高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第15讲 导数在生活中的优化问题举例课件 理.ppt

第15讲导数在生活中的优化问题举例 利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 即获得优化问题的答案 1 已知物体自由落体的运动方程s gt2 其中g取10 m s2 则物体在t 3s的瞬时速度为 a a 30m s b 40m s c 45m s d 50m s 2 函数f x 12x x3在区间 3 3 上的最小值是 3 曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线方程为 4 某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场 一边可以用原有的墙壁 其他三边要砌新的墙壁 要使砌墙所用的 材料最省 堆料场的长 宽应分别为 16m 8m 16 y 3x 1 考点1 利用导数解决生活中的优化问题 x r 2 a x2 2xr r2 ax 2x 2r a r x x r x2 2xr r2 2 x r 4 解 1 由题意可知x r 所求的定义域为 r r f x ax axx2 2xr r2 f x 所以当x r或x r时 f x 0 当 r x r时 f x 0 因此 f x 的单调递减区间为 r r f x 的单调递增区间为 r r 2 由 1 的解答可知f r 0 f x 在 0 r 上单调递增 在 r 上单调递减 因此x r是f x 的极大值点 100 f x 在 0 内无极小值 综上所述 f x 在 0 内的极大值为100 无极小值 规律方法 本题在利用导数求函数的单调性时要注意 求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式 在求f x 0和f x 0时要注意 本题主要考查同学们对基本概念的掌握情况和基本运算能力 互动探究 1 2013年重庆 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水 池的体积最大 解 1 因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意 得200 rh 160 r2 12000 由此可知 v r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 考点2 利用导数解决不等式问题 例2 已知函数f x 1 xax lnx 1 若函数f x 在 1 上为增函数 求正实数a的取值范围 1 a 2 若存在x0 1 使得f x0 互动探究 2 2014年新课标 设函数f x alnx 2 x2 bx a 1 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为0 1 求b aa 1 求a的取值范围 考点3 利用导数研究函数的零点 f x 与f x 在区间 0 上的情况如下 规律方法 1 利用导数求函数f x 的单调性与极值的步骤 确定函数f x 的定义域 对f x 求导 求方程f x 0的所有实数根 列表格 2 证明函数仅有一个零点的步骤 用零点存在性定理证明函数零点的存在性 用函数的单调性证明函数零点的唯一性 互动探究 3 2014年新课标 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x c 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 a 2 b 1 c 2 d 1 难点突破 函数中的恒成立 存在性 问题 1 若可导函数f x 在指定的区间d上单调递增 减 求参数的范围 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 3 由不等式的恒