第六章 常微分方程.doc

第六章 常微分方程教学与考试基本要求： 1理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念； 2会求解可分离变量方程，齐次方程； 3会求解一阶线性齐次，非齐次方程； 4会求解可降阶的二阶微分方程； 5掌握二阶常系数齐次线性方程的解法； 6会用待定系数法求解两种二阶常系数非齐次线性方程； 7会用微分方程解决一些简单的几何和物理应用问题61 微分方程的基本概念一、主要内容回顾微分方程的概念（1）含有一元未知函数导数或微分的等式,称为常微分方程（2）微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶（3）代入微分方程能使方程成为恒等式的函数，称为方程的解（4）若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，称这种解为方程的通解（5）不含任意常数的解，称为特解（6）用来确定通解中任意常数的条件，称为初始条件（7）满足常微分方程的初始条件的特解，称为初值问题的解（8）微分方程的解所表示的曲线，称为积分曲线二、基本考试题型及配套例题题型I 判断题（1）微分方程的通解包含了它的所有的特解.（2）和是的两个特解则是此微分方程的通解. 解（1）错.有的微分方程的通解不能包含其所有特解.如方程，有通，但它不能包含方程的解（2）错. 因为构成的通解的两个特解必须满足条件不等于常数.题型II 填空题(1)过点且斜率为的曲线方程为_(2)曲线族为任意常数）所满足的微分方程为 _.解(1) 设所求曲线方程为，由题意有：解（1）有 代入（2）得.(2).题型III 选择题（1）下列等式中是微分方程的有（ ）.A ； B ；C ； D .（）已知,是的两个解，则（为任意常数）是（ ）.A是方程的通解； B不一定是方程的解； C是方程的特解； D是方程的解，但不是方程的通解解（）D. （）D.因为是常数，故不能作为微分方程的通解，但是方程的解.三、习题选解 （习题6-1）2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解.若是,试指出是通解还是特解(其中为常数).（），；（），；（），；（），.解（1）对隐函数关于求导得 整理得 该隐函数为方程的解，且不含任意常数，所以该隐函数为方程的特解.（2）求所给函数的一阶及二阶导数. =，= 代入方程，得0.所以，所给函数不是方程的解. （3）所给函数的一阶导数=C代入方程，得所以，所给函数是方程的解.加之，函数有一个任意常数，而方程是一阶微分方程，所以函数是方程的通解.（）求所给函数的一阶及二阶导数. ，代入方程，得 0所以，所给函数不是方程的解.验证是方程的通解（为任意常数），并求满足初始条件的特解.解 求所给函数的一阶导数代入方程，得.所以，所给函数是方程的解.又所给函数有一个任意常数，而方程是一阶微分方程，所以，所给函数是方程的通解.将初始条件代入通解，求得.则所求的特解为. 4.在下列各题中，对给定的曲线族，求出所对应的微分方程：（）；（）.解(1）所给函数的一阶导数而 ，所以，得.整理即得，所给函数满足的微分方程.(2)求所给函数的一阶及二阶导数，而 ，将代入所给函数得.整理，即得，所给函数满足的微分方程.62 可分离变量方程与齐次方程一、 主要内容回顾可分离变量的方程（1）形式：.（2）求解：.齐次方程（1）形式：.（2）求解：作变换，化为.二、基本考试题型及配套例题题型I 计算题（） 求方程的通解； （） 求初值问题的解，；（）求方程的通解；（）求方程的通解.解（）分离变量得 两边积分 即，所以通解为.（）首先求通解，分离变量得 两边积分得. 所以原方程的通解为. 由，得. 则特解为.（）原方程变为 令，则， 代入原方程得 即 分离变量得两边积分得 从而，有即 所以原方程的通解为.（）令则 从而原方程化为分离变量得两边积分得 即 代入得原方程通解为. 题型II 证明题已知，当时，证明 证 设，则所以原方程变为，即 而 故 题型III 应用题一曲线通过点，它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线的方程.解 设切点为，则切线在轴，轴的截距分别为切线斜率为故曲线满足微分方程：从而，即，故 由于曲线经过点，因此，故曲线方程为 .三、习题选解（习题6-2）.求下列微分方程的通解：（）；（）；（）.解（2）分离变量得，通解为.（3）分离变量得， 积分可求得通解 .（4）分离变量得， 积分可求得通解 即.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（），；（），；（），.解（1）分离变量得，积分可得通解 由 得， 故所求特解为 即 （2）分离变量得 ， 积分可得通解为 . 由 得 故所求特解为 .（3）分离变量得 即 积分可得通解为 由 得 故所求特解为 .3.求下列微分方程的通解：（2）；（3）；（4）. 解 (2)原方程变为， 令，则原方程化为 ， 即 积分可得 ，代入 得为所求的通解.（3）原方程变为令则原方程化为即 积分可得 代入，得 为所求的通解.（4）原方程变为 令 则原方程化为 即 积分可得 代入 得 为所求的通解.4.求下列齐次方程满足所给初始条件的特解：（1），；（2），.解（1）原方程变为，令 ，则原方程化为 即 ，分离变量得积分，即，通解为.由得，故所求特解为 .（2）令， 则原方程变为 即积分可得 代入 得 由得，故所求的特解为.5.用适当的变换将下列方程化成可分离变量的方程，然后求出通解：（1）； （2）；（3）.解 （1）令，则原方程变为即，积分可得 代入 得为所求的通解.（2）令，则原方程变为，即令则，即代入得 为所求的通解.（3）令，则原方程变为 ，即积分可得 代入，得为求的通解.63一阶线性微分方程一、主要内容回顾一阶线性微分方程（1）一阶线性齐次方程：.（2）通解为.（3）一阶线性非齐次方程：.（其中都是的已知连续函数）（4）通解为.二、基本考试题型及配套例题题型I 填空题（1）一阶线性非齐次微分方程的通解是_；（2）微分方程；中是线性微分方程的是_.解 （1）.（2）.因为方程可变形为.题型II 计算题（1）求方程的通解；（2）求方程 满足初始条件的特解； （3）求方程 的通解，其中 是给定的连续函数.解（1）化为标准型 相应齐次方程为分离变量积分得齐次方程通解为令原方程通解为则，即得原方程通解为.（2）方程化为 将作为未知函数方程为一阶线性非齐次方程，其中， 由公式法得 =.即 为方程的通解.由 ，得，所求特解为 .（3）由公式得通解为 .三、习题选解（习题6-3）1.求下列微分方程的通解：（2）； （3）；（4）； （5）；（6）.解：（2）由公式得通解为 （3）方程化为 其中由公式得通解为. （4）方程化为其中， 由公式得通解为 . （5）方程化为 其中 由公式得通解为 . （6）方程化为 其中， 由公式得通解为.2.求下列微分方程满足初始条件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），.解（1）由公式得通解为由，得，故所求特解为. （2）由公式得通解为由，得，故求所特解为.（3）由公式得通解为因为所以由，得故所求特解为.（4）原方程可化为由公式得通解为令，所以由，得，故所求特解为3.设，分别为方程与的解， 证明是方程的解.并用此结果解方程 .证 因为分别是两方程的解，所以有和故有 或因此 是方程的通解.6.4 可降阶的高阶方程一、 主要内容回顾 型，.型令则化为一阶方程：. 型令则化为一阶方程.二、 基本考试题型及配套例题题型I 计算题(1)求方程的通解；(2)求解初值问题 .解(1)方程不显含，令 则 ，代入方程得，即，这是齐次方程，令，代入方程整理，得解得,即,从而由此得 为所求通解.注：解中不独立(2)方程不显含，令，则得,分离变量积分得 由于 得，从而由初始条件 故 分离变量得 ,解得 由得故所求初值问题解为. 题型III 应用题试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线.解设所求曲线为，在点处的切线斜率为，且在方程的两端积分，得，由，得，所以再积分得，由，得故所求的积分曲线为三、 习题选解（习题6-4）1.求下列各微分方程的通解：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）.解（1）（2） （3）令则，得线性方程，即由公式可得=则.（4）令，则，得，即积分得，则.（5）令则，方程化为分离变量得积分得，即则，积分得，即.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1），；（2），；（3），.解（1）令则，方程化为即令 则 ， 故有 ，这是线性方程，由公式可得通解为 ， 即 ，故， 由，得，则有，积分得 由，得，从而.（） 令则，原方程化为，从而，积分得，即 由，得，因而 由此得即，积分得 由，得，因此所求特解为 即（舍去因）. （3）令则原方程化为，即 积分得，即 由， 得 因而 从而，即 积分得 由，得，因而65 二阶常系数齐次线性微分方程一、主要内容回顾二阶常系数齐次线性方程（1）形式：（其中为常数）（2）求解：特征方程,设, 为其两根,当,为不相等实根时,通解为当时,通解为 当, 为共轭复根时,设,通解为二、基本考试题型及配套例题题型I 填空题（1）和是 的两个线性无关的特解,则此方程的通解为_；（2）以为特解的二阶常系数线性齐次方程是_解(1)(2)因为所以方程的通解为 从而特征根特征方程 即，故方程应是题型II 计算题（）求方程的通解（）求初值问题的特解，.解（）特征方程为 得特征根，分情况讨论，有 故通解为 （）特征方程为 ， 有一对共轭复根 ， 则方程的通解为： 由 得 解得 则所求特解为 题型III 证明题证明：若满足，则必满足方程，并求方程的解.证 因，求导得即 首先解方程得通解又由于 故 令 得 则 从而方程 的解为三、 习题选解（习题6-5）.求下列微分方程的通解：（）；（）；（）；（）；（）；（）解（1）特征方程为 ，解之得特征根 ，故方程的通解为 （2）特征方程为 解之得特征根 ，故方程的通解为 （3）特征方程为 解之得特征根 ，故方程的通解为 （4）特征方程为 解之得特征根 ，故方程的通解为 （5）特征方程为 解之得特征根 ，故方程的通解为 （6）特征方程为 解之得特征根 ，故方程的通解为 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（），；（），；（），；（），解（1）特征方程为 解之得特征根 故通解为 代入初始条件得 解得因此所求特解为 （2）特征方程为 ，解之得特征根 ，故通解为 ，因此 代入初始条件得 即 因此所求特解为 （3）特征方程为 解之得特征根 故通解为 ，因此 代入初始条件得 因此所求特解为 （4）特征方程为 解之得特征根 , 故通解为 因此 ，代入初始条件得 ， ，即 因此所求特解为 6.6二阶常系数非齐次线性微分方程一、主要内容回顾二阶常系数非齐次线性方程（1）形式： ，其中为常数， （2）求解：若 ，则特解形式为 其中是与同次的多项式，且不是特征根时 ，是单重特征根时，是两重特征根时若 其中均为常数则特解形式为 不是特征根时是特征根时与为待定常数二、基本考试题及配套例题题型I 填空题已知曲线 上原点处的切线垂直于直线 且 满足微分方程 则此曲线的方程是 =_解.该方程的特征方程是 所以特征根是 非齐次线性方程的特解形式为 代入方程并整理后得 于是所以方程的通解是 又按题意有 可解得 所以 题型II 选择题方程 的特解 的形式是（ ）A ； B ；C ； D 解 选D由于所给方程的特征方程是 ，所以特征根为 则方程 的特解 具有形式 方程 的特解 具有形式 所以方程 的特解是 题型III 计算题设函数 连续，且满足 求解 两边对 求导得 从而 再由题设可知，而对应的齐次方程的特征方程为 ，解得特征根 故其对应的齐次方程的通解为 可观察出 为的一个特解因而的通解为 又，由初始条件 得从而 因此 三、习题选解（习题6-6）.已知和是二阶常系数齐次微分方程的两个特解，写出该方程的通解，并求满足初始条件，的特解解（1）因为特解为 且 不为常数所以该方程的通解为 因此 代入初始条件得 解之有 因此所求特解为 .求下列微分方程的通解：（）；（）；（）； （）解（1）特征方程为 ，解之得特征根 故对应的齐次方程的通解为 又因为 ，不是特征方程的根故设 为非齐次方程的一个特解，代入原方程得，从而 .因而 为非齐次方程的一个特解从而原方程的通解为 （2）特征方程为 解之得特征根 所以对应齐次方程的通解为 又因为 是型，不是特征方程的根，故令为非齐次方程的一个特解，则代入原方程得 比较系数得 故 因此原方程的通解为 （3）特征方程为 解之得特征根 故对应的齐次方程的通解为 又属于 型 且由于为特征方程的根，所以令为非齐次方程的一个特解则代入方程得比较系数得 故 因而原方程的通解为 （4）特征方程为 ，解之得特征根 故对应的齐次方程的通解为 又，属于 型，且由于不是特征根，故设原方程的特解为代入方程得比较系数得 解得 于是有 因此原方程的通解为3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（），；（），解 （1）特征方程 由此求得特征根 故对应的齐次方程的通解为 易观察到 为 原方程的一个特解因而原方程的通解为 由初始条件得 解得 因此满足初始条件的特解为 （2）特征方程为 解之得特征根 故对应的齐次方程的通解为 又是特征方程的根，所以设为原方程的一个特解，代入原方程得比较系数得 故 从而原方程的通解为 由初始条件得 解得 因而满足初始条件的特解为 （习题6-7）1求一曲线，这曲线过原点，且它在点处的切线斜率等于 解 由题意有： 由一阶线性方程的求解公式得通解由初始条件 ，得因此 为所求的特解2跳伞员与降落伞共重150kg，当伞张开时，他以10m/s的速度竖直下落.已知空气阻力与速度成正比，且当速度为5m/s时，空气阻力为60kg.试求跳伞员的下落速度与时间的关系及其极限速度（即当时速度的极限）.解 由题意有 即 这是一阶线性非齐次方程由公式得由初始条件有 得 为所求方程的特解由此可见 .3.有一质量为的质点做直线运动，开始运动后，除受到一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为）的力的作用，还受到与速度成正比（比例系数为）的阻力作用.求质点的速度与时间的函数关系.解 有 即 这是一阶线性非齐次方程，由公式得 由题意时 得 故即.4.一链条悬挂在一个钉子上，起动时一端离钉子8m，另一端离钉子12m.若不计摩擦阻力，求此链条滑过钉子所需的时间.解 设在时刻时，链条上较长的一段垂下，且设链条的密度为，则向下拉链条下滑的作用力 牛顿第二定律 ，即 其特征方程为，解出特征根 故其对应的齐次方程的通解为 由观察法易知， 为非齐次方程的一个特解. 因而原方程的通解为 由以及初始条件 得 从而解得 ，因此当，即链条滑过钉子时有，解之得所需时间 (s)5.直径为20cm的圆柱形浮筒，质量为20kg，竖直浮在水中，顶面高出水面10cm.今把它下压使顶面与水面平齐，然后突然放手，不计阻力，求浮筒的振动规律. 解 设浮筒静止时其底面中心为原点，轴向下，振动时下底面中心的位移为，再设为浮筒的直径，为底面积，为质量，为水的密度，据题意可得 其特征方程 的根 ，于是方程的通解 t而 t 以及初始条件 解得 由 代入得 .6.镭在某时刻的衰变速度与它此时刻的质量成正比，它的半衰期（由于衰变质量减少一半所需的时间）为，求镭的质量与时间的函数关系.解 由题意可得 解之得通解 由初始条件，得，再由 ， 得 所求的函数关系为：.复习题六3解下列微分方程： （1）； （2）； （3） ； （4） 解（1）原方程可化为 这是一阶线性非齐次方程，故其通解为 即原方程的通解为 .（2）原方程可化为 ，令 ，则原方程化为 ，即 积分得 于是，即 为所求通解.（3）特征方程为 特征根 .原方程对应的齐次方程的通解为 而，不是特征方程的根，故设为非齐次方程的一个特解，则，代入原方程得，所以为非齐次方程的一个特解.因此，非齐次方程的通解为.（4）特征方程为解之得特征根 故对应的齐次方程的通解为 又因为 具有形式的特解，方程 具有 形式的特解，故可设为原方程的一个特解，代入原方程得比较系数得，.因此从而原方程的通解为.5.质量是的质点，受外力的作用作直线运动，设力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，且在s时速度为m/s，力为N，问从开始经过s后质点运动的速度时多少？ 解 已知，并且当时， 故，从而，因此 又由牛顿第二定律，即，故 积分得，即 由初始条件有，即 因此 为所求之特解. 当时， .6.已知某曲线经过点，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.解 设曲线的方程为 ，点处的切线方程为 根据切线在纵轴上的截距 等于切点的横坐标，即得 ，而曲线经过点，故有初值问题 解之得为所求曲线方程.本章测试题一、 判断题(1)微分方程的通解包含了它