高考数学大一轮复习 第五章 数列 第28讲 等差数列及其前n项和优选课件.ppt

数列 第五章 第28讲等差数列及其前n项和 栏目导航 1 等差数列的有关概念 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母 表示 定义表达式为 或 2 等差中项若三个数a a b成等差数列 则a叫做a与b的等差中项 且有a 2 同一个常数 d an an 1 d 常数 n n n 2 an 1 an d 常数 n n 2d md 1 思维辨析 在括号内打 或 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 c d 4 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和s11 a 58b 88c 143d 1765 在数列 an 中 若a1 1 an 1 an 2 n 1 则该数列的通项an 解析由an 1 an 2知 an 为等差数列 其公差为2 故an 1 n 1 2 2n 1 b 2n 1 1 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程组解决问题的思想 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知量和未知量是常用方法 一等差数列基本量的求解 b b 3 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m 5 二等差数列的性质及应用 例2 1 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5 a 5b 7c 9d 11 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 12 s9 45 则s12 3 已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 a 114 21 三等差数列的判定与证明 判定数列 an 是等差数列的常用方法 1 定义法 对任意n n an 1 an是同一常数 2 等差中项法 对任意n 2 n n 满足2an an 1 an 1 3 通项公式法 对任意n n 都满足an pn q p q为常数 4 前n项和公式法 对任意n n 都满足sn an2 bn a b为常数 四等差数列前n项和的最值问题 求等差数列前n项和的最值的方法 1 运用配方法转化为二次函数 借助二次函数的单调性以及数形结合的思想 从而使问题得解 2 通项公式法 求使an 0 an 0 成立时最大的n值即可 一般地 等差数列 an 中 若a1 0 且sp sq p q 则 例4 等差数列 an 中 a1 0 s5 s12 当n为何值时 sn有最大值 1 在等差数列 an 中 a1 0 公差d 0 若am a1 a2 a9 则m的值为 a 37b 36c 20d 19 a 3 若数列 an 满足a1 15 且3an 1 3an 2 则使ak ak 1 0的k值为 23 4 2017 江苏卷 对于给定的正整数k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数n n k 总成立 则称数列 an 是 p k 数列 1 证明 等差数列 an 是 p 3 数列 2 若数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 证明 an 是等差数列 证明 1 因为 an 是等差数列 设其公差为d 则an a1 n 1 d 从而 当n 4时 an k an k a1 n k 1 d a1 n k 1 d 2a1 2 n 1 d 2an k 1 2 3 所以an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 因此等差数列 an 是 p 3 数列 2 数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 因此 当n 3时 an 2 an 1 an 1 an 2 4an 当n 4时 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 由 知an 3 an 2 4an 1 an an 1 an 2 an 3 4an 1 an 1 an 将 代入 得an 1 an 1 2an 其中n 4 所以a3 a4 a5 是等差数列 设其公差为d 在 中