高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积（二）课件 苏教版必修4.ppt

第二章 平面向量 2 4向量的数量积 二 学习目标 1 掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 2 会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 向量数乘的运算律有哪些 答 1 a a 2 a a a 3 a b a b 特别地 有 a a a a b a b 2 向量的线性运算向量的 运算统称为向量的线性运算 对于任意向量a b 以及任意实数 1 2 恒有 1a 2b 1a 2b 加 减 数乘 预习导引 1 向量数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b a b 结合律 3 a b c a c b c 分配律 2 向量数量积的性质设a b为两个非零向量 e是与b同向的单位向量 0 0 要点一向量数量积运算律有关概念例1给出下列结论 若a 0 a b 0 则b 0 若a b b c 则a c a b c a b c a b a c c a b 0 其中正确结论的序号是 解析因为两个非零向量a b垂直时 a b 0 故 不正确 当a 0 b c时 a b b c 0 但不能得出a c 故 不正确 向量 a b c与c共线 a b c 与a共线 故 不正确 a b a c c a b a b a c a c a b 0 故 正确 答案 规律方法向量的数量积a b与实数a b的乘积a b有联系 同时有许多不同之处 例如 由a b 0并不能得出a 0或b 0 特别是向量的数量积不满足结合律 即一般情况下 a b c a b c 跟踪演练1设a b c是任意的非零向量 且它们相互不共线 给出下列结论 a c b c a b c b c a c a b不与c垂直 a b a b 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中正确的序号是 解析根据向量积的分配律知 正确 因为 b c a c a b c b c a c c a b c 0 b c a c a b与c垂直 错误 因为a b不共线 所以 a b a b 组成三角形三边 a b a b 成立 正确 正确 故正确命题的序号是 答案 要点二向量数量积运算律综合应用例2已知 a 6 b 4 a与b的夹角为60 求 a 2b a 3b 解 a 2b a 3b a a a b 6b b a 2 a b 6 b 2 a 2 a b cos 6 b 2 62 6 4 cos60 6 42 72 规律方法熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质 是解决此类问题的关键 计算形如 ma nb pa qb 的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算 再运用数量积定义和模的公式化简求解 跟踪演练2已知向量a与b的夹角为120 且 a 4 b 2 求 1 2a b a 3b 解 2a b a 3b 2a2 6a b a b 3b2 2 a 2 5a b 3 b 2 2 16 5 4 2 cos120 3 4 0 2 3a 4b 解 3a 4b 2 3a 4b 2 9a2 24a b 16b2 9 16 24 4 16 4 16 19 例3已知 a 3 b 4 且a与b不共线 k为何值时 向量a kb与a kb互相垂直 解a kb与a kb互相垂直的条件是 a kb a kb 0 即a2 k2b2 0 规律方法向量a b夹角为锐角的等价条件是a b 0且a与b不同向共线 a b夹角为钝角的等价条件是a b 0且a与b不反向共线 a与b垂直的等价条件是a b 0 跟踪演练3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量 k为何值时 向量e1 ke2与ke1 e2的夹角为锐角 解 e1 ke2与ke1 e2的夹角为锐角 e1 ke2 ke1 e2 但当k 1时 e1 ke2 ke1 e2 它们的夹角为0 不符合题意 舍去 综上 k的取值范围为 k k 0且k 1 1 2 3 4 1 已知 a 2 b 1 a与b之间的夹角为60 那么向量a 4b的模为 解析 a 4b 2 a2 8a b 16b2 22 8 2 1 cos60 16 12 12 a 4b 2 1 2 3 4 解析 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 10 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 6 将上面两式左右两边分别相减 得4a b 4 a b 1 1 1 2 3 4 15 1 2 3 4 8或5 课堂小结 1 数量积对结合律一般不成立 因为 a b c a b cos a b c是一个与c共线的向量 而a b c b c cos b c a是一个与a共线的向量 两者一般不同 2 在