广东省茂名市高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

2016年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=x|1x3，b=x|2x2，则ab=（）ax|1x3bx|1x3cx|1x2dx|x22若复数z满足z=1（i为虚数单位），则复数z的模为（）a0b1cd23已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）abcd4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abcd25已知sin（x）=，则sin2x=（）abcd6下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（）ay=lnxby=x2cy=cosxdy=2|x|7下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题d命题“xr使得x2+x+10”的否定是“xr均有x2+x+10”8在约束条件下，目标函数z=2x+y的值（）a有最大值2，无最小值b有最小值2，无最大值c有最小值，最大值2d既无最小值，也无最大值9已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（）a若=m，n，nm，则b若m，n，m、n，则c若m，n，mn，则d若m，n，mn，则10已知数列an、bn满足bn=log2an，nn*，其中bn是等差数列，且a9a2008=，则b1+b2+b3+b2016=（）a2016b2016clog22016d100811已知函数f（x）=，阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为f（1）的值，则输出的k值是（）a9b10c11d1212定义两个平面向量的一种运算=|sin，则关于平面向量上述运算的以下结论中，=，（）=（），若=，则=0，若=，且0，则（+）=（）+（）恒成立的有（）a4个b3个c2个d1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在数列an中，a1=1，an+1=an+1，sn为an的前n项和，若sn=21，则n=14设函数f（x）是定义在r上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=x+1，则=15某小卖部为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温（）1813101杯 数24343864由表中数据算得线性回归方程中的b2，预测当气温为5时，热茶销售量为杯16已知函数f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17设abc的三个内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，已知sin（a）=cosa（1）求角a的大小；（2）若a=1，b+c=2，求abc的面积s18空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象全世界也越来越关注环境保护问题当空气污染指数（单位：g/m3）为050时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染2015年12月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：g/m3）0，50（50，100（100，150（150，200监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（2）若a市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良，从中任意选取2个监测点，事件a“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？1919、如图，在直角梯形abcd中，abcd，且ab=ad=2，cd=4，四边形ade1f1是正方形，且平面ade1f1平面abcd，m是e1c的中点（1）证明：bm平面ade1f1；（2）求三棱锥dbme1的体积20已知椭圆c1： +=1（ab0）的离心率为e=，且c1的右焦点与抛物线c2：y2=4x的焦点相同（1）求椭圆c1的方程；（2）求经过点p（2，0）分别作斜率为k1、k2（k1k2）的两条直线，两直线分别与椭圆c1交于m、n两点，当直线mn与y轴垂直时，求k1k2的值21已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点p（1，f（1）处的切线斜率为10（）求实数a的值；（）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；（）探究：是否存在这样的点a（t，f（t），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点a的坐标；若不存在，说明理由请考生在第22、23、24题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22如图，在abc中，abc=90，以ab为直径的圆o交ac于点e，点d是bc边的中点，连接od交圆o于点m（1）若edo=30，求aod；（2）求证：debc=dmac+dmab选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线c的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线c的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）当m=2时，直线l与曲线c交于a、b两点，求|ab|的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|xa|（1）当a=2时，求不等式f（x）4+|2x1|的解集；（2）若a=x|x24x0，关于x的不等式f（x）a22的解集为b，且ba，求实数a的取值范围2016年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=x|1x3，b=x|2x2，则ab=（）ax|1x3bx|1x3cx|1x2dx|x2【考点】交集及其运算【分析】化简集合b，再求ab【解答】解：集合a=x|1x3，b=x|2x2=x|x1，ab=x|1x3故选：b2若复数z满足z=1（i为虚数单位），则复数z的模为（）a0b1cd2【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z=1=1=1+i，则|z|=故选：c3已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解离心率即可【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，可得，即：，解得=故选：c4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abcd2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为三棱锥，棱锥的高为1，底面为直角边为2的等腰直角三角形【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥的高为1，底面为直角边为2的等腰直角三角形，几何体的体积v=221=故选：b5已知sin（x）=，则sin2x=（）abcd【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值【分析】由两角和与差的正弦函数公式展开已知，化简可得cosxsinx=，两边平方，由二倍角的正弦函数公式即可得解【解答】解：sin（x）=，可得：（cosxsinx）=，化简可得：cosxsinx=，两边平方可得：1sin2x=，从而解得：sin2x=故选：c6下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（）ay=lnxby=x2cy=cosxdy=2|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】排除法：根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可【解答】解：y=lnx不是偶函数，排除a；y=cosx是周期函数，在区间（0，+）上不单调递减，排除c；y=x2在区间（0，+）上单调递增，排除b；故选d7下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题d命题“xr使得x2+x+10”的否定是“xr均有x2+x+10”【考点】命题的真假判断与应用【分析】a利用否命题的定义即可判断出；b由x25x6=0解得x=1或6，即可判断出；c利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出；d利用命题的否定即可判断出【解答】解：a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x21，则x1”，因此不正确；b由x25x6=0解得x=1或6，因此“x=1”是“x25x6=0”的充分不必要条件，不正确；c命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；d命题“xr使得x2+x+10”的否定是“xr，均有x2+x+10”，因此不正确综上可得：只有c正确故选：c8在约束条件下，目标函数z=2x+y的值（）a有最大值2，无最小值b有最小值2，无最大值c有最小值，最大值2d既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最值情况【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=2x+z，显然当平行直线过点b（）时，z取得最大值为2；当平行直线过点b（0，）时，z取得最小，但b点不在可行域内；故选a9已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（）a若=m，n，nm，则b若m，n，m、n，则c若m，n，mn，则d若m，n，mn，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在a中，与不一定垂直；在b中，与相交或平行；在c中，由面面垂直的判定定理得；在d中，与相交或平行【解答】解：由m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，知：在a中：若=m，n，nm，则与不一定垂直，故a错误；在b中：若m，n，m、n，则与相交或平行，故b错误；在c中：若m，n，mn，则由面面垂直的判定定理得，故c正确；在d中：若m，n，mn，则与相交或平行，故d错误故选：c10已知数列an、bn满足bn=log2an，nn*，其中bn是等差数列，且a9a2008=，则b1+b2+b3+b2016=（）a2016b2016clog22016d1008【考点】数列的求和【分析】由已知得a1a2016=a2a2015=a9a2008=，由此能求出结果【解答】解：数列an，bn满足bn=log2an，nn*，其中bn是等差数列，数列an是等比数列，a1a2016=a2a2015=a9a2008=，b1+b2+b3+b2016=log2（a1a2a2016）=log2（a9a2008）1008=2016故选：a11已知函数f（x）=，阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为f（1）的值，则输出的k值是（）a9b10c11d12【考点】程序框图【分析】根据程序框图的流程，计算运行n次的结果，根据输入a=，判断n满足的条件，从而求出输出的k值【解答】解：f（x）=，a=f（1）=f（3）=由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0+，k=3；第n次运行s=0+=（1+）=（1）=，当输入a=时，由na得n9，程序运行了10次，输出的k值为11故选：c12定义两个平面向量的一种运算=|sin，则关于平面向量上述运算的以下结论中，=，（）=（），若=，则=0，若=，且0，则（+）=（）+（）恒成立的有（）a4个b3个c2个d1个【考点】平面向量数量积的运算【分析】由新定义可得=|=，即可判断出；由新定义可得=，而=，当0时，（）=（），不成立；若=，可得，故=0，即可判断出；若=，且0，则，由新定义可得=，而=即可判断出【解答】解： =|=，故，故恒成立；=，而=，当0时，（）=（），不成立；若=，则，得到=0，故恒成立；若=，且0，则+=（1+），+=，而+=+=|1+|故（+）=（）+（）恒成立综上可知：只有恒成立故选b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在数列an中，a1=1，an+1=an+1，sn为an的前n项和，若sn=21，则n=6【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知得数列an是首项为1，公差为1的等差数列，由此求出sn=，再由sn=21，能求出n【解答】解：数列an中，a1=1，an+1=an+1，数列an是首项为1，公差为1的等差数列，sn=n+=，sn=21， =21，解得n=6故答案为：614设函数f（x）是定义在r上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=x+1，则=【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值【分析】利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在r上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可【解答】解：函数f（x）是定义在r上的周期为2的函数，=f（+2）=f（），又函数f（x）是定义在r上的偶函数，f（）=f（），又当x0，1时，f（x）=x+1，f（）=+1=，则=故答案为：15某小卖部为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温（）1813101杯 数24343864由表中数据算得线性回归方程中的b2，预测当气温为5时，热茶销售量为70杯【考点】回归分析的初步应用【分析】先计算样本中心点，再求出线性回归方程，进而利用方程进行预测【解答】解：由题意， =10， =40将b2及（10，40）代入线性回归方程，可得a=60x=5时，y=2（5）+60=70故答案为：7016已知函数f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（10，15）【考点】分段函数的应用【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，根据f（a）=f（b）=f（c），可得lga=lgb=c+3（0，1），即可求出abc的范围【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，则f（a）=f（b）=f（c），lga=lgb=c+3（0，1）ab=1，c（10，15），abc=c（10，15）故答案为：（10，15）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17设abc的三个内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，已知sin（a）=cosa（1）求角a的大小；（2）若a=1，b+c=2，求abc的面积s【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数【分析】（1）由已知利用两角差的正弦公式展开可求tana，结合0a，可求a；（2）由余弦定理a2=b2+c22bccosa，结合已知可得bc的值，然后利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知有sinacoscosasin=cosa，故sina=cosa，tana=又0a，所以a=（2）a=1，b+c=2，由余弦定理a2=b2+c22bccosa得，1=b2+c2bc，所以1=（b+c）23bc，即解得：bc=1，=18空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象全世界也越来越关注环境保护问题当空气污染指数（单位：g/m3）为050时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染2015年12月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：g/m3）0，50（50，100（100，150（150，200监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（2）若a市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良，从中任意选取2个监测点，事件a“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（）由统计表得到0，50内的监测点有15个，由频率分布直方图得0，50内的频率为0.15，由此能求出求出x，y的值，并完成频率分布直方图（）设a市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，由此利用列举法能求出事件a“其中至少有一个为良”发生的概率【解答】解：（）由统计表得到0，50内的监测点有15个，由频率分布直方图得0，50内的频率为0.00350=0.15，解得x=100y=100154010=35=0.008，作出频率分布直方图，如右图（）设a市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个基本事件，有=10种取法，其中事件a“其中至少一个为良”包含的基本事件为：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共7种，事件a“其中至少有一个为良”发生的概率是p=1919、如图，在直角梯形abcd中，abcd，且ab=ad=2，cd=4，四边形ade1f1是正方形，且平面ade1f1平面abcd，m是e1c的中点（1）证明：bm平面ade1f1；（2）求三棱锥dbme1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可（2）根据条件求出三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式进行求解即可【解答】（1）证明：取e1d的中点n，连接mn，an，在e1dc中，m，n分别为e1c，e1d的中点，mncd，mn=cd，abcd，ab=cd，mnab，mn=ab则四边形abmn是平行四边形，则bman，an平面ade1f1，bm平面ade1f1，bm平面ade1f1（2）由平面ade1f1平面abcd，e1d平面ade1f1，平面ade1f1平面abcd=ad，e1dad，e1d平面abcd，ad平面abcd，e1dcd=d，ad平面e1dc，abcd，cd平面e1dc，ab平面e1dc，ab平面e1dc，则b到平面e1dc的距离就是a到平面e1dc的距离，即b到平面e1dc的距离是ad，由=，则=ad=，即三棱锥dbme1的体积v=20已知椭圆c1： +=1（ab0）的离心率为e=，且c1的右焦点与抛物线c2：y2=4x的焦点相同（1）求椭圆c1的方程；（2）求经过点p（2，0）分别作斜率为k1、k2（k1k2）的两条直线，两直线分别与椭圆c1交于m、n两点，当直线mn与y轴垂直时，求k1k2的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆的离心率和且c1的右焦点与抛物线c2：y2=4x的焦点相同，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆c1的方程（2）设直线pm：y=k1（x+2），与椭圆联立，求出m，同理求出n，由直线mn与y轴垂直，得，由此能求出k1k2的值【解答】解：（1）椭圆c1： +=1（ab0）的离心率为e=，且c1的右焦点与抛物线c2：y2=4x的焦点相同，解得a=2，c=，b2=43=1，椭圆c1的方程为（2）由题意，当k1=0时，m点的纵坐标为0，直线mn与y轴垂直，则点n的纵坐标也为0，k1=k2=0，与k1k2矛盾，k10，设直线pm：y=k1（x+2），由，得，解得或y=0（舍），m（，），同理n（，），直线mn与y轴垂直， =，化简，得，（k2k1）（4k1k21）=0，又由k1k2，得4k1k21=0，k1k2=21已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点p（1，f（1）处的切线斜率为10（）求实数a的值；（）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；（）探究：是否存在这样的点a（t，f（t），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点a的坐标；若不存在，说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断【分析】解法一：（）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点p（1，f（1）处的切线斜率k，结合已知可求a（）令f（x）=f（x）2x=x22x+8lnx，利用函数的导数，判断函数f（x）在（0，+）上的单调性，结合f（1）=10，f（2）=8ln20，可证（）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点a处的切线方程（x0），构造函数h（x）=x2+8lnx=x2+8lnx（x0），对h（x）求导，通过讨论t的取值范围来判断h（x）的符号，进而可判断h（x）在（0，+）上的单调性，即可判断解法二：（）（）同解法一；（）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点a处的切线方程（x0），构造函数h（x）=x2+8lnx=x2+8lnx（x0），对h（x）求导，若存在这样的点a（t，f（t），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，二次函数的性质可求【解答】解法一：（）因为f（x）=x2+alnx，所以，函数f（x）的图象在点p（1，f（1）处的切线斜率k=f（1）=2+a由2+a=10得：a=8 （）由（）知，f（x）=x2+8lnx，令f（x）=f（x）2x=x22x+8lnx因为f（1）=10，f（2）=8ln20，所以f（x）=0在（0，+）至少有一个根又因为，所以f（x）在（0，+）上递增，所以函数f（x）在（0，+）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一个实根 （）证明如下：由f（x）=x2+8lnx，可求得曲线y=f（x）在点a处的切线方程为，即（x0） 记h（x）=x2+8lnx=x2+8lnx（x0），则 （1）当，即t=2时，对一切x（0+）成立，所以h（x）在（0，+）上递增又h（t）=0，所以当x（0，2）时h（x）0，当x（2，+）时h（x）0，即存在点a（2，4+8ln2），使得曲线在点a附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧 （2）当，即t2时，时，h（x）0；时，h（x）0；x（t，+）时，h（x）0故h（x）在上单调递减，在（t，+）上单调递增又h（t）=0，所以当时，h（x）0；当x（t，+）时，h（x）0，即曲线在点a（t，f（t）附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧 （3）当，即0t2时，x（0，t）时，h（x）0；时，h（x）0；时，h（x）0故h（x）在（0，t）上单调递增，在上单调递减又h（t）=0，所以当x（0，t）时，h（x）0；当时，h（x）0，即曲线在点a（t，f（t）附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧综上，存在唯一点a（2，4+8ln2）使得曲线在点a附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧 解法二：（）（）同解法一；（）证明如下：由f（x）=x2+8lnx，可求得曲线y=f（x）在点a处的切线方程为，即（x0） 记h（x）=x2+8lnx=x2+8lnx（x0），则 若存在这样的点a（t，f（t），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当，即t=2时，t不是极值点，即h（x）0所以h（x）在（0，+）上递增又h（t）=0，所以当x（0，2）时，h（x）0；当x（2，+）时，h（x）0，即存在唯一点a（2，4+8ln2），使得曲线在点a附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧 请考生在第22、23、24题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22如图，在abc中，abc=90，以ab为直径的圆o交ac于点e，点d是bc边的中点，连接od交圆o于点m（1）若edo=30，求aod；（2）求证：debc=dmac+dmab【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连接be，oe，由已知得abc=90=aeb，a=a，从而aebabc，进而abe=c，进而beo+deb=dce+cbe=90，由此能证明de是圆o的切线，利用edo=30，求aod；（2）dm=odom=（acab），从而dmac+dmab=（acab）（ac+ab）=bc2，由此能证明debc=dmac+dmab【解答】（1）解：连接be，oeab是直径，aeb=90，abc=90=aeb，a=a，aebabc，abe=c，beac，