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二次函数的定义 3 二次 函数 定义

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22.1.1　二次函数 1.理解并掌握二次函数的定义. 2.能判断一个给定的函数是否为二次函数. 3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围. 1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程. 2.使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力. 3.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想. 1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣. 2.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,提高学生应用数学的意识. 【重点】 1.理解并掌握二次函数的定义. 2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围. 【难点】　用二次函数表示变量之间的关系. 【教师准备】　多媒体课件(1~3) 【学生准备】　预习教材P28~29. 导入一: 出示喷泉图片: 图片中喷头喷出的水珠在空中走过一条曲线,我们学习过这样的函数图象吗？这些曲线是否能用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的? 导入二: 请同学们阅读章前问题,并回答下列问题: 如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么数量关系? 学生思考回答:y=6x2. 【问题】　y是x的函数吗?这个函数是不是我们以前学过的函数? 【师生活动】　复习函数、正比例函数、一次函数的概念. [设计意图]　通过欣赏图片、感受生活中的数量关系式,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.同时让学生体会二次函数是刻画某些实际问题的模型,通过复习一次函数的知识,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识. 　[过渡语]　函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解其定义的基础上,研究其图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数. 一、感知二次函数 问题1 【课件1】　(教材问题1)n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系? 思路一 教师引导学生思考并回答下列问题. n个球队中,每个队要与其他　　　　个球队各比赛一场,全部比赛共有　　　　 场. 分析题意,题目中的等量关系为　　　　,所列等式为　　　　. 【师生活动】　学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的数学模型. 解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=12n(n-1) ,即m=12n2-12n. 思路二 小组活动,共同探究,思考下列问题. (1)明确题意,题中的已知条件是什么? (2)分析题意,题中的等量关系是什么? (3)如何根据题中的等量关系建立函数解析式? 【师生活动】　小组讨论,教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生小组讨论后发表讨论结果,教师及时补充. 解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=12n(n-1) ,即m=12n2-12n. 问题2 【课件2】　(教材问题2)某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? 思路一 教师引导学生思考并回答下列问题. 这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是　　　　t,再经过一年后的产量是　　　　t. 分析题意,题目中的等量关系为　　　　,所列等式为　　　　. 【师生活动】　学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的模型. 解:这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即y=20(1+x)2. 思路二 小组活动,共同交流,思考下列问题. (1)明确题意,题中的已知条件是什么? (2)分析题意,题中的等量关系是什么? (3)根据等量关系你能写出函数解析式吗? 【师生活动】　学生通过交流讨论列出函数解析式,教师在巡视过程中及时解决疑难问题. 解:这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即y=20(1+x)2. [设计意图]　通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 二、二次函数的概念 观察教师板书上的三个函数关系式: (1)y=6x2;　 (2)m=12n2-12n;　 (3)y=20(1+x)2. 【思考】　(1)这三个函数是我们学过的函数吗? (2)这些函数的自变量x的最高次数是多少? (3)你能说出它们的共同特征吗? (4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗? 【师生活动】　学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发学生,共同归纳总结. 【课件3】　一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【思考】　(1)你身边哪些量之间存在着二次函数关系? (2)二次项系数a能不能为0?b,c能不能为0?为什么? (3)如何判断一个函数是不是二次函数? (4)二次函数与一元二次方程的一般形式有什么关系? 【师生活动】　学生独立思考回答问题,教师和学生共同归纳二次函数的特征: ①函数关系式必须是整式. ②自变量的最高次数是2. ③二次项系数不为0. ④函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)中,当a≠0时,y=ax2+bx+c是二次函数;当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数. [设计意图]　学生观察讨论,通过老师设计的问题串类比已学函数,抽象出二次函数的特征,归纳总结出二次函数的一般形式,学生经历了探索二次函数概念的形成过程,从而达到真正理解二次函数的概念的目的,同时培养学生归纳总结能力. 　[过渡语]　我们通过实例归纳总结出了二次函数的概念,试试能不能解决下列问题. 　观察下列式子:①y=6x2;②y=-3x2+5;③y=200x2+400x+200;④y=x3-2x;⑤y=x2-1x+3;⑥y=(x+1)2-x2.其中二次函数有　　　　.(只填序号) 〔解析〕　根据二次函数的概念可得①②③符合二次函数的概念;④中自变量的最高次数是3,⑤中函数右边不是整式形式,⑥中函数化简后不含二次项,均不符合二次函数的概念.故填①②③. 　若y=(m+1)xm2-6m-5是二次函数,则m的值为　　　　. 〔解析〕　二次函数的自变量x的最高次数是2,∴m2-6m-5=2,解得m=7或m=-1.由二次项系数不为0,得m+1≠0,∴m=7.故填7. 1.二次函数的概念: 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数,叫做二次函数. 2.二次函数满足的条件: ①先化简再判断;②等式右边是整式形式;③自变量的最高次数是2;④二次项系数不为0. 3.二次函数的自变量的取值范围: 自变量的取值在实际问题中要有实际意义. 4.根据实际问题写出函数解析式: 认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列出函数解析式. 22.1.1　二次函数 一、感知二次函数 问题1 问题2 二、二次函数的概念 一、教材作业 【必做题】 教材第29页练习的1,2题. 【选做题】 教材第41页习题22.1的1题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列不属于二次函数的是 (　　) A.y=(x-1)(x+2) B.y=12(x+1)2 C.y=1-3x2 D.y=2(x+3)2-2x2 2.若y=mx2+nx-p(m,n,p是常数)为二次函数,则 (　　) A.m,n,p均不为0 B.m≠0,且n≠0 C.m≠0 D.m≠0,且p≠0 3.已知二次函数y=3(x-2)2+1,当x=3时,y的值是 (　　) A.4 B.-4 C.3 D.-3 4.若二次函数y=4x2+1的函数值为5,则对应的自变量x的值为 (　　) A.1 B.-1 C.1 D.322 5.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是　　　　,一次项系数是　　　　,常数项是　　　　. 6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是　　　　. 7.菱形的两条对角线的和为26 cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为　　　　. 8.若函数y=(m+1)xm2+1-2x+3是关于x的二次函数,试确定m的值或其取值范围. 9.写出下列各函数关系式,并判断它们是什么类型的函数. (1)正方体的表面积S与棱长a之间的函数关系; (2)圆的面积y与它的周长x之间的函数关系; (3)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,两年后该产品的产量y(台)与x之间的函数关系. 【能力提升】 10.下列函数关系中,可以看作是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的模型的是 (　　) A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间之间的关系 B.我国现年人口自然增长率为1%,我国总人口数随年份变化的关系 C.一个矩形的周长一定时,矩形面积和矩形一边长之间的关系 D.圆的周长与其对应的半径之间的关系 11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品的日销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗? 【拓展探究】 12.如图所示,用同样规格的正方形白色和黑色瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答问题. (1)在第n个图形中,每一横行有　　　　块瓷砖,每一竖列有　　　　块瓷砖,黑色瓷砖共有　　　　块;(均用含n的代数式表示) (2)在(1)的条件下,设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与n之间的函数关系式; (3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值. 【答案与解析】 1.D(解析:化简后D中不含有自变量x的二次项,所以D选项不属于二次函数.故选D.) 2.C(解析:根据二次函数的概念,即形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数是二次函数,所以只要满足二次项系数不为0即可.故选C.) 3.A(解析:把x=3代入函数解析式,可得y=4.故选A.) 4.C(解析:把y=5代入函数解析式,得4x2+1=5,解得x=1.故选C.) 5.2　-2　0(解析:将原式整理得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.) 6.a≠1(解析:二次函数中二次项系数不为0,所以a-1≠0,即a≠1.故填a≠1.) 7.S=-12x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线长为(26-x)cm,由菱形的面积公式可得S=12x(26-x)=-12x2+13x.故填S=-12x2+13x.) 8.解:∵函数y=(m+1)xm2+1-2x+3是关于x的二次函数,∴m2+1=2,且m+1≠0,解得m=1. 9.解:(1)S=6a2,是二次函数.　(2)y=πx2π2=x24π,是二次函数.　(3)y=30(1+x%)2,是二次函数.　　 10.C(解析:设一个矩形的周长为a,矩形的一边长为x,则另一边长为a2-x,则矩形的面积S=xa2-x=-x2+a2x,是二次函数.故选C.) 11.解:由题意可知该商品每件的利润为(x-30)元,则y=(162-3x)(x-30),即y=-3x2+252x-4860,所以y是x的二次函数. 12.解:(1)由图形规律可以得出:每一横行有(n+3)块瓷砖,每一竖列有(n+2)块瓷砖,黑色瓷砖数=(n+3)(n+2)-n(n+1)=4n+6.故答案为:(n+3),(n+2),(4n+6).　(2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6.　(3)由题意得(n+3)(n+2)=506,解得n1=-25(舍去),n2=20,∴n的值为20. 本节课由实际问题导入新知识,呈现了“问题情境——建立数学模型——归纳总结——知识拓展”的过程,在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作中获取知识,把要探究的知识设计成问题形式,降低了难度,让学生体验成功的快乐,激发学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人交流,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识. 由于这节课内容较少,在学习了一次函数和一元二次方程后,学习这节课应该是很简单的,所以误认为学生会通过自学掌握所有知识,教学时对于概念的形成过程有点过于急躁,造成学生对概念的细节问题掌握不 牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏学习数学知识的严谨性,所以在课堂上要重视探究知识的过程. 二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,许多实际问题往往可以归结为二次函数问题加以研究.在教学中要重视二次函数概念的形成和构建,在对二次函数的概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体会用函数思想去描述、研究变量之间的变化规律的意义.

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