高等数学同济第七版7版下册习题 全解.doc

y2D2-1OiT-2图 10 - 1数，故/, = Jj( x2 + y1) 3d(j = 2jj( x2 + y1) 3dcr.fhi)i又由于d3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故 jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2 + y2 ) 3 da = 2/2.Dy1)：从而得/, = 4/2.(2) 利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) ,PJjf/(x,y)da = 0；D如果积分区域D关于：k轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/( x,y) = -/(太，y)，则= 0.D3.利用二重积分定义证明：(1 ) jj da =(其中(7为的面积)；IJ(2) JJ/c/( X ,y) drr = Aj|y( a:，y) do(其中 A：为常数)；on(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，A 为两个I)blh尤公共内点的WK域.证(丨)由于被枳函数./U,y) = 1 ,故山二t积分定义得njjltr = Hm y/( ,rji) A= x,y) |0xl,0j2；it(4) / = J(x2 + 4y2 +9)do，其中 D = x,y) x2 + y2 4 |.I)解 (1)在积分区域D上，0矣;上有0矣;t2 +y2苳4,所以有9 + 4r2 +9 4( x2 + y2) + 9矣25.34 I)的酣枳等于4tt，W此36 tt (x2 +4/ + 9) (Ur lOO-ir.二重积分的计算法.1.计算下列二甩积分:(2) l是顶点分别为( 0 .0 j (文3 + 3.r2 v +、)ch.+ x y + v jcdi(4) l)可用不等式表示为0 V A： ,0 .t 7T.于是|a:cos(jc + y) da = Icos(.v + v ) d i sin (.t + y) q() = J v( sin 2.v - sin .v ) 1 x x( cos .v 丄(.，s 2.v)卜(1X(-TTrTXcos .v - rusTT.& 2. _出枳分ix:域，斤i卜r): v列m分:(1) Jdo，其中/)是由两条抛物线7 = v,y = *2所围成的闭区域；D(2) jfxy2dcr,其中D是由圆周x2 + J2 = 4及y轴所围成的右半闭区域；I)( 3 ) JV + dcr，其中 /) = I (%，)| | A； | + | J | 1 !；D(4) |U2 +/ -x)1= (x,y)-x- yJc + 1,-1 a;0|,I)2 = (x ,y) |*-1+因此Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/( x，v)是两个函数/ ( O及)的乘n积，即/(X，y) = f(x) ./“y)，积分区域/) = (.V, y) I (1 V /, r ,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即|*/|U) -/2(r) flatly = J/, (.v)(l.v - /：( )v-证Jj./1 ( x ) .,2 ( / ) dvd V J f J ( v) ./： t lx*在上式右端的第一次单枳分f/, (.V) /2 (.V) d v中,./, ( A.) 1J fu t变招:、无关，nn见为 常数提到积分5外，W此上式“端笏T而在这个积分中，由于f/2 (y) d y为常数，故又可提到积分号外，从而得到 f2是:(1) 由直线及抛物线y2 =4x所围成的闭区域；(2) 由x轴及半圆周/ +y2 =r2(y英0)所围成的闭区域；(3) 由直线y =x，；c = 2及双曲线：k = -(*0)所围成的闭区域；X(4) 环形闭区域 IU，y) | 1+y24(.解(1)直线y=x及抛物线y2 =4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是fix/ = j dy/(*，y)tk.f(x,y)dy,(2) 将/)用不等式表示fyOyr2 -x2，- r W /，于是可将/化为如下的先 对y、后对*的二次积分：r/ = J (1文Jf(x ,y)(y；如将0叫不等式表示为Vr2 -y2xVr2 - y2 ,0各/，则可将/化为如卜的 先对*、后对y的二次枳分：drx,y) dx.(3)如图 10-7.:条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1 ,1 )，2,y和(2,2).于是dy (i_/(,y)+ tlj /( x ,y) dx.| dxjf(x,y)dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线 的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由个 方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先 对y、后对的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分.需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y)的特点.具体例子n见教 材下册第144页上的例2.dx /4Jx yy)dy + d.vl(1%/T/(A：,y)clr + d.vl y a -x2/(.r,v)d -f /(.v Vv) dv./(.v,v)d.v -f./4 -、/( , ) d.v -f厂、/4 -、I-v W/( v , y) (l.(4)将D按图10 - 8( a)和图10 - 8( 1)的两种不同方式則分为4块，分別得图 10 -8,5.设/U，y）在D上连续，其中/）是由直线;=所围成的闭区域，证明x ,r) d.t.dx| f(x,y)Ay证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U, y） d o，因而它们相等.I）6.改换下列二次积分的积分次序：(5) (lx fx,y)Ay广2f yix -x2(4) | 叫2 fx,y)dy-,fix /-sin x(6) I Ax J(x,y)Ay.JOJ - siny(2) J) dj|： f(x,y)dx；解（丨）所给二次积分等于二重积分J/U，;k）（，其中o =丨h，y） 1 r-0 j I （. / n|改写为 | Uj） | * 矣 y 矣 1，0 I | （罔 10 - 9）,于是原式=丄 ixj/(x,y)dy.(2) 所给一.次枳分等于二Ti积分 |/U,y)山，.K:中 /) = I |.y2 - I0)，W此原式=J, ixjy/(x,y)iy.(3) 所给二次积分等于二重积分.其中D = : (.v.v) | - V 1-y2 .V 1$、飞V彡1UX J1 - y2 ,0彡 彡 1 ; 又 D 可表示为：(JC，)*)丨0彡 y 彡 V 1 - .r2 , - 1 = (图10 -11)，因此f 1f V1 -X原式=J dxj/(x, v)dy.(4) 所给二次积分等于二重积分其中D = : (.v.v) 2 -hs/lx - x1 % 彡.r 彡2 :.又 D 可表示为：(a:,v) | 2 - 1彡.t彡 1 + Y 1 v2,0 : (图 10 -12)，故原式=丄 d)jf(x %y)dx.(5) 所给二次积分等于二重积分|/(.10 )(1,)1:中/)= 1(.v.v) | 0 v I)x彡e | 又/)可表示为| ( a:，) | e、彡a彡e，0彡、彡1 i ( |劄10 - 1,故原式=L (I.、| ,./X .、，.、) (l.v.(6) m 1()-14,将积分| /(x,y)dx.y广 1rir - arcsin 原式=I dyf(xyy)cxJO Jarcsin )tt - arcsin y，0彡 y 彡 1 | 1 ,D2 = | (.r, y)一 2arcsin, 一1 彡)彡0|.于是7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;t= 2，y = 和;r轴所围成，它的面密度/x(.t,v) = x2 +y2,求该薄片的质量.解 D如图10-15所示.所求薄片的质rt-x + xydrM = jJ/Lt( x 9y) dcr = dyj ( x2 + y2 ) dxAyr+(2”)3+2,d2x12| 冬| 10 - 15c)i x e | oY = sin A 的反闲数足A = iirrsM y- -1 x足ih y - hin x = sin ( tt - x) n!J tt - x arcKin y,从ifii得反闲数 (子中，TTtt - iin-Hin y.8. i |灯|l|四个平而a： = 0，y = 0，;t = I，v = I所闲成的柱休被平面z = 0及2.r + 3y + z 6藏得的立休的体积.解江力一 EJ .它？芪是；c0:. S二苎泛7：省。=X.；,0矣二矣0；. 1 .了是芒-2x-3:. F 10 - 6 . g -护不二歹l = |( 6 - 2j： - 3;. dxdv = dx 6 - lx - 5 . d.Sa9.求由平面a: =0,y = 0, +:， = 所围成的柱体被平面z = 0及拉物面;c:，:.： =6 - : . 得的/.体的体积.解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv面上的闭区域D=. 0 1 -：，.，顶是曲面 Z=f)-，故体积V - (I 6 - x2 + y2 ) dx(y6 ( 1 - x ) - x2 +f 1广1广1 -戈dx( 6 - x1_6*10-17m 10 - 18H.r这10.求由曲面+ 2/及z=6-2x2 _y2所围成的立体的体积._ 22解由= T + 消去z,得;c2 +y2 = 2,故所求立体在面上的投影 U = 6 - 2x2 - j2区域为D = | (x,y) | x2 + 矣2| (图 10 - 18). 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：V =( 6 - 2x2 - y2 ) dcr x2 + 2y2 ) dcrl)I)=JJ(6 - 3r2 - 3y2 ) da = jj( 6 - 3p2 )pdpd0/-2ttd0 (6 - 3p2 )pdp = 6tt.注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确 图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程，这 就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识y 11.両出积分区域，把积分J/(A：，y)d;cdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区U域D是：(1 ) (xyy) X2 + y2 a2 I (a 0)；(2) | xyy) x2 + y2 2| ；(3) | (x,y) | a2彡 x2 + y1 彡62 |，其中0 a 6;(4) j (xyy) | 0 j 1 - x,0 x 1 | .解(1)如图10-19,在极坐标系中，0= |(p，0) | 0彡p彡a，0彡(9彡2tt1，故jx,y)AxAy - jj/(pcos 0，psin 6)pdpd0/-2tTrl(11 /(pcos 0，psin 0)pAp.(2)如图10-20,在极坐标系中，l) =(p,0)jjy(x，y)dxdy = jj/(pcos 0,pain 0)pdpdOi)i)-y*y.2coH 0=J , dj) /(pros 0,psin 6)p/3(2)(|.v f /(/r + v2)分成1，102两部分：(p,0)(p,e)于是l-X ,sec 6rY rcsc 8原式=d0_ /(pcos 6,psin 6)pdp + L dl /(pcos 0,psin d)pdp.(2) D如图10-24所示.在极坐标系中，直线x=2,射线和;r =x(x0) 的方程分别是p = 2sec 6,6= 和0 =因此|(pyO)0p2sece,f6f.又 f(Vx2 + y2 ) =f(p),于是f-Y y.2sec 0原式=d0j) /(p)pdp-(3 ) D如图1() - 25所示.在极坐标系中，直线；K = 1 _ x的方程为P =1，圆;k = -/l - x2的方程为p = 1 ,因此sin 0 + cos 6(p，e)原式sin 0 + cos 6于是/(pcos 6 ,psin 0)pdp.(4) /)如图10 -26所示.在极坐标系中，直线* = 1的方程是/ = sec心抛物线 y=/的方程是psin 0=p2c:os2(9,即p = tan伽e(. 0;从原点到两者的交点的射线是沒=rT rser 0D = (.r2 + y2 ) cIa解（1）积分区域D如图10-27所示.在极坐标系中，0= ip,6)0p2aros 0,0 L于是r 2/*2fl=-sec tan 6 + ln( sec 6 + tan d) 4 6o=+ ln( J2 + 1 ).o0 tan Osec 0,0 f)J-( 3 )积分区域D如图10 -29所示.在极坐标系中，抛物线y =X2的方程是psin沒 p:cos2沒，即p = tan 6 sec 0;射线y=A；(:t彡0)的方程是0 =子，故=(p,0)寸:是x.|an Unt-r 0 j原式=7p，lptan 沒sec. 0(& = sec* 0 4- y/2 - . (4)积分区域(p,e);(w f, -pp = f-r - fa原式114.利用极坐标计算下列各题：(1) Ifeda,其中是由圆周;c2 +y2 =4所围成的闭区域；I)(2) |ln(l +x2+/)dCT,其中D是由圆周:t2+y2=l及坐标轴所围成的在第一I)象限内的闭区域；( 3 ) Jarctan da ,其中 D 是由圆周;c2 4- y2 = 4 , .r2 + y2 = 1 及直线 y = 0，、=Dx所围成的在第一象限内的闭区域.解(1)在极坐标系中，积分区域I (p,0) | 0矣p彡2,00 ) ,z = 0以及球心在原点、半径为尺的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.:arctan h,y2da =| yw -p2pdpd0p2p(ip=a (-d 18.计算以.rOy面上的圆周:t 顶的曲顶柱体的体积.解如图10-34,设arctan k.2 y2 = ax围成的闭区域为底，而以曲面2 =*2 + /为- I (x,y) | 0 j / ax -a:2 ,0 a: a | = |(p,0)|Op acos 9,00 由于曲顶柱体关于面对称，故V = 2 ff ( x2 + y2 ) (lid)facoa 02Jp2 PPO二2丄 丄 pp242232|冬MO -33-Tinf?-| 1() -34注在计算立体体积时，要注意充分利用图形的对称性，这样既能简化运算，也 能减少错误1*19.作适当的变换，计算下列二重积分：（1 ） J（x - y）2sin2（x + y）dx（Iy,其中/J是平行四边形闭区域，它的四个顶点是 /）（7T，0） , （2tt,7t），（7T，27T）和（0，TT）;（ 2 ） Jx2d.vdy，其中是由两条双曲线w = 1和X） = 2 ,直线）=.r和y = 4a所 1）围成的在第一象限内的闭区域；（3） （fe5d.rdy，其中是由.v轴、）轴和直线.r + .r = l所围成的闭区域；解 （1）令=欠-/，1；=无+ 7，贝|】：1： =- 2在这变换下，的边界I -y = - it ,x y = it ,x - y = tt ,x + y = 3ir 依次与 u = 一 tt，r = tt，u = tt，？； = 3tt 对应.后者 构成aOi；平面上与D对应的闭区域/）的边界.于是D = U ,v） | 一71$“$77,77 ) 1 vd、3 (.，V) 0，/0,/)彡0,0彡沒彡211).在此变换y - bp sin 下，与D对应的闭区域为“二丨（p，0） | 0彡p彡1彡2tt1 .又acos 0 apsin 6bsm 0bpcos 8a bp.j d（x,y）=d（P，e） % rr tx r 11*20.求由下列曲线所围成的闭区域D的面积：（1 ） 0是由曲线xy = 4，xy = 8，xy3 = 5 , a;j3 =15所围成的第一象限部分的闭 区域；:围成的第一象限部分的闭区域. ,7 = 在这变换下，与D(2) Z)是由曲线 y=?，y = 4/ ,x = y ,x - 4yJ 所 解(1 ) u = xy ,v = xy3 ( a:彡0，y 彡0 )，贝lj x 对应的uOi;平面上的闭区域为D = | (u,v) | 4 / -心，y) _；8 ,515 !.d(u,v)Z + - dxdy = abpdpdd = ab I I p dp = abir.于是所求面积为rr 1If8i(hid?；=:丄心JJ 2v2 j41JJdxdy15 1dv - 2In 3.V（2）令（:r0，y0），贝lj x = uTvT,y = uTvr.在这变换下，与xJ yj = d(x,y)=d(u ,v)于是所求面积为/I = | dxdy-u 8 vT(l/vdrTu illD对应的aOr平面上的闭区域为D=丨（.，/，）| 1彡w彡4，丨彡r$4 | 又 Ea*21.设闭K域是I h直线i + y = l, .r = 0, v = 0所闱成，求证I.证令 u 二:c -y，r = a: + y，贝lj x在此变换下，D 的边界x +y = 1 ,因此有 - y)x + y)dxAyD=d(x，y)d(u,v)tI2-dad 7；Av I cosdaJ-v vivdva=0,y=0依次与v = 1，u+y=0和v - u = 0对应.后者构成aOt;平面上与Z）对应的 闭区域Z）的边界（图10-37） 于是v sin 1 dv = sinh2证毕. 22.选取适当的变换，证明下列等式：(1 ) jj/(x + y)ixX2 + y2 1 | , R 2 +b20.证(丨)闭 IX 域的边界为 x + y = - ,x +y = ,x -y - 1- y = 1，故令= z + y，；=文-y，即* = +，:K = Y 在此变换下，变为汍平血丄的闭1只:域J/O + y)dxdy = Jf(u)dwell； 2于是3“，y)d(u,v)f/ d“/_dr/( u) du.i)o证毕.(2)比较等式的两端可知需作变换u ya2 + b2 = ax + by, 即 u =似 + j_ Va2 + b2再考虑到0的边界曲线为x2 +y2 =1,故令这样就有u2 + v2 =1，即D的边界曲线/ +/ = 1变为uOv平面上的圆u2 +v2 =1.于是与D对应的闭区域为 D - ) (u ,v) a2 + y2 1 | .又由的表达式可解得au + bvbu - avy/a2 4- b2a1 + b2x = . y因此雅可比式d(u yv)b2sj a2 + b2 v/a2 + I)2于是(I/ ,./r-/rv/( u /n2 + / + 0), +,z = 0所围成的在第一卦限内的闭(3) 由曲面-n2 + 2y2及z=2-x2所围成的闭区域；区域解(1) 的顶和底面z=0的交线为x轴和y轴，故在面上的投 影区域由.r轴、y轴和直线x +y - =0所围成.于是/2可用不等式表示为因此d.rAy I f(x,yyz) dz.(2)由z = x2 + y2和z = 1得x2 + y2 =丨，所以/2在xOy面上的投影区域为x2 + )2矣丨(图10-38)./2可用不等式表示为;t2 + y2矣 z 矣 1 ,- s/ - X1 矣 .这 y/ l - X2 ,- 1 矣；C 备 1，因此+ 2.f(x,y,z)cz.(3)+ ，消去2,得丨+y2 = 1故/2在面上的投影区域为.t2 +z=2 -x2/霉1(图10-39) 于是/2可用不等式表示为a:2 + 2y2 z 2 - X2,- - x1 j J - x2 , - I a: 1 ,因此r1r / -x2f2 *2、，/ = /-.dX/-/rr7r/2/(jC，y，2z=2-x1图 10-38图 10-39(4) 显然在;面上的投影区域由椭圆 + = 1 (.r彡0o彡0)和.v轴，v轴U b图 10-40所围成，的顶为cZ = A：y，底为Z二0(图10 -40).故/2可用不等式表示为因此注本题中的4个小题，除寒2小題外，的图形都不易|明出.flJ.是，为确定 次枳分的枳分限，并非必须画出i7的准确图形.重耍的是要会求出作坐标曲I.的 投影区域，以及会定出的璃和底面，而做到这点，只需掌抿常见曲而的；;稈和m if; 特点，并具备一定的空间想象能力即可.木草题解中:配了较多插阁，沾汝m观 察，这对培釋牵间想象能是存好处的.2a 2.设有一物体，占有空间闭K域= 1 (v，：) | (.)矣.矣I .0莓)琴1.() n 1 ; , (x,y,z)处的密取为 f)( x,y,z) = + +;, |：该物休的吨 1|1:.解 M - jjjpd.vd (b = | (|. | (I t | ( v + +X + T + Yrdx3.如果三重积分|/( x,y,z) dxdydz的被积函数/( x，y)是三个函数/, (*)，/2 ( y )，n/3U)的乘积，即/(x，y，z) =/丨(x)f2(y)f3(z)，积分区域I (x,y,z) axb ,c )矣dzm :,证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即fff/i (x)f2( y )/3(2) dardrdz = fx) Ax /2(j)cly f f3(z)dz.Uf/i (x)f2 (y)h(z) dxdydz nd.r=HI (I /1 (*)/2(3)/3(2)j dxlck=JJi (f,()/2(y) - jf/3“)心卜1=I (|73()* (l/,()/2(7)=( ,3(z)d2). , /)-lr/2(y)dydxptnrdrlf=I /3 (2) dz J /2(r)dr juf(x)dx =右端. 4.计算jjjx.2z3 dxdydz,其中/2是由曲面dy，平面y = :t，x = l和z=0所围成的闭K域.解如图0 _41 可用不等式表示为i5.计算Jxy2 z1 ilxdydz = xdx jf y2(ly 丄 dz.,其屮 /2为平而.t =o，y = o，z =()，* + r + djjdydz所闹成的Jjj ( I + x + y + z)四面体.解 n = I (x,y,z) II - at - 7,07 i -*，()“ 1 I (阁 1( _42) 十坫mlx,v -v( 1 一 .*)、l v = YJ- 4o解法二利用球面光标计算，ii于=| (I 0 r $ I ,0 ,0 jjjxyzAxdyAz = jjj(r3sin2屮cos psin Ocos 0) r2sin (pArAcos (pd(p I r5 drsin2汐IT2r 4.sin cp2040 U JY T 6 = 48注比较本题的两种解法，显然用球面坐标计算要简便得多，这是由本题的积 分区域的形状所决定的.一般说来，凡是由球面、圆锥面等曲面围成时，用球面 坐标计算三重积分较为方便.cji 7.计算jjjxzdxdydz,其中是由平面z =0,z =y,y - 1以及抛物柱面y = x2所围成的闭n区域.解法一容易看出，的顶为平面z = 7,底为平面=0,在Wy面上的投影区 域0由y=l和7=/所围成.故可用不等式表示为0备 z 莓 y,x2 :Sy 矣 1,-1 筅 x 矣 1.因此xdxxdxjjj xzdxdyd2解法二由于积分区域关于yOz面对称(即若点Ujj) /2，则(-tyj)也 属于/2)，且被积函数*2关于*是奇函数(SP( -x)z= -(a)，因此jxzdxdydz = 0.la .计算 jjjzdxdydz，其中 /2是由锥面 Z = A2 +y2与平面 z = /i(/? 0，/i 0)所_成 的闭K域.解法一fh z =去+y2与z = h消去z，得 x2 +r2 = R故在；cW面上的投影fx:域ofl = I (x,y,z)、= ( x ,y) x2 + y2 R2 (11 10-43)，去 y/x2 + y2 z h,x,y) e OXJ J-J二是-j：dz2h2R2/izjda：djttR;(x2 + y1)H(h_2R2dxdyx2 + y2 ) dxd) 60 l PdP = 2h2.zd.rdyd2 = dxdy解法二用过点（0,0,2）、平行于.rOy面的平面截得平面圆域0:，其半径为，面积为(图10-43).O - | (xyy,z) | (x,y) e Dz,0 z h .于是jjjzdxdydz =zdzjjdxdyni),-7Th24/rR2k2.注解法二通俗地称为“先重后单”法.即先在D: I：作关于.V、的二氓积分.然 后再对作定积分.如果在02上关于.t和v的二重枳分易于计算，特別地.如來