直线倒立摆的稳定控制算法设计(毕业论文+全套CAD图纸)(答辩通过)

下载文档就送全套 CAD 图纸，扣扣 414951605 学习好资料，毕设专用，答辩优秀 本科毕业设计 (论文 ) 题目： 直线倒立摆的稳定控制算法设计 系 别： 机电信息系 专 业： 机械设计制造及其自动化 班 级： 学 生： 学 号： 指导教师： 2013 年 5 月 下载文档就送全套 CAD 图纸，扣扣 414951605 I 直线倒立摆的稳定控制算法设计 摘要 本文首先利 用牛顿力学分析的方法和拉格朗日法建立了直线一级 、二级、三级 倒立摆实物系统的线性状态方程，并在此基础上分析了该系统是不稳定的，同时又是能控的和能观的。基于此本文设计了直线倒立摆系统的机械本体部分 ， 研究了直线 一级、二级、三级 倒立摆系统的 PID、 LQR 和 状态空间极点配置控制算法 ， 同时利用 MATLAB/Simulink 对各个算法进行分析，由 仿真结果表明 ： 对于像倒立摆这样的非线性模型 ， 通过对其数学模型的建立，设计相应的控制器 ,并对其实现控制是可行的。 关键词： 直线倒立摆 ； PID； LQR； 状态空间极点配置；仿真 下载文档就送全套 CAD 图纸，扣扣 414951605 II The stability of linear inverted pendulum control algorithm design Abstract In this paper， we firstly use the Newton mechanics analysis method and the Lagrange method to establish the linear level 1， level 2， level 3 inverted pendulum linear state equation of real system.In the meantime， the system is unstable by analyzing the linear state equation， but it is also controllable and observable.And then we describe on the physical system of the linear inverted pendulum.This paper studied the linear level 1， level 2， level 3 of the inverted pendulum system PID， LQR and state space pole assignment control algorithm， at the same time analyze various algorithms with MATLAB/Simulink.By the simulation results show that： Be similary to inverted pendulum is for the non-linear model， through its mathematical model， the appropriate design of controller， and in its implementation control is feasiblly. Key words： linear inverted pendulum； PID； LQR； state space pole configuration； simulation 下载文档就送全套 CAD 图纸，扣扣 414951605 III 目 录 1 绪论 . 1 1.1 前言 . 1 1.2 倒立摆系统研究背景及意义 . 1 1.3 国内外倒立摆控制研究发展及现状 . 2 1.4 本文主要工作 . 4 2 倒立摆机械系统设计及实现 . 5 2.1 倒立摆简介 . 5 2.2 倒立摆工作特性和工作原理 . 5 2.2.1 工作特性 . 5 2.2.2 系统工作原理 . 5 2.3 系统机械结构设计 . 6 2.3.1 底座设计 . 6 2.3.2 小车部分设计 . 6 2.3.3 传动部分设计 . 7 2.3.4 步进电机选择 . 7 3 一级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 . 10 3.1 一级倒立摆模型分析 . 10 3.1.1 系统可观可控性分析 . 13 3.1.2 系统阶跃响应分析 . 14 3.2 一级直线倒立摆控制器设计 与仿真 . 15 3.2.1PID 控制器设计及算法仿真 . 15 3.2.2 LQR 控制器设计及算法仿真 . 18 3.2.3 状态空间极点配置控制设计及 仿真 . 20 3.2.4 小结 . 22 4 二级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 . 24 4.1 二级倒立摆模型的分析 . 24 4.1.1 二级倒立摆稳定性分析 . 29 4.1.2 能控性能观性分析 . 29 4.2 二级直线倒立摆控制器设计与仿真 . 30 4.2.1LQR 控制器设计及算法仿真 . 30 4.2.2 状态空间极点配置控制设计及仿真 . 31 4.2.3 小结 . 32 下载文档就送全套 CAD 图纸，扣扣 414951605 IV 5 三级直线倒立摆系统建模分析与仿真 . 34 5.1 二级倒立摆模型分析 . 34 5.1.1 三级倒立摆稳定性分析 . 39 5.1.2 能控性能观性分析 . 39 5.2 三级直线倒立摆控制器设计与仿真 . 40 5.2.1LQR 控制器设计及算法仿真 . 40 5.2.2 状态空间极点配置控制设计及仿真 . 41 5.2.3 小结 . 43 6 总结与展望 . 44 参考文献 . 45 致谢 . 46 毕业设计（论文）知识产权声明 .错误 !未定义书签。 毕业设计（论文）独创性声明 . 47 附录 . 48 下载文档就送全套 CAD 图纸，扣扣 414951605 V 1 绪论 1 1 绪论 1.1 前言 倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统，是进行控制理论教学及开展各种控制策略的理想验证平台。倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合等特性 ， 使得许多现代控制理论研究人员一直将它视为最佳的理论方法验证试验研究对象，不断从研究倒立摆控制中发掘出新的控制方法，并将其应用于航天科技、机器人学、海上钻井平台、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制、太空探测器着陆控制和测量仪器展开稳定控制等各种高新科技领域 1。倒立摆系统在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉。 倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量 ， 其实验效果直观、显著。 1.2 倒立摆系统研究背景及意义 对倒立摆系统的研究不仅仅在其结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且作为典型的多变量 系统，可采用实验来研究控制理论中许多方面的问题。在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆的典型性在于，倒立 摆系统作为一个控制装置，它结构简单、价格低廉，便于模拟和数字多种不同的方式控制，通过引入适当的控制方式使之成为一个稳定的系统 ， 而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。另一方面对系统的研究也比较有实用价值，从日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相 似性 。 倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义 ， 还有重要的工程背景。 它的工程背景如下： (1)机器人的站立与行走类似双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问 世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术 机器人的行走控制至今仍未能很好解决。 (2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行 实时控制。 (3)通信卫星中在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持 毕业设计（论文） 2 其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板直指向太阳。 (4)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火 箭（多级火箭），其飞 行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。 (5)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图象质量产生很大的影响， 为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。 1.3 国内外倒立摆控制研究发展及现状 在国外， 倒立摆系统研究最早始于上世纪 50 年代，麻省理工学院机电工程系的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验装置 。但是 正式提出倒立摆概念的是 在 60 年代后期。在此基础上，世界各国专家和学者对倒立摆进行了拓展，产生了直线二级倒立摆、三级倒立摆 、多级倒立摆、柔性直线倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆、环形并联多级倒立摆以及斜坡倒立摆等实验设备，并用不同的控制方法对其进行了控制。 1976 年 Morietc 首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器实现了一级倒立摆的稳定控制 2。 1992 年， Furuta 等人应用最优状态调节器理论首次实现双电机三级倒立摆实物控制 3。 80 年代后期开始，较多的研究了倒立摆系统中的非线性特性，提出了一系列的基于非线性分析的控制策略， 1993 年， Wiklund 等人应用基于李亚普诺夫的 方法控制了环形一级倒立摆 4。 国内对倒立摆的研究始于 80 年代，三级倒立摆及多级倒立摆的研究也取得了很大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例。尹征琦等成功的以模拟的降维观测器实现了二级倒立摆的控制 5。梁任秋等针对二级倒立摆系统给出了三种实用的数字控制器和降维观测器 6。 1994 年，北京航空航天大学教授张明廉将人工智能与自动控制理论相结合，提出 “ 拟人智能控制理论 ” ，实现了用单电动机控制三级倒立摆实物以及后来实现对二维单倒立摆控制 7。 2005 年，罗成等人实现了五 级倒立摆的控制 8。 对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，它在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。当前倒立摆的控制方法可分为以下几类： (1)线性理论控制方法 将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系 统控制器设计方法得到期望的控制器。 PID 控制、状态反馈控制、 LQR 控制算法是其典型代表。这类毕业设计（论文） 3 方法对一二级的倒立摆 (线性化后误差较小模型较简单 )控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统 (三四级以及多级倒立摆 )线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。 (2)预测控制和变结构控制方法 由于线性控制理论在倒立摆控制中的局限性，使得研究者不得不去寻求更加有效的控制方法，于是 先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种 优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性 ,但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂、成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现 9。 (3)智能控制方法 在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。 神经网络控制 神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系， NN 能够学 习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将 Q 学习算法和 BP 神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。但是神经网络控制方法存在的主要问题是 ： 缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则等。 模糊控制 经典的模糊控制器利用模糊集合理论将专家知识或操作人员经验形成的语言规则直接转化为自动控制策略 (通常是专家模糊规则查 询标 )，其设计不依靠对象精确的数学模型，而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法。常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性，首先，难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则，其控制效果也是难以保证的。但是模糊控制结合其他控制方法就可能产生比较理想的效果。 拟人智能控制 模糊控制 、 神经网络控制等智能控制理论的问世促进了当代自动控制理论的发展。然而，基于这些智能控制理论所设计的系统往往需要庞大的知识库和相应的推理机，不利于实现实时控制 。这又阻碍了智能控制理论的发展，因此，又有学者提出了一种新的理论 拟人控制理论。拟人智能控制的核心是 “ 广义归约 ” 和 “ 拟人 ” 。 “ 归约 ” 是人工智能中的一种问题求解方法。这种方法是将等求解的复杂问题分解成复杂程度较低的若干问题集合，再将这些集合分解成更简单的集合，依此类推，最终得到一个本原问题集合，即可以直接求毕业设计（论文） 4 解的问题。另一核心概念是 “ 拟人 ”， 其含义是在控制规律形成过程中直接利用人的控制经验直觉推理分析。 仿人智能控制 仿人智能控制的基本思想是通过对人运动控制的宏观结构和手动控制 行为的综合模仿，把人在控制中的 “ 动觉智能 ” 模型化，提出了仿人智能控制方法。研究结果表明，仿人智能控制方法解决复杂、强非线性系统的控制具有很强的实用性。 云模型控制 利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题 10。 1.4 本文主要工作 本论文 的主要工作是设计了直线倒立摆系统的机械本体部分， 并分别进行 PID，线性二次最优控制，状态空间极点配置 控制算法的设计， 用 MATLAB 对一级、二级、三级倒立摆控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。具体内容如下 : (1)详细论述了一级、二级、三级直线倒立摆数学建模方法，推导出它们的微分方程，以及线性化后的状态方程。 (2)分析了倒立摆系统的控制方法。分别用现代控制理论及经典控制理论对直线倒立摆的位置控制和角度控制进行分析。利用 MATLAB 仿真系统，讨论出现的问题及解决方法。 (3)设计绘制了直线倒立 摆的装配图。 (4)对论文工作进行总结和展望。 2 倒立摆机械系统设计及实现 5 2 倒立摆机械系统设计及实现 2.1 倒立摆简介 倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通 PC 机组成的控制平台等三大部分。 直线倒立摆本体由底座、电机、同步带、带轮、滑竿、小车、摆杆、角编码器等组成。小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动控制卡反馈小车和摆杆位置 (线位移和角位移 )。 电气控制箱 由 电机驱动器、 I/O 接口板、开关电源、开关和指示灯等电气元件 组成。 控制平台 由 PC 机、运动控制卡、运动控制卡用户接口软件等 组成 。 2.2 倒立摆工作特性和工作原理 2.2.1 工作特性 倒立摆从形式和结构上来看是多种多样的， 但是所有的倒立摆都具有以下的特性： (1)非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统， 实际中可以通过线性化得到系统的近模型，线性化处理后再控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。 (2)不确定性 主要的模型误差以及机械传动间隙 ，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。 (3)耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 (4)开环不稳定性2.2.2 系统工作原理 倒立摆 系统是由 上位机作为控制界面的输出， 通过上位机对倒立摆系统的仿真过程进行参数的选改，运动控制卡进行电机反馈和角度编码器的反馈计算，并将参数的反馈发送到电机驱动器，进而控制 电机输出。其工作原理如下图 2.1所示： 毕业设计（论文） 6 图 2.1 直线倒立摆控制系统硬件框图 由图可以看出倒立摆系统是一个闭环系统， 图中光电码盘 l 由伺服电机自带，可以根据该码盘的反馈通过换算获得小车的位移 ， 小车的速度信号可以通过差分得到。摆杆的角度由光电码盘测量出来并直接反馈到控制卡，角度的变化率信号可以通过差分得到。计算机从运动控制卡中实时读取数据，确定控制决策 (电机的输出力矩 )，并发送给运动控制卡。运动控制卡经过 DSP 内部的控制算法实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆 杆平衡。 2.3 系统机械结构设计 2.3.1 底座设计 对于底座的设计，选用的是固定式的 底座 ,如图 2.2 所示： 图 2.2 固定式底座 它的机构稳固，不会因为机器长时间运行而改变其水平条件，加工也简单，可以直接铸造得到。 2.3.2 小车部分设计 为了实现倒立摆摆杆的自由摆动，同时测量摆杆转动角度，需要设计一个铰链来实现。铰链由转轴、 深沟球 轴承和轴承座构成，转轴安装在滚动轴承上用来连接摆杆和光电编码器。为使铰链转动灵活，必须保证轴承座中的两个 深沟球 轴承同心。因此，轴承座安装轴承的孔应设计为通孔，并在车 床上一次装夹加工完成，以避免产生二次装夹误差。同时，光电编码器的安装没有选择现有倒立摆实验装置的安装方法即把编码器安装在支架上，而是直接把编码器固定在轴承座的一端，这样可以避免产生新的装配误差。而且选择此方法还在轴承座加工中增加了一道加工工序，即车完轴承装配孔后将编码器安装面重车一刀，保证编码器安毕业设计（论文） 7 装面与轴承座的轴承安装孔垂直 11。 转轴的设计直接关系到摆杆铰链的灵活程度，从而影响倒立摆控制的稳定性。因此，必须保证转轴轴承装配面和编码器轴装配面是同心的。同时为了保证编码器安装后与转轴同心，转轴的加 工工序如下 ： 首先加工编码器安装孔，然后利用三爪夹盘将转轴固定，利用顶尖在编码器装配孔中以增加转轴在加工中的刚性，最后完成其余加工工序。 要满足小车在轨道上往复运动并尽量减少摩擦，系统采用直线轴承实现。 直线轴承座设计中的关键是保证两个直线轴承座轨道安装面是同心的。 因此， 需要先将两个截面为正方形的长方体棒料在车床上利用四爪夹盘装夹，并在正方形截面的中心钻孔，留 0.5 毫米余量进行精加工，之后进行直线轴座装配。两个直线轴承外端用孔用弹簧挡圈固定，内端用铝环代替孔用挡圈固定，降低了加工难度。 下图为小车部分 的剖面图： 图 2.3 小车部分剖面图 2.3.3 传动部分设计 a. 同步带轮装置的设计及装配 为了使小车往复运动灵活，提高系统精度，系统选择 齿间距为 3 毫米的同步带 。同步带通过两个皮带轮装置联结以减少直接作用在电机轴的作用力，使整个系统更稳定。 b. 电机与同步带装置连接装置 为了降低皮带轮与电机轴装配的同心度要求，电机和皮带轮之间用联轴器联结。这种设计保证了电机轴不受额外扭矩的作用。 2.3.4 步进电机选择 步进电机是倒立摆系统中的唯一动力原件，对整个系统至关重 要 。步进电机的选型主要是依据其功率、转矩和步距角，而且选择的电机必须具有高速度响应、毕业设计（论文） 8 运行稳定、抖动小等特点 10。 从电动机角度考虑，电动机受到的主要负载为摩擦负载和惯性负载，摩擦负 载主要来源于作直线运动的倒立摆小车被控对象与运行轨道的摩擦力、传动装置同步带和齿轮之间的摩擦力，惯性负载除了电动机转子的惯性力外，还有摆和小车以及齿轮的惯性力，忽略齿轮的惯性力，现分别计算其它负载力 (全部折算到电机轴上 )。 电机启动加速力矩 ： 2. 1 . 0 2 1 0M a J m J t n T 式 中 Ma -电机启动加速力矩 (N.m) Jm、 Jt-电机自身惯量 与负载惯量 (Kg.m.s2) n-电机所需达到的转速 (r/min) T-电机升速时间 (s) 6 4 32 . 3 1 0 4 . 4 1 0 2 0 0 0 0 . 0 2 1 . 0 2 1 0 0 . 0 4 4 N . mMa 摩擦负载力矩 ： u m M g rMfi 式中 Mf-导轨摩擦折算至电机的转矩（ N.m) u-摩擦系数 -传递效率 r-与同步带相啮合的齿轮半径 . 0 . 1 1 . 1 0 . 1 1 9 . 8 0 . 0 2 0 . 1 8 1 1 . 3 2 N . mM f u m M g r i 切削力矩 ： 0Mt 估算电机输出的总力矩 M=Ma+Mf+0 所以 M=0.04+1.32=1.36 N.m / 3 0 3 . 1 4 1 . 3 6 2 0 0 0 / 3 0 2 8 4P M n w 在这里由于忽略了同步带与齿轮之间的摩擦及摆杆的惯性力矩， 所以对电机的选择 ： (1)能满足控制精度的要求 (2)能满足负载转矩的要求 (3)满足惯量的匹配原则 (4)应考虑到这些中间因素应该使得所选电机的额定输出功率 =估算值的 23 倍。 毕业设计（论文） 9 故在 实际选型中选择了型号 57BYG707 的混和式步进电机。其参数如下： 电 压： 4.1V 电流： 2.3A 步距角： 1.8 5%o 转子转动惯量： 230g.m2 重量 ： 1.0kg 最大静转矩： 1.91Nm 与此步进电机配套的驱动器为 BL-230M，驱动模块特点有 11： (1)适用于电压范围宽（ 24-40V)。 (2)采用恒流斩波，双极性全桥式驱动 。 (3)运行特性良好，自动半流锁定，可靠性高 。 (4)细分数可由拨码开关设定 1/2， 1/16， 1/32， 1/64， 1/5， 1/10， 1/20， 1/40。 (5)适配 3A 以下两相、四相混合式步进电机。 3 一级直线倒立摆系统建模分析与仿真 10 3 一级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量或变量之间关系的数学表达式。在静态条件下 (即变量各阶导数为零 )，描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型 ； 而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型 12。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统 输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是进行控制系统分析和设计的首要工作。建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辩识 13。下面我们采用分析法来 对 倒立摆的数学模型 进行分析 。 3.1 一级倒立摆模型分析 图 3.1 一级倒立摆简化 模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如 图 3.1 所示。 实际系统的模型参数如下： 表 3.1 系统模型参数 参数 名称 实际值 单位 M 小车质量 1.1 Kg m 摆杆的质量 0.11 Kg I 摆杆惯量 0.0035 kg*m2 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25 m b 小车摩擦系数 0.1 N/m/sec 摆杆与垂直向 上方向的夹角 F 作用在系统上的外力 / N 毕业设计（论文） 11 通过对小车受力分析 得到小车水平方向所受的合力： 14 NxbFxM (3.1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： 22 ( s i n )dN m x ldt (3.2) 即： 2c o s s i nN m x m l m l & & (3.3) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： FmlmlxbxmM s inc o s)( 2 (3.4) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的 合力进行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt (3.5) 2s i n c o sP m g m l m l & & (3.6) 力矩平衡方程如下： INlPl c o ss in (3.7) 注意：此方程中力矩的方向，由于 s ins in,c o sc o s, ，因此等式前面有负号。 合并这两个方程，约去 P 和 N ，得到第二个运动方程： c o ss in)( 2 xmlm g lmlI (3.8) 设 ，（ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即 1 时，则可以进行近似处理： 1cos ， sin ，0)( 2 dtd 。为了与控制理论的表达习惯相统一，即 u 一般表示控制量，用 u 来代表被控对象的输入力 F ，线性化后两个运动方程如下： umlxbxmMxmlmglmlI)(2 (3.9) 对方程组（ 3.9）进行拉普拉斯变换，得到： )()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsmglssmlI (3.10) 毕业设计（论文） 12 注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。 由于输出为角度 ，求解方程组（ 3.10）的第一个方程，可以得到： )()()(22 ssgmlmlIsX (3.11) 或： 222s m l sXs I m l s m g l (3.12) 如果令 vx& ，则有： 22s mlVs I m l s m g l (3.13) 把上式代入方程组（ 3.10）的第二个方程，得到： )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgmlmlIbsssgmlmlImM (3.14) 整理后得到以输入力 u 为输入量，以摆杆摆角 为输出量的传递函数： 224 3 2()() ( ) ( )ml ss qUs b I m l M m m g l b m g ls s s sq q q (3.15) 其中 )()( 22 mlmlImMq 设系统的状态空间方程可写成如下形式： DuCXY BuAXX (3.16) 方程组 (3.9)对 ,x 解代 数方程，得到如下解： uM m lmMImlM m lmMImMm g lxM m lmMImlbuM m lmMImlIM m lmMIglmxM m lmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(3.17) 整理后得到系统状态空间方程： 毕业设计（论文） 13 uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(000101 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu &(3.18) 只要将直线一级倒立摆的实际结构参数代入式 (3.18)中，便可得到矩阵 A、 B、C、 D，如下： 0 1 0 0 00 0 . 0 8 8 3 1 6 7 0 . 6 2 9 3 1 7 0 0 . 8 8 3 1 6 70 0 0 1 00 0 . 2 3 5 6 5 5 2 7 . 8 2 8 5 0 2 . 3 5 6 5 5x xx xu & & 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu &摆杆角度和小车位移的传递函数： 220 . 0 2 7 2 50 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5s sXs s (3.19) 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 20 . 0 2 7 2 50 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5sVs s (3.20) 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 32( ) 2 . 3 5 6 5 5() 0 . 0 8 8 3 1 6 7 2 7 . 9 1 6 9 2 . 3 0 9 4 2ssUs s s s (3.21) 3.1.1 系统可观可控性分析 对 n x n 矩阵 A， n x m 矩阵 B 和 p x n 矩阵 C， ctrb（ A,B）可得到如下所示的 n x nm的可控性矩阵： 21, , , nU c B A B A B A B L 毕业设计（论文） 14 obsv(A， C)可得到如下所示的 nm x n 的可观性矩阵： 21 TnVo C C A C A C A L 当 Uc 的秩为 n 时，系统可控；当 Vo 的秩为 n 时，系统可观 15。 在 Matlab 中计算： A=0 1 0 0； 0 -0.0883167 0.629317 0； 0 0 0 1； 0 -0.235655 27.8285 0； B=0； 0.883167； 0； 2.35655； C=1 0 0 0； 0 1 0 0； D=0； 0； Uc=ctrb(A， B)； Vo=obsv(A， C)； rank(Uc) rank(Vo) 得到： ans =4 ans=4 可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的 可观性矩阵的 秩等于系统 的状态变量维数 ，所 以系统可控且是能观的，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。 3.1.2 系统阶跃响应分析 上面已经得到系统的状态方程，对其进行阶跃响应分析，在 Matlab 中键入以下命令： A=0 1 0 0； 0 -0.0883167 0.629317 0； 0 0 0 1； 0 -0.235655 27.8285 0； B=0； 0.883167； 0； 2.35655； C=1 0 0 0； 0 1 0 0； D=0； 0； step（ A， B， C， D） 得到如下结果： 毕业设计（论文） 15 图 3.1.3 直线一级倒立摆单位阶跃 响应仿真 可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。 3.2 一级直线倒立摆控制器设计与仿真 3.2.1PID 控制器设计及算法仿真 PID 控制以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器