【志鸿优化设计】（湖南专用）高考数学一轮复习 第二章函数2.9函数模型及其应用教学案 理.doc

2.9函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)(2)三种增长型函数之间增长速度的比较指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长_xn的增长，因而总存在一个x0，当xx0时有_对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0)对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会_yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有_由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有_2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1下列函数中，随x的增大函数值增大速度最快的是()ayex by100ln xcyx100 dy1002x22006年8月30日到银行存入a元，若年利率为x，且按复利计算，到2014年8月30日可取回()aa(1x)8元 ba(1x)9元ca(1x8)元 da(1x)8元3在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()ay2x2 by(x21)cylog3x dy2x24有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计)5里氏震级m的计算公式为：mlg alg a0，其中a是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，a0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍一、一次函数与分段函数模型【例11】已知a，b两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从a地前往b地，到达b地停留1小时后再以50千米/时的速度返回a地，把汽车离开a地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数，则下列正确的是()ax60t50t(0t6.5)bxcxdx【例12】根据市场调查，某商品在最近40天内的价格p与时间t的关系用图(1)中的一条折线表示，销售量q与时间t的关系用图(2)中的线段表示(tn*)(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系pf(t)，图(2)表示的销售量与时间的函数关系qg(t)；(2)这种商品的销售额s(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间方法提炼1在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)2在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数提醒：分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起要注意各段变量的范围，特别是端点请做演练巩固提升5二、二次函数模型【例2】 某加工厂需定期购买材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少总费用方法提炼1有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决提醒：在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域2形如f(x)kx(ka0)的函数，实际是正比例函数与反比例函数的“和”函数，根据其图象特点，通常称其为“对勾函数”，这种函数模型在现实生活中也有着广泛的应用常常利用“基本不等式”求解，有时也利用函数单调性求解请做演练巩固提升1三、指数函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)方法提炼1指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型3ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解4对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长请做演练巩固提升4函数模型应用解答题的规范解答【典例】 (12分)请你设计一个包装盒如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a，b，c，d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒e，f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设aefbx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值规范解答：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(2分)(1)s4ah8x(30x)8(x15)21 800，(4分)所以当x15时，s取得最大值(6分)(2)va2h2(x330x2)，v6x(20x)(8分)由v0得x0(舍)或x20.(9分)当x(0,20)时，v0；当x(20,30)时，v0.所以当x20时，v取得极大值，也是最大值(11分)此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.(12分)答题指导：1在解答本题时有两点容易造成失分：(1)忽视实际问题对变量x的限制即定义域(2)将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确2解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：(1)读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型(2)对涉及的相关公式记忆错误(3)在求解的过程中计算错误另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解1某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y3 00020x0.1x2(0x240，xn*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()a100台 b120台c150台 d180台2某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为()aa121 b(1a)121ca da13已知y与x(x100)之间的部分对应关系如下表：x1112131415y则x和y可能满足的一个关系式是_4一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/ml，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_小时才能开车(精确到1小时)5某民营企业生产a，b两种产品，根据市场调查与预测，a产品的利润与投资成正比，其关系如图1，b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将a，b两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入a，b两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？参考答案基础梳理自测知识梳理1(2)快于axxn慢于logaxxnaxxnlogax基础自测1a解析：在(0，)上，总存在一个x0，使xx0时有axxnlogax(a1)，排除b，c.又e2，ex的增长速度大于1002x的增长速度2a解析：由题意知一年后可取回a(1x)元，二年后可取回a(1x)2元，2014年8月30日可取回a(1x)8元3b解析：把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是y(x21)42 500 m2解析：设矩形的长为x m，宽为 m，则sx(x2200x)当x100时，smax2 500 m2.5610 000解析：第一空，lg 1 000lg 0.0013(3)6，第二空，设9级地震时最大振幅为a1,5级地震时最大振幅为a2，则9lg a1(3)，5lg a2(3)，所以a1106，a2102，10 000.考点探究突破【例11】d解析：依题意，函数为分段函数求出每一段上的解析式即可【例12】解：(1)pf(t)qg(t)，t1,40，tn*.(2)当1t20时，s2.tn*，t10或11时，smax176.当20t40时，s(t41)t228t为减函数；当t20时，smax161.而161176，当t10或11时，smax176.【例2】 解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需要保管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x1)天每次购买的原材料在x天内的保管费用y14000.03123(x1)6x26x.(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为(6x26x6001.5400x)元，购买一次原材料平均每天支付的总费用为y(6x26x600)1.54006x594.y2594714.当且仅当6x，即x10时取得等号该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，最少总费用为714元【例3】 解：(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系是y100(11.2%)x.(2)10年后人口总数为100(11.2%)10112.7(万)所以10年后该城市人口总数约为112.7万(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，于是1.012x，xlog1.012log1.0121.215.315(年)大约15年后该城市人口总数将达到120万人演练巩固提升1c解析：设利润为f(x)(万元)，则f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 0000，又xn*，x150.2b解析：不妨设第一年8月份的产值为b，则9月份的产值为b(1a),10月份的产值为b(1a)2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b(1a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为：(1a)121.3y(108x)2(x100)解析：将11,12,13,14,15对应的函数值分别写成，分母成等差数列，由此可知分母an97(n11)(1)97n11108n.所以x和y可能满足的一个关系式是y(108x)2(x100)45解析：设至