差数列，则=_.6.已知数列an为等差数列，若-1，且它们的前n项和sn有最大值，则使得sn0的n的最小值为_.7.(2012南通模拟)已知集合p=x|x=2n,nn,q=x|x=2n,nn,将集合pq中的所有元素从小到大依次排列,构成一个数列an,则数列an的前20项之和s20=_.8.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出_万元资金进行奖励二、解答题(每小题15分，共45分)9.(2012苏州模拟)已知数列an是首项为a1=,公比q=的等比数列,设bn+2=(nn*),数列cn满足cn=anbn.(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列cn的前n项和sn.10.国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6 000元.某大学2010届毕业生李霄在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1 500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4 000元.李霄同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元.(1)若李霄恰好在第36个月(即毕业后3年)还清贷款，求x的值;(2)当x=50时，李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？(参考数据：1.0518=2.407,1.0519=2.527,1.0520=2.653,1.0521=2.786)11.(2012通州模拟)如图,在直角坐标系xoy中,有一组底边长为an的等腰直角三角形anbncn(n=1,2,),底边bncn依次放置在y轴上(相邻顶点重合),点b1的坐标为(0,b),b0.(1)若a1,a2,a3,an在同一条直线上,求证数列an是等比数列;(2)若a1是正整数,a1,a2,a3,an依次在函数y=x2的图象上,且前三个等腰直角三角形面积之和不大于,求数列an的通项公式.【探究创新】(15分)已知数列an的前n项和为sn，对一切正整数n,点pn(n,sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且在点pn(n,sn)处的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式;(2)若求数列bn的前n项和tn.答案解析1.【解析】数列an是等差数列，a3+a11=2a7,由2a3-a72+2a11=0，得4a7-a72=0,又an0,a7=4,b6b8=b72=42=16.答案：162.【解析】设数列an的公差为d,a1、a2、a5成等比数列,a22=a1a5,(2+d)2=2(2+4d).d0,d=4,答案：2003.【解析】由a2a3=a1a4=2a1得a4=2,又a4+2a7=,a7=,设等比数列an的公比为q，则a7=a4q3,q3=,q=,a1=16,答案：314.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.【解析】数列是首项为2,公比为4的等比数列，所以=24n-1=22n-1,bn=2n-1.设数列bn的前n项和为tn,则tn=n2,t2n=4n2,所以因此数列bn是“和等比数列”.答案：是5.【解题指南】由a2,a1成等差数列可求公比q,把转化为关于q的式子.【解析】由题意知,a3=a2+a1,a1q2=a1q+a1,q2-q-1=0,又q0,q=,答案：6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“-1”及“sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围,进而求出使得sn0的n的最小值.【解析】由题意知d0,a100,a110,a10+a110,由由sn=0得n=0或n=1920,sn0的解集为nn*|n故使得sn0的n的最小值为20.答案：207.【解析】s20=0+1+(2+4+6+36)=343.答案：3438.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1,a2,a10,则则a1=2,an-an-1=即an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以答案：2 0469.【解析】(1)由题意知,(nn*),又故bn=3n-2(nn*).(2),bn=3n-2(nn*),cn=(3n-2)()n,(nn*)于是两式相减,得 (nn*).【变式备选】设数列an满足a1=2,an+1-an=322n-1，(1)求数列an的通项公式；(2)令bn=nan，求数列的前n项和sn. 【解题指南】根据题目中的递推关系可得数列的通项公式，在解决第(2)问时观察数列通项公式的特点可以发现是一个等差数列乘以一个等比数列，所以适合用错位相减法求和.【解析】(1)由已知，当n1时，an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2适合,所以数列an的通项公式为an=22n-1.(2)由bn=nan=n22n-1知sn=12+223+325+n22n-1 从而22sn=123+225+327+n22n+1 -得：(1-22)sn=2+23+25+22n-1 -n22n+1，即sn=(3n-1)22n+1+2.10.【解析】(1)依题意，从第13个月开始，每个月的还款额an构成等差数列，其中a1=500+x,公差为x.从而，到第36个月，李霄共还款12500+24a1+x,令12500+(500+x)24+x=24 000,解得x=20(元)，据题意，验证可行.即要使在第36个月时恰好还清贷款，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元.(2)设李霄第n个月还清，则应有12500+(500+50)(n-12)+5024 000,整理可得n2-3n-8280,解得30.330,取n=31,即李霄工作31个月就可以还清贷款，这个月李霄的还款额为24 000-12500+(500+50)(30-12)+50=450(元)，第31个月李霄的工资为1 5001.0519=1 5002.5273 791元，因此，李霄的剩余工资约为3 791-450=3 341(元).11.【解析】(1)an点的坐标依次为a1(),a2(),an(,b+a1+an-1+),则=,n=1,2,3,若a1,a2,a3,an共线,则,即(an-an-1)(an+1+an)-(an+an-1)(an+1-an)=0,(anan+1-an-1an+1+an2-anan-1)-(anan+1+an-1an+1-an2-anan-1)=0,an2=an-1an+1,所以数列an是等比数列.(2)依题意b+a1+an-1+=()2,b+a1+an-1+an+,两式作差,则有:又an+an+10,故an+1-an=2,即数列an是公差为2的等差数列;此数列的前三项依次为a1,a1+2,a1+4,由可得故a1=1或a1=2或a1=3.数列an的通项公式是an=2n-1,或an=2n,或an=2n+1.由知,a1=1时,b=不合题意;a1=2时,b=0不合题意;a1=3时,b=0;所以,数列an的通项公式是an=2n+1.【探究创新】【解题指南】(1)将点pn代入函数f(x)后，利用sn与an的关系，求得an;(2)先求f(x)在点pn处的斜率kn，代入bn后利用错位相减法求出tn.【解析】(1)点pn(n,sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，sn=n2+2n(nn*)当n2时，an=sn-sn-1=2n+1,当n=1时，a1=s1=3满足上式，所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)由f(x)=x2+2x,求导得f(x)=2x+2.在点pn(n,sn)处的切线的斜率为kn,kn=2n+2,bn=4(2n+1)4n,tn=434+4542+4743+4(2n+1)4n,用错位相减法可求得【变式备选】已知等差数列an满足：an+1an(nn*),a1=1,该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项.(1)分别求数列an,bn的通项公式an,bn.(2)设 (nn*),若 (cz)恒成立，求c的最小值.【解析】(1)设d、q分别为数列an、数