高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt

第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 总纲目录 教材研读 1 四个公理 考点突破 2 空间中两直线的位置关系 3 有关角的重要定理 考点二空间两直线的位置关系 考点一平面的基本性质及应用 4 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 考点三异面直线所成的角 1 四个公理公理1 如果一条直线上的 两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理2 过 不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理2的三个推论 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 推论2 两条 相交直线确定一个平面 教材研读 推论3 两条 平行直线确定一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有 一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4 平行于同一条直线的两条直线 平行 2 空间中两直线的位置关系 1 位置关系的分类 2 异面直线所成的角 i 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的 锐角 或直角 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 ii 范围 3 有关角的重要定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有相交 平行 直线在平面内三种情况 2 平面与平面的位置关系有平行 相交两种情况 1 下列命题 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 若两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 答案c对于 未强调三点不共线 故 错误 易知 正确 对于 未强调三点不共线 若三点共线 则两平面也可能相交 故 错误 故选c c 2 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 a 0b 1c 2d 3 b 答案b 显然是正确的 可用反证法证明 中若a b c三点共线 则a b c d e五点不一定共面 构造长方体或正方体 如图 显然b c异面 故不正确 中空间四边形中四条线段不共面 故只有 正确 3 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线 答案c假设c b 由公理4可知 a b 与a b是异面直线矛盾 故选c c 4 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 60 典例1已知 空间四边形abcd 如图所示 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且cg bc ch dc 求证 1 e f g h四点共面 2 三直线fh eg ac共点 考点一平面的基本性质及应用 考点突破 又 平面efhg 平面abc eg m eg fh eg ac共点 方法指导 1 证明点共线问题 公理法 先找出两个平面 然后证明这些点都是这两个平面的公共点 再根据公理3证明这些点都在交线上 同一法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 2 证明线共点问题 先证两条直线交于一点 再证明第三条直线经过该点 3 证明点 直线共面问题 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 1 1如图所示的是正方体和四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则各图形中 p q r s四点共面的是 填序号 答案 解析对于 顺次连接p q r s 可证四边形pqrs为梯形 对于 如图所示 取a1a和bc的中点分别为m n 顺次连接p m q n r s 可证明六边形pmqnrs为正六边形 对于 顺次连接p q r s 可证四边形pqrs为平行四边形 对于 连接ps pr sr 可证q点所在棱与面prs平行 因此 p q r s四点不共面 1 2如图所示 四边形abef和abcd都是梯形 bc ad且bc ad be fa且be fa g h分别为fa fd的中点 1 证明 四边形bchg是平行四边形 2 c d f e四点是否共面 为什么 解析 1 证明 由已知可知fg ga fh hd 可得gh ad且gh ad 又 bc ad且bc ad gh bc 四边形bchg为平行四边形 2 c d f e四点共面 理由如下 解法一 由be fa且be fa g为fa的中点知be fg 四边形befg为平行四边形 ef bg 由 1 可知bg ch ef ch ef与ch共面 又d fh c d f e四点共面 解法二 如图所示 延长fe dc分别与ab的延长线交于点m m be fa且be fa b为ma的中点 bc ad且bc ad b为am 的中点 m与m 重合 即ef与cd相交于点m m c d f e四点共面 典例2 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列说法错误的是 a mn与cc1垂直b mn与ac垂直c mn与bd平行d mn与a1b1平行 2 如图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在原正四面体中 考点二空间两直线的位置关系命题角度一两直线位置关系的判定 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 a1b1与bd异面 mn bd mn与a1b1不可能平行 故d错误 2 把正四面体的平面展开图还原 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 连接gm 易知 ghm为正三角形 则gh与mn成60 角 易知mn af 且af de 则de mn 命题角度二异面直线的判定典例3 1 如图 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则各图形中直线gh与mn是异面直线的是 填序号 答案 1 2 3 解析 1 中 直线gh mn 中 当g h n三点共面时 m 平面ghn 因此直线gh与mn异面 中 连接mg 易知gm hn 因此gh与mn共面 中 当g m n三点共面时 h 平面gmn 因此直线gh与mn异面 2 将展开图还原为正方体 如图所示 显然 ab与cd ef与gh ab与gh都是异面直线 而ab与ef相交 cd与gh相交 cd与ef平行 故互为异面直线的有且只有3对 方法指导空间中两直线的位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 平行公理及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 2 1给定下列关于异面直线的命题 命题 1 若平面 上的直线a与平面 上的直线b为异面直线 直线c是 与 的交线 那么c至多与a b中的一条相交 命题 2 不存在这样的无穷多条直线 它们中的任意两条都是异面直线 那么 a 命题 1 正确 命题 2 不正确b 命题 2 正确 命题 1 不正确c 两个命题都正确d 两个命题都不正确 d 答案d当c与a b都相交 但交点不是同一个点时 平面 上的直线a与平面 上的b为异面直线 因此判断 1 是假命题 如图所示 对于 2 可以取无穷多个平行平面 在每个平面上取一条直线 且使这些直线两两不平行 则这些直线中任意两条都是异面直线 从而 2 是假命题 故选d 解析 1 因为pa 底面abc 所以pa是三棱锥p abc的高 又s abc 2 2 2 所以三棱锥p abc的体积为v s abc pa 2 2 2 如图 取pb的中点e 连接de ae 则ed bc 所以 ade 或其补角 是异面直线bc与ad所成的角 易知pb 2 pc 4 bc 4 则在 ade中 de 2 ae ad 2 所以cos ade 故异面直线bc与ad所成角的余弦值为 方法指导用平移法求异面直线所成的角的三步法 1 一作 即据定义作平行线 作出异面直线所成的角 2 二证 即证明作出的角 或其补角 是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出作出的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 3 1空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 解析取ac的中点g