山东省淄博市实验中学高考数学三模试卷 理（含解析）.doc

山东省淄博市实验中学2015届高考数 学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合m=x|2x3，n=x|2x+11，则m（rn）=（）a（3，+）b（2，1c（1，3）d11（5分）某高中共有1200人，其中2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的人数依次成等差数列现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么2014-2015学年高二年级被抽取的人数为12（5分）已知=（1，3），=（1，t），若（2），则|=13（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s的值是14（5分）已知函数y=ax+b（b0）的图象经过点p（1，3），如图所示，则+的最小值为15（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（ax0b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点如y=x2是上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知向量）与=（sin+cos，y）共线，且有函数y=f（x）（）若f（x）=1，求的值；（）在abc中，角a，b，c，的对边分别是a，b，c，且满足2acosc+c=2b，求函数f（b）的取值范围17（12分）在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae：eb=cf：fa=cp：pb=1：2（如图1）将aef沿ef折起到a1ef的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）（1）求证：a1e平面bep（2）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；（3）求二面角ba1pf的余弦值18（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=，f5（x）=sin（+x），f6（x）=xcosx（1）从中任意取2张卡片，求至少有一张卡片写着的函数为奇函数的概率；（2）在（1）的条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到新函数为奇函数的概率；（3）现从盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶后寒素的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数x的分布列和数学期望19（12分）已知等差数列an（nn+）中，an+1an，a2a9=232，a4+a7=37（）求数列an的通项公式；（）若将数列an的项重新组合，得到新数列bn，具体方法如下：b1=a1，b2=a2+a3，b3=a4+a5+a6+a7，b4=a8+a9+a10+a15，依此类推，第n项bn由相应的an中2n1项的和组成，求数列bn的前n项和tn20（13分）已知椭圆的左、右焦点分别为f1、f2，短轴两个端点为a、b，且四边形f1af2b是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若c、d分别是椭圆长的左、右端点，动点m满足mdcd，连接cm，交椭圆于点p证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点c的定点q，使得以mp为直径的圆恒过直线dp、mq的交点，若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由21（14分）若定义在r上的函数f（x）满足f（x）=e2x2+x22f（0）x，g（x）=f（）x2+（1a）x+a，ar（）求函数f（x）解析式；（）求函数g（x）单调区间；（）若x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y更接近m当a2且x1时，试比较和ex1+a哪个更接近lnx，并说明理由山东省淄博市实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合m=x|2x3，n=x|2x+11，则m（rn）=（）a（3，+）b（2，1c（1，3）d，rn=（1，+），m=（2，3），m（rn）=（1，3），故选：c点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）设i是虚数单位，a为实数，复数z=为纯虚数，则z的共轭复数为（）aibic2id2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0求得a，则z可求，可求解答：解：由z=为纯虚数，得a=0，z=i，则故选：b点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题3（5分）命题p：xn，x3x2；命题q：a（0，1）（1，+），函数f（x）=loga（x1）的图象过点（2，0），则（）ap假q假bp真q假cp假q真dp真q真考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：命题p：由xn，x3x2=x2（x1）0，即可判定p的真假；对于命题q：利用f（2）=loga1=0，即可判断出q的真假解答：解：命题p：xn，x3x2=x2（x1）0，因此p是假命题；命题q：a（0，1）（1，+），f（2）=loga1=0，函数f（x）=loga（x1）的图象过点（2，0），因此q是真命题可得：p假q真故选：c点评：本题考查了不等式的性质、对数函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得解答：解：选项a，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故a错误；选项b，若，m，n，则mn，或m，n异面，故b错误；选项c，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故c错误；选项d，若m，mn，则n，再由n可得，故d正确故选d点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题5（5分）已知p（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2xy的最大值是（）a6b0c2d2考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由作出可行域如图，由图可得a（a，a），b（a，a），由，得a=2a（2，2），化目标函数z=2xy为y=2xz，当y=2xz过a点时，z最大，等于22（2）=6故选：a点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6（5分）设随机变量n（2，4），若p（a+2）=p（2a3），则实数a的值为（）a1bc5d9考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：概率与统计分析：直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可解答：解：由题意可知随机变量n（2，4），满足正态分布，对称轴为=2，p（a+2）=p（2a3），则：，解得a=故选：b点评：本题考查正态分布的基本性质是应用，考查计算能力7（5分）函数y=（0）的图象如图，则（）ak=，=，=bk=，=，=ck=，=2，=dk=2，=2，=考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式解答：解：把（2，0）代入y=kx+1，求得k=再根据=，可得=再根据五点法作图可得+=，求得=，故选：a点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，属于基础题8（5分）已知a=（sinx+cosx）dx，在（1+ax）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为（）a45b72c60d120考点：二项式定理的应用；定积分 专题：二项式定理分析：求定积分可得a的值，再利用二项式展开式的通项公式求得（1+2x）6（1+y）4的展开式中xy2项的系数解答：解：a=（sinx+cosx）dx=（sinxcosx）=1（1）=2，故（1+ax）6（1+y）4=（1+2x）6（1+y）4 的展开式中，xy2项的系数为2=72，故选：b点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题9（5分）已知a0且a1，函数在区间（，+）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga|x|b|的图象是（）abcd考点：函数的图象；对数函数的单调性与特殊点 专题：数形结合分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出b的值，根据函数是一个增函数，看出底数的范围，得到结果解答：解：函数在区间（，+）上是奇函数，f（0）=0b=1，又函数在区间（，+）上是增函数，所以a1，所以g（x）=loga|x|1|定义域为x1，且当x1递增，当0x1递减，故选a点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用10（5分）已知抛物线y2=4x，圆f：（x1）2+y2=1，过点f作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点a，b，c，d（如图所示），则|ab|cd|的值正确的是（）a等于1b最小值是1c等于4d最大值是4考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的定义和|af|=|ab|+1就可得出|ab|=xa，同理可得：|cd|=xd，要分lx轴和l不垂直x轴两种情况分别求值，当lx轴时易求，当l不垂直x轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得解答：解：y2=4x，焦点f（1，0），准线 l0：x=1由定义得：|af|=xa+1，又|af|=|ab|+1，|ab|=xa，同理：|cd|=xd，当lx轴时，则xd=xa=1，|ab|cd|=1 当l：y=k（x1）时，代入抛物线方程，得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，xaxd=1，|ab|cd|=1综上所述，|ab|cd|=1，故选：a点评：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上.11（5分）某高中共有1200人，其中2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的人数依次成等差数列现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么2014-2015学年高二年级被抽取的人数为16考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答：解：2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的人数依次成等差数列，设分别为ad，a，a+d，则ad+a+a+d=3a=1200，解得a=400，若用分层抽样的方法从中抽取48人，那么2014-2015学年高二年级被抽取的人数为，故答案为：16；点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础12（5分）已知=（1，3），=（1，t），若（2），则|=考点：平面向量数量积的运算；向量的模 专题：平面向量及应用分析：根据已知条件便可得到，带入坐标便可得到102（1+3t）=0，从而求出t，这样即可求出向量的坐标，从而求其长度解答：解：；=102（1+3t）=0；t=2；故答案为：点评：考查两非零向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，根据坐标求向量长度13（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s的值是考点：程序框图 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出s值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 s i循环前/2 1第一圈 是3 2第二圈 是 3第三圈 是 4第四圈 是 2 5第五圈 是3 6依此类推，s的值呈周期性变化：2，3，2，3，第2010圈 是 2011第2011圈 否故最终的输出结果为：，故答案为：点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件14（5分）已知函数y=ax+b（b0）的图象经过点p（1，3），如图所示，则+的最小值为考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：函数y=ax+b（b0）的图象经过点p（1，3），可得3=a+b，a1，b0即（a1）+b=2再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解答：解：函数y=ax+b（b0）的图象经过点p（1，3），3=a+b，a1，b0（a1）+b=2+=，当且仅当a1=2b=时取等号故答案为：点评：本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题15（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（ax0b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点如y=x2是上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是3m考点：函数与方程的综合运用；函数的值 专题：综合题；函数的性质及应用分析：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（1，1）内，即可求出实数m的取值范围解答：解：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（1，1）内有实数根由x3+mx=x3+mxm1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1又1（1，1）x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即3mm所求实数m的取值范围是3m故答案为：3m点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知向量）与=（sin+cos，y）共线，且有函数y=f（x）（）若f（x）=1，求的值；（）在abc中，角a，b，c，的对边分别是a，b，c，且满足2acosc+c=2b，求函数f（b）的取值范围考点：正弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值 专题：计算题分析：（）由与共线，可得 ，求出函数f（x）的解析式，根据f（x）=1，求得即，利用二倍角公式求得 的值（）根据条件由正弦定理得：，求出角a的值，根据，且，求得函数f（b）的取值范围解答：解：（）与共线，即，（）已知2acosc+c=2b，由正弦定理得：，在abc中，函数f（b）的取值范围为点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，正弦定理，根据三角函数的值求角，求出函数f（x）的解析式，是解题的关键17（12分）在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae：eb=cf：fa=cp：pb=1：2（如图1）将aef沿ef折起到a1ef的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）（1）求证：a1e平面bep（2）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；（3）求二面角ba1pf的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：空间角分析：（1）设正三角形abc的边长为 3在图1中，取be的中点d，连结df由已知条件推导出adf是正三角形，从而得到efad在图2中，推导出a1eb为二面角a1efb的平面角，且a1ebe由此能证明a1e平面bep（2）建立分别以eb、ef、ea为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线a1e与平面a1bp所成的角的大小（3）分别求出平面a1fp的法向量和平面ba1f的法向量，利用向量法能求出二面角ba1pf的余弦值解答：（1）证明：不妨设正三角形abc 的边长为3在图1中，取be的中点d，连结dfae：eb=cf：fa=1：2，af=ad=2，而a=60度，adf是正三角形，又ae=de=1，efad在图2中，a1eef，beef，a1eb为二面角a1efb的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，a1ebe又beef=e，a1e平面bef，即a1e平面bep（2）建立分别以eb、ef、ea为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则e（0，0，0），a（0，0，1），b（2，0，0），f（0，0），p （1，0），则，设平面abp的法向量为，由平面abp知，即令，得，直线a1e与平面a1bp所成的角为60度（3），设平面a1fp的法向量为由平面a1fp知，令y2=1，得，所以二面角ba1pf的余弦值是点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=，f5（x）=sin（+x），f6（x）=xcosx（1）从中任意取2张卡片，求至少有一张卡片写着的函数为奇函数的概率；（2）在（1）的条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到新函数为奇函数的概率；（3）现从盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶后寒素的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（i）列出事件判断基本事件总数为，求解概率即可（ii）仔细阅读分析得出p=，（iii）可取1，2，3，4 分析概率的求解用到的组合数据，运用概率事件求解即可，列出分布列，求解数学期望解答：解：（）f1（x）=x3为奇函数；f2（x）=5|x|为偶函数；f3（x）=2为偶函数；f4（x）=为奇函数；f5（x）=sin（+x）为偶函数； f6（x）=xcosx为奇函数，所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；故基本事件总数为故所求概率为p=，（）=，=p，（） p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=；故的分布列为1234pe（）=1+4=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一19（12分）已知等差数列an（nn+）中，an+1an，a2a9=232，a4+a7=37（）求数列an的通项公式；（）若将数列an的项重新组合，得到新数列bn，具体方法如下：b1=a1，b2=a2+a3，b3=a4+a5+a6+a7，b4=a8+a9+a10+a15，依此类推，第n项bn由相应的an中2n1项的和组成，求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：计算题；新定义分析：（i）由an+1an，结合a2a9=232，a4+a7=a2+a9=37，利用等差数列的性质可求a2，a9，进而可求公差d，即可求解通项（）由题意得：+，结合等差数列与等比数列的求和公式可求bn，即可求解解答：解：（）由an+1an，可得公差d0a2a9=232，a4+a7=a2+a9=37a9a2设公差为d，则d=3an=a2+3（n2）=8+3n6=3n+2（4分）（）由题意得：+，=（32n1+2）+（32n1+5）+（32n1+8）+=2n132n1+（6分）而2+5+8+（32n14）+（32n1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的2n1项的和，所以2+5+8+（32n14）+（32n11）=3所以（10分）所以所以=（12分）点评：本题考查等差数列的性质，等差数列与等比数列的求和公式的应用，本题解题的关键是得到方程组，通过解方程组得到数列的项，求