山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册 第十二章 轴对称 12.3.2 等边三角形教案 新人教版(1).doc

第十二章 轴对称 12.3.2 等边三角形 教学目标 （一）教学知识点 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程 （二）能力训练要求 1经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维 2经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点 （三）情感与价值观要求 1积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲 2在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心 教学重点 等边三角形判定定理的发现与证明 教学难点 1等边三角形判定定理的发现与证明 2引导学生全面、周到地思考问题 教学方法 探索发现法 教具准备 多媒体课件，投影仪 教学过程 提出问题，创设情境 师我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形三条边都相等的三角形，叫等边三角形回答下面的三个问题 （演示课件） 1把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？ 2一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 3你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流 （教师应给学生自主探索、思考的时间） 生甲由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60 生乙等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了 生丙等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60，我认为等腰三角形的三个内角都等于60，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了 （此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，教师可让同学代表发表自己的看法） 生丁我不同意这个同学的看法，因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形根据等角对等边，三个内角都是60，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费! 师给三个角都是60，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可以在小组内交流自己的看法-60=120，再根据等腰三角形两个底角是相等的，所以每个底角分别是1202=60，则三个内角分别相等，根据等角对等边，则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60的等腰三角形为等边三角形 生等腰三角形的底角是60，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质 师从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是60，还是顶角是60，那么这个等腰三角形都是等边三角形你能用更简洁的语言描述这个结论吗？ 生有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 （这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60的角是底角和顶角两种情况这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法） 师你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？ 生我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角也就是说我们思考问题要全面、周到 师我们来看有多少同学意识到分别讨论60的角是底角和顶角的情况，我们鼓掌表示对他们的鼓励 今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？ 生三个角都相等的三角形是等边三角形 师下面就请同学们来证明这个结论 （投影仪演示学生证明过程） 已知：如图，在abc中，a=b=c 求证：abc是等边三角形 证明：a=b， bc=ac（等角对等边） 又a=c， bc=ac（等角对等边） ab=bc=ac，即abc是等边三角形 师这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到 （演示课件） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60； 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 师有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理 （演示课件） 例4如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得apb=60，ap=bp=200m，他们便得出一个结论：a、b之间距离不少于200m，他们的结论对吗？ 分析：我们从该问题中抽象出apb，由已知条件apb=60且ap=bp，由本节课探究结论知apb为等边三角形 解：在apb中，ap=bp，apb=60， 所以pab=pba=（180-apb）=（180-60）=60 于是pab=pba=apb 从而apb为等边三角形，ab的长是200m，由此可以得出兴趣小组的结论是正确的 随堂练习 （一）课本p145练习 1、2 1等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？ 答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）2如图，等边三角形abc中，ad是bc上的高，bde=cdf=60，图中有哪些与bd相等的线段？ 答案：bd=dc=be=ea=cf=fa=de=df （二）补充练习如图，abc是等边三角形，b和c的平分线相交于d，bd、cd的垂直平分线分别交bc于e、f，求证：be=cf 证明：连结de、df，则be=de，df=cf 由abc是等边三角形，bd平分abc，得1=30，故2=30，从而def=60 同理dfe=60， 故def是等边三角形 de=df， 因而be=cf 课时小结 这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用 课后作业 （一）课本p1475、6、7、10题 （二）预习p145p146 活动与探究探究：如图，在等边三角形abc的边ab、ac上分别截取ad=aeade是等边三角形吗？试说明理由 过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定 结果： 已知：三角形abc为等边三角形d、e为边ab、ac上两点，且ad=ae判断ade是否是等边三角形，并说明理由 解：ade是等边三角形， abc是等边三角形， a=60 又ad=ae， ade是等腰三角形 ade是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形） 板书设计 14321 等边三角形（一） 一、探索等边三角形的性质及判定 问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形 二、等边三角形的性质及判定 三、应用例题讲解 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业备课资料 等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定性质判定的条件等腰三角 形（含等 边三角形）等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是60的等腰三角形是等边三角形等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60三个角都相等的三角形是等边三角形 参考例题 1已知，如图，房屋的顶角bac=100，过屋顶a的立柱adbc屋椽ab=ac，求顶架上b、c、bad、cad的度数 解：在abc中， ab=ac（已知）， b=c（等边对等角） b=c=（180-bac）=40（三角形内角和定理） 又adbc（已知）， bad=cad（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合） bad=cad=50 2已知：如图，abc是等边三角形，bd是中线，延长bc到e，使ce=cd 求证：db=de 证明：abc是等边三角形，且bd是中线， bdac，acb=60，dbc=30 又cd=ce， cde=e=acb=30 dbc=e db=de 3已知：如图，abc是等边三角形，debc，交ab、ac于d、e 求证：ade是等边三角形 证明：abc是等边三角形（已知）， a=b=c（等边三角形各角相等） debc， ade=b，aed=c（两直线平行，同位角相等） a=ade=aed ade是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）12.3.2 等边三角形（2） 教学目标 （一）教学知识点 1探索发现猜想证明直角三角形中有一个角为30的性质 2有一个角为30的直角三角形的性质的简单应用 （二）能力训练要求 1经历“探索发现猜想证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系 2培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力 （三）情感与价值观要求 1鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲 2体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性 教学重点 含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明 教学难点 1含30角的直角三角形性质定理的探索与证明 2引导学生全面、周到地思考问题 教学方法 探索发现法 教具准备 两个全等的含30角的三角尺； 多媒体课件； 投影仪 教学过程 提出问题，创设情境 师我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质大家可能已猜到，我让大家准备好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由 由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 导入新课 （让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）生用含30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形 其中，图（1）是等边三角形，因为abdacd，所以ab=ac，又因为rtabd中，bad=60，所以abd=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 生图（1）中，b=c=60，bac=bad+cad=30+30=60，所以b=c=bac=60，即abc是等边三角形 师同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形由此你能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？ 生在直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半 师我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？ 生可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以ab=bc=ac而adb=90，即adbc根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得bd=dc=bc所以bd=ab，即在rtabd中，bad=30，它所对的边bd是斜边ab的一半 师生共析这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起下面我们一同来完成这个定理的证明过程 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 已知：如图，在rtabc中，c=90，bac=30求证：bc=ab 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长bc至d，使cd=bc，连接ad 证明：在abc中，acb=90，bac=30，则b=60 延长bc至d，使cd=bc，连接ad（如下图） acb=60， acd=90 ac=ac， abcadc（sas） ab=ad（全等三角形的对应边相等） abd是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形） bc=bd=ab 师这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题 （演示课件） 例5右图是屋架设计图的一部分，点d是斜梁ab的中点，立柱bc、de垂直于横梁ac，ab=7.4m，a=30，立柱bd、de要多长？ 分析：观察图形可以发现在rtaed与rtacb中，由于a=30，所以de=ad，bc=ab，又由d是ab的中点，所以de=ab 解：因为deac，bcac，a=30，由定理知 bc=ab，de=ad， 所以bd=7.4=3.7（m） 又ad=ab， 所以de=ad=3.7=1.85（m） 答：立柱bc的长是3.7m，de的长是1.85m 师再看下面的例题 例等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高 已知：如图，在abc中，ab=ac=2a，abc=acb=15，cd是腰ab上的高 求：cd的长 分析：观察图形可以发现，在rtadc中，ac=2a，而dac是abc的一个外角，则dac=152=30，根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半，可求出cd 解：abc=acb=15， dac=abc+bac=30 cd=ac=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 师下面我们来做练习 随堂练习 （一）课本p146练习 rtabc中，c=90，b=2a，b和a各是多少度？边ab与bc之间有什么关系？ 答案：b=60，a=30，ab=2bc （二）补充练习 1已知：如图，abc中，acb=90，cd是高，a=30 求证：bd=ab 证明：在rtabc中，a=30， bc=ab 在rtbcd中，b=60， bcd=30 bd=bc bd=ab 2已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段 求证：其中一条是另一条的2倍 已知：在rtabc中，a=90，abc=2c，bd是abc的平分线 求证：cd=2ad 证明：在rtabc中，a=90，abc=2c， abc=60，c=30 又bd是abc的平分线， abd=dbc=30 ad=bd，bd=cd cd=2ad 课时小结 这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30的直角三角形的边的关系这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用 课后作业 （一）课本p14811、12、13、14题 （二）预习p151p152，并准备活动课 1找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字 2思考镜子对实物的改变 活动与探究 在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30 过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直