高考数学总复习 5.3 立体几何解答题习题课件 文.ppt

5 3立体几何解答题 2 高考命题规律1 高考必考考题 主要以多面体为载体 考查空间位置关系的判定与性质 求几何体的体积 面积 距离等 2 解答题 12分 中等难度 3 全国高考有4种命题角度 分布如下表 3 空间中平行 垂直关系的证明高考真题体验 对方向1 2017山东 18 由四棱柱abcd a1b1c1d1截去三棱锥c1 b1cd1后得到的几何体如图所示 四边形abcd为正方形 o为ac与bd的交点 e为ad的中点 a1e 平面abcd 1 证明 a1o 平面b1cd1 2 设m是od的中点 证明 平面a1em 平面b1cd1 4 证明 1 取b1d1的中点o1 连接co1 a1o1 由于abcd a1b1c1d1是四棱柱 所以a1o1 oc a1o1 oc 因此四边形a1oco1为平行四边形 所以a1o o1c 又o1c 平面b1cd1 a1o 平面b1cd1 所以a1o 平面b1cd1 2 因为ac bd e m分别为ad和od的中点 所以em bd 又a1e 平面abcd bd 平面abcd 所以a1e bd 因为b1d1 bd 所以em b1d1 a1e b1d1 又a1e em 平面a1em a1e em e 所以b1d1 平面a1em 又b1d1 平面b1cd1 所以平面a1em 平面b1cd1 5 2 2017江苏 15 如图 在三棱锥a bcd中 ab ad bc bd 平面abd 平面bcd 点e f e与a d不重合 分别在棱ad bd上 且ef ad 求证 1 ef 平面abc 2 ad ac 6 证明 1 在平面abd内 因为ab ad ef ad 所以ef ab 又因为ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 2 因为平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd bc 平面bcd bc bd 所以bc 平面abd 因为ad 平面abd 所以bc ad 又ab ad bc ab b ab 平面abc bc 平面abc 所以ad 平面abc 又因为ac 平面abc 所以ad ac 7 新题演练提能 刷高分1 2018江苏六市二模 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 ab ac 点e f分别在棱bb1 cc1上 均异于端点 且 abe acf ae bb1 af cc1 求证 1 平面aef 平面bb1c1c 2 bc 平面aef 8 证明 1 在三棱柱abc a1b1c1中 bb1 cc1 af cc1 af bb1 又 ae bb1 ae af a ae af 平面aef bb1 平面aef 又 bb1 平面bb1c1c 平面aef 平面bb1c1c 2 ae bb1 af cc1 abe acf ab ac rt aeb rt afc be cf 又由 1 知 be cf 四边形befc是平行四边形 从而bc ef 又 bc 平面aef ef 平面aef bc 平面aef 9 2 2018江西质量监测 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc m为线段cc1上的一点 且ac 1 bc cc1 2 1 求证 ac b1m 2 若n为ab的中点 若cn 平面ab1m 求三棱锥m acb1的体积 1 证明在直三棱柱abc a1b1c1中 ac cc1 ac bc cc1 bc c ac 平面bb1c1c b1m 平面bb1c1c ac b1m 10 11 3 2018广东惠州4月模拟 如图 在直角 abc中 acb 90 bc 2ac 4 d e分别是ab bc边的中点 沿de将 bde折起至 fde 且 cef 60 1 求四棱锥f aced的体积 2 求证 平面adf 平面acf 12 1 解 d e分别是ab bc边的中点 de平行且等于ac的一半 de bc de 1 依题意 de ef be ef 2 de 平面cef 平面aced 平面cef 过f点作fm ec于点m 13 14 15 dn 平面acf 又 dn 平面adf 平面adf 平面acf 16 4 2018北京西城模拟 如图 在四棱锥p abcd中 平面pab 平面abcd ad bc pa ab cd ad bc cd ad e为ad的中点 1 求证 pa cd 2 求证 平面pbd 平面pab 3 在平面pab内是否存在m 使得直线cm 平面pbe 请说明理由 17 1 证明 平面pab 平面abcd 平面pab 平面abcd ab pa ab pa 平面abcd 又cd 平面abcd pa cd 18 2 证明 由已知 bc ed 且bc ed 四边形bcde是平行四边形 又cd ad bc cd 四边形bcde是正方形 连接ce 则bd ce 又bc ae bc ae 四边形abce是平行四边形 ce ab bd ab 由 1 知pa 平面abcd bd 平面abcd pa bd 又pa ab a bd 平面pab bd 平面pbd 平面pbd 平面pab 19 3 解 当m为直线ab cd的交点时 有cm 平面pbe 理由如下 在四边形abcd中 ad bc bc ad 四边形abcd为梯形 ab cd必定相交 设交点为m 由 2 知四边形bcde是正方形 cm be 又cm 平面pbe be 平面pbe cm 平面pbe 故平面pab内存在m 使得直线cm 平面pbe 且m为直线ab cd的交点 20 几何体的体积与距离问题高考真题体验 对方向1 2018全国 19 如图 在三棱锥p abc中 ab bc 2 pa pb pc ac 4 o为ac的中点 1 证明 po 平面abc 2 若点m在棱bc上 且mc 2mb 求点c到平面pom的距离 21 22 2 2017全国 18 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd 且 bap cdp 90 1 证明 平面pab 平面pad 2 若pa pd ab dc apd 90 且四棱锥p abcd的体积为 求该四棱锥的侧面积 23 1 证明 由已知 bap cdp 90 得ab ap cd pd 由于ab cd 故ab pd 从而ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 2 解 在平面pad内作pe ad 垂足为e 由 1 知 ab 平面pad 故ab pe 可得pe 平面abcd 24 3 2017全国 18 如图 四棱锥p abcd中 侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd ab bc ad bad abc 90 1 证明 直线bc 平面pad 25 1 证明 在平面abcd内 因为 bad abc 90 所以bc ad 又bc 平面pad ad 平面pad 故bc 平面pad 2 解 取ad的中点m 连接pm cm 形 则cm ad 因为侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以pm ad pm 底面abcd 因为cm 底面abcd 所以pm cm 26 27 4 2017全国 19 如图 四面体abcd中 abc是正三角形 ad cd 1 证明 ac bd 2 已知 acd是直角三角形 ab bd 若e为棱bd上与d不重合的点 且ae ec 求四面体abce与四面体acde的体积比 28 1 证明 取ac的中点o 连接do bo 因为ad cd 所以ac do 又由于 abc是正三角形 所以ac bo 从而ac 平面dob 故ac bd 2 解 连接eo 由 1 及题设知 adc 90 所以do ao 在rt aob中 bo2 ao2 ab2 又ab bd 所以bo2 do2 bo2 ao2 ab2 bd2 故 dob 90 29 5 2016全国 19 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m为线段ad上一点 am 2md n为pc的中点 1 证明mn 平面pab 2 求四面体n bcm的体积 30 因为at 平面pab mn 平面pab 所以mn 平面pab 2 解 因为pa 平面abcd n为pc的中点 31 新题演练提能 刷高分1 2018广东佛山质量检测 如图 在多面体abcdef中 四边形abcd是梯形 ad bc bad 90 cf 平面abcd 平面ade 平面abcd 1 求证 bf 平面ade 2 若 ade是等边三角形 ad 4 ab cf bc 1 求多面体abcdef的体积 32 1 证明 过点e作eo ad 垂足为o 因为平面ade 平面abcd 平面ade 平面abcd ad eo 平面ade 所以eo 平面abcd 又cf 平面abcd 所以cf oe 又cf 平面ade 所以cf 平面ade 因为ad bc bc 平面ade ad 平面ade 所以bc 平面ade 又bc cf c 所以平面bcf 平面ade 又bf 平面bcf 所以bf 平面ade 33 2 解 由 1 得eo 平面abcd 此时o为ad中点 可得eo ab 又ab ad ad eo o 所以ab 平面ade 34 2 2018山东潍坊一模 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 cc1 4 ab bc 2 ac 2 点m是棱aa1上不同于a a1的动点 1 证明 bc b1m 2 若 cmb1 90 判断点m的位置并求出此时平面mb1c把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比 1 证明 在 abc中 ab2 bc2 8 ac2 abc 90 bc ab 又 bc bb1 bb1 ab b bc 平面abb1a1 又b1m 平面abb1a1 bc b1m 35 2 解 当 cmb1 90 时 设am t 0 t 4 a1m 4 t 则在rt mac中 cm2 t2 8 同理 b1m2 4 t 2 4 b1c2 16 4 20 故m为aa1的中点 此时平面mb1c把此棱柱分成两个几何体为 四棱锥c abb1m和四棱锥b1 a1mcc1 由 1 知四棱锥c abb1m的高为bc 2 36 3 2018湖南益阳4月调研 在三棱锥p abe中 pa 底面abe ab 1 求证 cd 平面pab 2 求点e到平面pcd的距离 37 所以ac是rt abe的斜边be上的中线 所以c是be的中点 又因为d是ae的中点 所以直线cd是rt abe的中位线 所以cd ab 又因为cd 平面pab ab 平面pab 所以cd 平面pab 38 39 4 2018重庆二诊 三棱柱abc a1b1c1中 m n o分别为棱ac1 ab a1c1的中点 1 求证 直线mn 平面aob1 2 若三棱柱abc a1b1c1的体积为10 求三棱锥a mon的体积 40 1 证明 连接a1b交ab1于点p 连接np op mo np 且mo np 四边形mopn为平行四边形 mn op 又mn 平面aob1 op 平面aob1 mn 平面aob1 41 5 2018陕西西安八校第一次联考 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd abc是正三角形 ac与bd的交点为m 又pa ab 4 ad cd cda 120 点n是cd的中点 1 求证 平面pmn 平面pab 2 求点m到平面pbc的距离 42 1 证明 在正三角形abc中 ab bc 在 acd中 因为ad cd 易证 adb cdb 所以m为ac的中点 因为点n是cd的中点 所以mn ad 因为pa 平面abcd 所以pa ad 因为 cda 120 所以 dac 30 因为 bac 60 所以 bad 90 即ba ad 因为pa ab a 所以ad 平面pab 所以mn 平面pab 又mn 平面pmn 所以平面pmn 平面pab 43 2 解 设m到平面pbc的距离为h 44 6 2018山东青岛二模 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱bb1 底面abc bb1 4 ab bc 且ab bc 4 点m n分别为棱ab bc上的动点 且am bn 1 求证 无论m在何处 总有b1c c1m 2 求三棱锥b mnb1体积的最大值 45 1 证明 bb1 底面abc bb1 ab 又ab bc bc b1b b ab 平面bcc1b1 b1c ab bcc1b1为正方形 b1c bc1 又ab bc1 b b1c 平面ac1b c1m 平面ac1b b1c c1m 46 空间中的折叠问题高考真题体验 对方向1 2018全国 18 如图 在平行四边形abcm中 ab ac 3 acm 90 以ac为折痕将 acm折起 使点m到达点d的位置 且ab da 1 证明 平面acd 平面abc 2 q为线段ad上一点 p为线段bc上一点 且bp dq da 求三棱锥q abp的体积 47 解 1 由已知可得 bac 90 ba ac 又ba ad 所以ab 平面acd 又ab 平面abc 所以平面acd 平面abc 48 2 2016全国 19 如图 菱形abcd的对角线ac与bd交于点o 点e f分别在ad cd上 ae cf ef交bd于点h 将 def沿ef折到 d ef的位置 1 证明 ac hd 49 解 1 由已知得ac bd ad cd 50 51 3 2015陕西 18 如图 在直角梯形abcd中 ad bc abe沿be折起到图 中 a1be的位置 得到四棱锥a1 bcde 1 证明 cd 平面a1oc 2 当平面a1be 平面bcde时 四棱锥a1 bcde的体积为36 求a的值 52 即在题图 中 be a1o be oc 从而be 平面a1oc 又cd be 所以cd 平面a1oc 2 解 由已知 平面a1be 平面bcde 且平面a1be 平面bcde be 又由 1 a1o be 所以a1o 平面bcde 即a1o是四棱锥a1 bcde的高 53 新题演练提能 刷高分1 2018黑龙江大庆第二次质检 如图 在矩形abcd中 ab 2 ad 4 m是ad的中点 将 mab沿bm向上折起 使平面abm 平面bcdm 1 求证 ab cm 2 求点d到平面acm的距离 54 所以 在 bcm中 bc2 bm2 cm2 所以cm bm 因为平面abm 平面bcdm且bm是交线 cm 平面bcdm 所以cm 平面abm 因为ab 平面abm 所以ab cm 55 2 解 取bm中点e 连接ae 因为ab am且e为bm中点 所以ae bm 因为ae 平面abm 平面abm 平面bcdm bm是交线 所以ae 平面bcdm 故ae的长即为点a到平面bcdm的距离 算得 56 2 2018山东k12联盟模拟 在矩形abcd中 ab 1 ad 2 e为线段ad的中点 如图1 沿be将 abe折起至 pbe 使bp ce 如图2所示 1 求证 平面pbe 平面bcde 2 求点d到平面pec的距离 57 1 证明在图1中连接ec 则 aeb ceb 45 bec 90 be ce pb ce pb pe p ce 平面pbe ce 平面bcde 平面pbe 平面bcde 2 解取be的中点o 连接po 58 3 2018湖南郴州第二次质检 如图 在长方形abcd中 ab 4 bc 2 现将 acd沿ac折起 使d折到p的位置且p在平面abc的射影e恰好在线段ab上 1 证明 ap pb 2 求三棱锥p ebc的表面积 59 1 证明 由题知pe 平面abc 又bc 平面abc pe bc 又ab bc且ab pe e bc 平面pab 又ap 平面pab bc ap 又ap cp且bc cp c ap 平面pbc 又pb 平面pbc 所以ap pb 60 2 解 在 pab中 由 1 得ap pb ab 4 ap 2 61 4 2018东北三省三校三模 已知 abc中 ab bc bc 2 ab 4 分别取边ab ac的中点d e 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1d bd 设点m为棱a1d的中点 点p为a1b的中点 棱bc上的点n满足bn 3nc 1 求证 mn 平面a1ec 2 求三棱锥n pce的体积 62 1 证明 取a1e中点f 连接mf cf m为棱a1d的中点 四边形mfcn为平行四边形 mn fc mn 平面a1ec fc 平面a1ec mn 平面a1ec 63 2 解 取bd中点h 连接ph ab bc de bc de da1 de bd a1d bd db de d a1d 平面bced ph a1d ph 平面bced ph为三棱锥p nce的高 64 5 2018贵州贵阳适应性考试 如图 在等腰梯形adeb中 be ad 且ad 2be 2ab 2bc 4 沿bc翻折使得平面abc 平面bcde 得到四棱锥a bcde 若点f为ae的中点 1 求证 ac 平面bdf 2 求点c到平面abe的距离 65 1 证明 如图 连接ce交bd于点h 连接hf 因为四边形bcde是菱形 所以点h为ce的中点 又点f是ae的中点 所以ac hf 又因为ac 平面bdf 且hf 平面bdf 所以ac 平面bdf 66 2 解 如图 取bc的中点o 连接oa oe ce 因为等边 abc的边长为2 则在 boe中 ob 1 be 2 cbe 60 所以 boe 90 即oe bc 因为 abc是等边三角形 所以oa bc 因为平面abc 平面bcde 且平面abc 平面bcde bc oa 平面abc 所以oa 平面bcde 67 空间中的探究性问题高考真题体验 对方向 1 证明 平面amd 平面bmc 2 在线段am上是否存在点p 使得mc 平面pbd 说明理由 68 解 1 由题设知 平面cmd 平面abcd 交线为cd 因为bc cd bc 平面abcd 所以bc 平面cmd 故bc dm 所以dm cm 又bc cm c 所以dm 平面bmc 而dm 平面amd 故平面amd 平面bmc 2 当p为am的中点时 mc 平面pbd 证明如下 连接ac交bd于o 因为abcd为矩形 所以o为ac中点 连接op 因为p为am中点 所以mc op mc 平面pbd op 平面pbd 所以mc 平面pbd 69 2 2016全国 18 如图 已知正三棱锥p abc的侧面是直角三角形 pa 6 顶点p在平面abc内的正投影为点d d在平面pab内的正投影为点e 连接pe并延长交ab于点g 1 证明 g是ab的中点 2 在图中作出点e在平面pac内的正投影f 说明作法及理由 并求四面体pdef的体积 70 解 1 因为p在平面abc内的正投影为d 所以ab pd 因为d在平面pab内的正投影为e 所以ab de 所以ab 平面ped 故ab pg 又由已知可得 pa pb 从而g是ab的中点 2 在平面pab内 过点e作pb的平行线交pa于点f f即为e在平面pac内的正投影 理由如下 由已知可得pb pa pb pc 又ef pb 所以ef pa ef pc 因此ef 平面pac 即点f为e在平面pac内的正投影 连接cg 因为p在平面abc内的正投影为d 所以d是正三角形abc的中心 由 1 知 g是ab的中点 所以d在cg上 71 72 3 2016北京 18 如图 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd ab dc dc ac 1 求证 dc 平面pac 2 求证 平面pab 平面pac 3 设点e为ab的中点 在棱pb上是否存在点f 使得pa 平面cef 说明理由 73 解 1 因为pc 平面abcd 所以pc dc 又因为dc ac 所以dc 平面pac 2 因为ab dc dc ac 所以ab ac 因为pc 平面abcd 所以pc ab 所以ab 平面pac 所以平面pab 平面pac 3 棱pb上存在点f 使得pa 平面cef 证明如下 取pb中点f 连接ef ce cf 又因为e为ab的中点 所以ef pa 又因为pa 平面cef 所以pa 平面cef 74 新题演练提能 刷高分1 2018河南商丘二模 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧面abb1a1 底面abc ac ab ac ab aa1 2 aa1b1 60 e f分別为棱a1b1 bc的中点 1 求三棱柱abc a1b1c1的体积 2 在直线aa1上是否存在一点p 使得cp 平面aef 若存在 求出ap的长 若不存在 说明理由 75 解 1 在三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 ab 因为ab aa1 2 所以a1b1 aa1 2 又因为 aa1b 60 连接ab1 所以 aa1b1是边长为2的正三角形 因为e是棱a1b1的中点 所以ae a1b1 且ae 又ab a1b1 所以ae ab 又侧面abb1a1 底面abc 且侧面abb1a1 底面abc ab 又ae 侧面abb1a1 所以ae 底面abc 所以三棱柱abc a1b1c1的体积为 76 2 在直线aa1上存在点p 使得cp 平面aef 证明如下 连接be并延长 与aa1的延长线相交 设交点为p 连接cp 又f为棱bc的中点 故ef为 bcp的中位线 所以ef cp 又ef 平面aef cp 平面aef 所以cp 平面aef 故在直线aa1上存在点p 使得cp 平面aef 此时 pa1 aa1 2 所以ap 2aa1 4 77 2 2018山东烟台一模 已知正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为3 e f分别为cc1 bb1上的点 且ec 3fb 3 点m是线段ac上的动点 1 试确定点m的位置 使bm 平面aef 并说明理由 2 若m为满足 1 中条件的点 求三棱锥m aef的体积 78 解 1 当点m是线段ac靠近点a的三等分点时 bm 平面aef 所以mn bf且mn bf 所以四边形bmnf为平行四边形 所以bm fn 又fn 平面aef bm 平面aef 所以bm 平面aef 79 2 连接em fm 因为三棱柱abc a1b1c1是正三棱柱 所以bb1 平面acc1a1 所以v三棱锥m aef v三棱锥f aem v三棱锥b aem 取ac的中点o 连接bo 则bo ac 因为三棱柱abc a1b1c1是正三棱柱 所以aa1 平面abc 又bo 平面abc 所以aa1 bo 因为bo ac bo aa1 ac aa1 a 所以bo 平面acc1a1 所以bo为三棱锥b aem的高 80 3 2018河北衡水中学一模 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 1 ad 2 e f分别为ad aa1的中点 q是bc上一个动点 且bq qc 0 1 当 1时 求证 平面bef 平面a1dq 2 是否存在 使得bd fq 若存在 请求出 的值 若不存在 请说明理由 81 解 1 当 1时 q为bc中点 因为e是ad的中点 所以ed bq ed bq 则四边形bedq是平行四边形 所以be qd 又be 平面a1dq dq 平面a1dq 所以be 平面a1dq 又f是a1a中点 所以ef a1d 因为ef 平面a1dq a1d 平面a1dq 所以ef 平面a1dq 因为be ef e ef 平面bef be 平面bef 所以平面bef 平面a1dq 82 2 连接aq bd与fq 因为a1a 平面abcd bd 平面abcd 所以a1a bd 若bd fq a1a fq 平面a1aq 所以bd 平面a1aq 因为aq 平面a1aq 所以aq bd 在矩形abcd中 由aq bd 得 aqb dba 所以ab2 ad bq 又ab 1 a