东北大学岩石力学讲义第二章 应力分析.doc

第二章 应力分析第一节 体力和面力载荷类型载荷 一切导致物体变形和产生内力的物理因素，都称为载荷。按作用性质不同，可分为两大类1、第一类载荷：重力、机械力和电磁力等，可简化为作用在物体上的外力，由此引起物体变形和内力；2、第二类载荷：如温度和中子幅照，直接引起物体变形，这种变形受约束时，物体才产生内力。按作用区域，载荷可分为体积力和表面力。体积力和表面力的定义体积力 作用在物体内部体积上的外力，简称体力，如重力、惯性力、电磁力等，体力通常定义为 (2-1)是受体力作用的微小体积，或称微元体。是微元体上体力的合力。 f的方向是体力合力的方向。一般来说f是空间点位的函数。上述定义表明：1、体积力是体力强度；2、体力是矢量；3、体力强度是一种极限。图2-1表面力 作用在物体表面上的外力，简称面力，如液压力、气体压力和固体之间的接触力等，面力通常定义为 (2-2)式中， 受面力作用的微小面积，或称微面元。是微面元上外力的合力。面力的方向是面力合力的方向，一般来说，面力是位置的函数。上述定义表明：1、面力是面力强度；2、面力是矢量；3、面力强度是一种极限。图2-2第二节 应力张量和应力分量内力与附内力 在外力作用下，物体发生变形，同时产生了企图恢复原形的力，即形成内力场。该内力场与外力平衡时，物体不再继续变形，达到变形的平衡，保持这个平衡的附加内力场，即是应力场。应力是反抗外力引起物体变形的分子力，不是保持物体形状或聚集状态的分子力，因此称作附加内力场。应力场是对附加内力场的精确描述。应力概念的建立1、将一变形平衡物体假想地剖开，分为A和B两部分，分界面为C，研究C面上，B物体对A物体的作用，此时C面上的附加内力变为外力，表面力。CPAB图2-32、在C面上取一点P，围绕P点作一微面元，上的附加内力，即表面力为。定义上的应力矢量为 (2-3)3、一般情况下，既不平行于面元，也不垂直于面元。因此，可将分解为平行和垂直于的两个矢量， zyOACPB图2-4并可以到两个应力矢量、 ； (2-4)式中n是微面元的外法线方向；，分别称为法向应力和剪应力。过P点可作无数个面，现在考察与坐标方向一致的面，在图5中剖面C的外法线与y轴的方向一致，也可以称为y面yxzOCSAB图2-5考虑对于图5所示的情况，当时，由于垂直于面在垂直方向的分量无法进一步分解，因此法向应力也无法进一步分解。但的平行于面的分量落在面上，可以进一步分解，这里将再分解为平行于其它两个坐标轴，即x轴z轴的面力矢量，这表明即剪应力可以在面元上进一步分解。按这种作法，上的面力矢量可以分解为3个平行于坐标轴的分矢量。4、过P点做三个特殊的面，其法线分别平行于x轴、y轴和z轴，称它们为x面、y面和z面。按照上面的作法，在每个面上的面力矢量，可以分解为三个分量xzyO图2-6一个法向面力分量，平行于面元的法线或者说平行于一个坐标轴，与两个切向面力分量，分别平行于其它两个坐标。5、以三对坐标面。切割出一个特殊的微元体，六面体。当时，即向P点收缩时，六面体上面力分量的全体就是P点的应力张量。上面讨论的应力张量是点P上的应力，点是没有大小的。因此指向相同方向相反的两个坐标面距离为零。这样在平行且相反的一对坐标面上的应力是相等的。图5是点P的一种夸张的表示，因此P点上的独立的面力分量是9个，这些面力分量习惯称作应力分量，这9个应力分量的全体称为应力张量。应力张量的记法应力张量有三种记法：1、用9个分量的全体表示 (2-6)每个应力分量的第一个下标表示面元的方向，第二个下标表示该应力分量的方向。2、张量记法 i, j=x, y, z (2-1)3、实体记法即用黑体字表示应力张量，或应力分量的全体。有关应力定义注意的问题：1、应力是附加内力；2、应力张量或应力分量作为全体是定义在一个点上的，但每一个应力分量是定义在过P点的某个面上的。因此应力张量与过点P的面元的方向无关，而应力分量与面元的方向有关；3、在每一个面元上，应力分量可以合成一个应力矢量(面力矢量)，但不同面上的面力矢量，不能合成一个力矢量。有关应力概念，应该注意的问题：1、面元的方向，由的外法线方向确定；2、应力具有二重方向性，（a）面元的方向；（b）面元上应力分量的方向；3、面元正负的规定：外法线指向坐标轴正向为正面，反之为负面；4、应力分量正负的规定：正面上指向坐标正向为正，负面上指向坐标负向为正。应力概念的建立是思想实验的例证。因为应力是内力，从外部看不到。为研究方便起见，假想地将物体分开，内力变为外力(表面力)，变为可观察的量，变为至少在想象中可观察的量。我们还要注意到应力具有如下奇特的性质：1、应力虽然是面力，但这种面力并不是作用在物体可见的外表面上的力，而是作用在连续体的内部假想的表面上。而且遍布连续体内的每一点；2、图6中所示的成对的坐标面实际上犹如一张纸的正面和反面，它们之间的距离为零。若正面，比如正x面是将连续体假想地切成两半并将B部分移去后，所剩下的A部分的外表面，其上的应力分量表示了B部分(或面力矢量)对A部分的作用力，则负x面上的应力分量就是A部分对B部分的反作用力，它们的大小相等，方向相反；3、应力虽然遍布连续体内的每一点，但是与物体的质量，或者说体积无关，因此不是一个可加和的量，与温度等类似。第三节 斜面应力公式(一点的应力状态唯一性的证明)过点P可做无数个平面，每个平面上应力矢量可分解为3个分量，这样一点的应力分量可以有无穷多个，以(2-6)式定义的应力状态(应力张量)是否唯一地决定了一点的应力状态是一个需要证明的问题，或者换一个说法，如(2-6)所示的一点的应力状态是否就是一点应力状态的的唯一描述，是一个需要证明的问题。但是在上一节我们不加证明地认定(2-6)式，就是一点应力状态的的唯一描述。 图2-7斜面应力公式的推导1、过点P做微小四面体OABC，如图7所示。斜面ABC的面积为dS，坐标面OBC(x面)的面积为dSx；坐标面OAC的面积为 dSy；坐标面OAB的面积为dSz。2、斜面外法向为n，它与x， y， z坐标夹角的方向余弦为(l, m, n)，斜面上面力矢量是P，P在x, y, z方向的分力为Px，Py，Pz图2-8 3、四面体所受的体力为四面体在x方向力的平衡要求 (2-2)由于；因此(2-2)变为 (2-3a)同理可得 (2-3b) (2-3c)将(2-3)式写成矢量形式有 (2-4)(2-3)或者(2-4)就是斜面应力公式。也成柯西应力定理。(2-3)或者(2-4)也可用其它方法推出，记x面上的面力矢量为，y面为，z面为，此处下标表示表面所在面元的方向，不表示面力矢量的方向，四面体的平衡要求 (2-5)(2-5)式两端点乘l，即向x方向投影，得到注意到因此 (2-3a)同理： (2-3b) (2-3c)平面应力状态下的斜面应力公式平面条件下，斜面与z轴平行，即cos (n，z) = n =0。用两种方法讨论图2-9O一、做为三维情况的特例此时，式(2-4)变为 (2-7a)上式等价于 (2-7b)将(2-7)式写成分量形式，由图9可以得到将上式代入(2-7b)得到 二、仿照三维的情况进行推导从图9可以看出，各个微面元之间有关系四面体的平衡要求将上式写成矢量形式 (2-7c)用两种方法推导的结果完全一样。斜面应力公式(2-3)和(2-4)表明只要知道了过点P的3个坐标面上的9个应力分量，则过点P的任意平面上的面力矢量或面力分量，可以由这9个分量求出。因此，(2-6)式是一点应力状态的唯一的、全面的描述。第四节 应力分量的坐标变换应力张量由过点P的坐标面上的应力分量的全体表示，坐标系是人为选择的，应力状态的唯一性定理意味着，坐标变换时不同坐标系的应力分量之间有确定的变换关系。将新坐标系中的坐标面看作旧坐标系中的斜面，则由斜面应力公式，可求图2-10出这些斜面上应力矢量的分量，比如，此处上标“”表示面。 (2-8a)对y / 面和z / 面可类似地得到 (2-8b) (2-8c)式中，是面与旧坐标系的x、y、z轴夹角的方向余弦。而是面上，指向旧坐标系x, y, z方向的面力分量。新旧坐标系之间夹角的方向余弦如下表2-1所示 表2-1xyzx /cos(n x, x)=l11cos(n x, y)= l 12cos(n x, z)= l 13y /cos(n y, x)= l 21cos(n y, y)= l 22cos(n y, z)= l 23zcos(n z, x)= l 31cos(n z, y)= l 32cos(n z, z)= l 33将分别向新坐标系的x /，y /，z /方向投影，得到新坐标系中的应力分量n x/ T x/图2-11需要修改 (2-9a) 写成矢量形式，有 (2-10a)将(2-8a)代入(2-10a)得到 (2-11a)对于y / 面和z /面，按照类似的过程可以得到 (2-11b) (2-11c)合成(2-11)的三式可以得到 (2-12)(2-12)即是坐标变换时，应力分量的变换关系。利用张量，(2-12)可以记为 (2-20) (2-12)式，还可以简记为 (2-13)式中是坐标变换矩阵，(L)T=是它的转置。；利用第m行，(L)T的第n列和应力张量，可以得到新坐标系中第m行第n列的应力分量的坐标变换关系 (2-14)平面应力状态下，应力分量的坐标变换1、作为三维应力张量变换的特殊情况在平面应力条件下，平面与z轴平行，。因此，应力分量变换关系(2-12)变为上式可简记为 (2-15)x，y和x，y之间的关系如下表2-2所示表2-2xyx /y / 将上表代入(2-15)式可得 (2-16)2、利用斜面应力公式直接推导图2-12对于图12的情况，dSx=dScosq，dSy=dSsinq 。微元体力的平衡要求 (2-17a) (2-17b)将、向x / 方向投影可以得到将(2-17)代入上式可得 (2-16a)将、向y / 方向投影可以得到将(2-17)代入上式可得 (2-16c)图2-13对于图13的情况，dSx=dS，dSy=dS。微元体力的平衡要求 (2-18a) (2-18b)将、向y / 方向投影可以得到将(2-18)代入上式可得 (2-16b)将、向x / 方向投影可以得到将(2-18)代入上式可得 (2-16c)第五节 主应力、主平面和主方向一般情况下，应力矢量并不垂直于它的作用面，因此在该作用面的法线方向和该平面内都有分量。如果过P点的某一投影面上应力矢量垂直该平面，因此它在该平面内的分量，即剪应力为零，则这样的平面称为主平面，该平面的外法线方向称为主方向，主平面上的应力矢量称为主应力。图2-14 主应力和主方向的确定利用斜面应力公式求主应力和主方向。若斜截面ABC是主平面，则该平面上的应力矢量与平面的外法线n平行，从图14容易看出，此时 (2-19)l、m、n是法线n与x、y、z轴夹角的方向余弦。Px、Py、Pz还可以由斜面应力公式(2-4)求出。因此有移项得到关于方向余弦l、m、n的齐次线性方程 (2-25)由于，因此l、m、n不全为零。按线性代数，仅当系数行列式 (2-27)时，l、m、n才有非平凡解。由上式可以得到关于主应力的三次方程 (2-28)式中 (2-29a) (2-29b) (2-29c)可以证明，I1、I2、I3是应力张量的第一、第二、第三不变量。不变量的含义是：坐标变换时，它们的值不变。由方程(2-28)可求出的三个根，对应着三个主应力。将其中的一个主应力代入方程，可以求出它对应的主方向(li，mi，ni) (2-19)在前三个方程中，任取两个，比如第一和第二个方程，与第四个方程联立，可求li，mi，ni。方法如下：若，在第二个方程两边用除，得到 (2-20)(2-20)是关于和的齐次线性方程，从(2-20)可以解出和。将它们代入第三式得到： (2-21a) (2-21b)主应力具有以下四个重要性质：一、 不变性从数学上看，由于特征方程(2-28)的三个系数是不变量，因此作为特征根的主应力在坐标变换时，其值不变，即主应力是不变量。从物理上看，主应力是物体受力时内部应力状态的客观性质，与人为选择的坐标系无关。二、实数性 按照线性代数，主应力是特征根，与每个主应力对应的主方向是特征向量。由于应力张量是对称矩阵(*应力张量的对称性后面再证明，此处先将它作为一个假设接受下来)，其中的每一个元素都是实数。线性代数告诉我们，实对称矩阵的特征根是实数，因此主应力是实数。但下面我们从纯分析的角度进行证明。假如1、2是方程(2-28)的一对共轭的虚根，则有 (a) (b)将l2、m2、n2分别乘以方程(a)的第一、第二和第三个方程 (c)将l1、m1、n1分别乘以方程(b)的第一、第二和第三个方程 (d)将方程(c)的三式相加，得到 (e)将方程式(d)的三式相加得到 (f)将(e)和(f)相减得 (g)假设主应力的一对共轭虚根1，2为相应的特征向量也是共轭的，可以假设为将这组解代入(g)式，可以得到由于l1，m1，n1以及l2，m2，n2有非零解，这要求a1、a2、a3、b1、b2、b3不全为零，因此这表明只有当时，才能满足(g)式，因此即只有当B0时(g)式才能满足，即1和2是实数时(g)式才能满足。这样我们从假设1、2是主应力的一对共轭虚根出发，导出1和2只能是实根的结果，这就证明了主应力全为实数。三、正交性假设主应力为1、2、3，对应主方向分别为l1、m1、n1；l2、m2、n2；l3、m3、n3。则由(g)式若，则有这表明三个主方向相互垂直。若，则有这表明3垂直于1和2张成的平面，而1与2可以垂直，也可以不垂直。若，则1、2、3可以相互垂直，也可以不垂直。四、极值性极值性在下节讨论第六节 最大法向应力和最大剪应力从前面的讨论已知过点P的不同平面上，法向应力和剪应力是不同的，这与面的方向有关。现在求过点P的平面，在该面上法向应力最大或剪应力的最大。为讨论方便起见，设该点的三个主应力各不相同，并以主应力方向为坐标方向，因此有下图所示的四面体最大法向应力按斜面应力公式(l, m, n)是斜面的外法线n与x1轴（1方向）、x2（2方向）、x3轴（3方向）夹角的方向余弦。因此斜面ABC上的应力矢量为 (2-22)也可以采用另一种方式导出上式。四面体的平衡要求图2-15注意到，上式可写成将斜面上的应力矢量向方向的投影得到法向应力n，因此有因此得到(2-22)式，由于 (2-23)因此。这样(2-22)式可写为显然当 (2-24)时n取到极限值。由于已假设，因此只有m=n=0时(2-24)式才满足，将m=n=0代入(2-23)得到。将，m=n=0代入(2-22)得到，这表明是法向应力的一个极值。这还表明是法向应力取极值的方向。按前面的规定，在，m=n=0面上，只有法向应力1，因此1是n的一个极值。用同样的方法还可以推出2、3也是n的极值。一般规定123。因此1、2、3是法向应力的极值，这就证明了主应力的极值性。最大剪应力在主应力空间的一个作用面ABC上，应力矢量的大小的平方为 (2-25)法向应力的大小的平方为 (2-26)因此剪应力的大小的平方为 (2-27)利用消去n，并代入上式可以得到剪应力取极值的条件是 (2-28)这样可以得到 (2-29)由于和l，m，n不全为零，因此等价于上式可写为 (2-30a)同理，导出 (2-30b)整理上两式，可以得到由于，因此上式等价于若，则上面的两个方程矛盾，因此l和m中必有一个为零。若令m0，则有从上式可以导出，还可以导出。同理，若令l0，可导出如果消去l，按同样的方法可以得到在n0的情况下，有综合以上的讨论，在以下三种情况下剪应力取极值表2-3IIIIIIl0m0n0当然l0，m0，也可能是的解。但在这种情况下，n1，前面已经求出，（0，0，1）是主方向，其对应的平面是主平面。在该面上，而。因此（0，0，1）不是剪应力取极值的作用面。类似地，(0，1，0)和(1，0，0)也不可能是剪应力取极值的作用面。因此剪应力取极值的作用面只有表2-3所示的三种。将这三种情况代入(2-27)式，可以求出即 (2-31a)同理可得 (2-31b、c)由于，最大剪应力为 (2-32)从(2-32)和(2-27)可以看出，此时作用面的方向余弦为因此该平面平行于x2(2)轴，与x1(1)和x3(3)轴的夹角为图2-16由(2-26)式，该面上的正应力为 (2-33)如果，则按(2-31)或(2-27)，这表明对于各向同性材料，在静水压力作用下内部无剪应力。第七节 平面应力状态下的最大主应力与最大剪应力由平面应力条件下的应力分量坐标变换公式(2-16)知道，此时 (2-16a) (2-16c)最大主应力按主应力的定义，此时作用面上的剪应力为零，因此从(2-16c)式可知，此时 (2-34)图2-17由于因此n方向及之正交的方向是两个主方向，两个主方向与ox轴分别呈及的角度 (2-35)引入辅助三角形图2-18可以得到， (2-36)将(2-36)代入(2-16a)式，可以得到，最大主应力为 (2-32)剪应力的极值剪应力的极值可由以下条件求出因此从(2-16a)式得到，满足 (2-38)(2-38)式的面是剪应力取极值的作用面，同理和同时满足上式。因此，和是剪应力取极值的平面 (2-39)作辅助三角形图2-19容易得到， (2-40)将(2-40)代入(2-16c)式可得 (2-41)若，则是两个主应力，此时剪应力的极值为 (2-42)按三角学和(2-38)可得 (2-43)比较(2-35)和上式可以得到 (2-44)因此，剪应力极值的作用面与主应力极值的作用面成45角。与前面三维情况下的讨论结果一致。第八节 八面体上的应力下面讨论一类特殊的作用面。其法线n与主应力夹角相等的作用面。这样的面一共有八个，由这八个面围成的微元体称为八面体。由于和，因此八面体的倾角为 (2-44)图2-20 八面体八面体上的正应力在八面体的任一表面上，因此正应力为 (2-45a)八面体上的剪应力八面体上的应力矢量的大小为因此八面体上剪应力的大小为 (2-46a)如果是非主应力空间，八面体上剪应力的大小为 (2-46b)第九节 应力张量和应力偏张量定义平均应力为 (2-47)则应力张量可作如下分解上式右端第一个矩阵为应力偏张量，记为 (2-48a)式中 (2-48b)的作用面上，应力偏张量为 (2-49)按照与主应力类似的定义和求主应力的方法，偏应力的主量可由下式决定 (2-50)式中 (2-51a) (2-51b) (2-51c)J1、J2、J3都是不变量。不变量J2的各种表示塑性是材料的应力状态满足一定条件时发生的现象，因此塑性屈服准则可表示为由于已知应力张量，可以求出主应力。因此，一般将塑性屈服准则写成在塑性力学中，应力偏量的第二不变量用的特别多，基于如下两个原因1、通常情况下，体积变形是弹性的，形状改变才可能有塑性屈服，应力偏量的第一不变量是体积应力，对均匀各向同性材料，体积应力不引起形状改变；2、材料的屈服条件，是材料自身特性，与所选择的坐标系无关。因此，可用应力不变量表示，而J2是应力不变量。由J2的定义(2-51b)可得：从偏应力第一不变量的定义(2-51a)可以得到从上式可以得出 (2-52)代入J2的表达式，得到 (2-53)如果在主应力空间，则 (2-54)又因此 (2-55a)注意到则 (2-55b)在主应力空间 (2-55c)除了八面体上的剪应力与正应力外，塑性力学中有关的量还有1、有效应力 (2-56a)在简单拉伸中时，还原为 (2-56b)这就是将称为有效应力的原因。2、有效剪应力T(又称有效剪应力强度) (2-57a)在纯剪时还原为 (2-57b)这就是将T称为有效剪应力的原因。3、与的关系因此， (2-58)利用这个关系可以导出非主应力空间中的表达式(2-46b)。4、与剪应力极值的关系 (2-59)5、，等价于纯剪应力状态图2- 21证明如下：按照应力变换的公式(+)式，在与x1、x3轴夹角为的平面上，法向应力和剪应力分别为6、偏应力张量代表纯剪应力状态证明如下：由于，因此。将偏应力张量做如下以分解按照上面的讨论，上面的5个应力状态每一个都代表纯剪应力状态。证毕！第十节 应力张量的几何表示应力椭球 设在主应力空间中有一斜截面，其法线n的方向余弦为(l, m, n)，在斜截面上的应力矢量为Gn ，它的平行于x1、x2、x3轴的分量为 (2-60)因此 (2-61)由于，从上式可以导出 (2-37)上式是以P1、P2、P3为坐标轴的空间内的椭球面，称为应力椭球，它的三个半主轴长分别为。其几何含义是，如果过O点的任一斜截面上的应力，用应力矢量P表示，则从O点出发，到椭球面上(2-37)上的矢端曲线P，其长度就是应力矢量P的大小，其方向余弦就是该应力矢量的方向的描述。如果，则(2-37)式变为 (2-62)这是以为半径，以O点为圆心的球面方程，如图2-23所示。图22(a)(b)图2-22(a) (b)图2-23 表示应力球张量，便由此得名。应力莫尔圆将过P点的任意斜截面上的正应力和剪应力用平面上的应力点表示，称为莫尔圆。现在讨论斜截面方向变化时，点的应力分量变化的规律的几何表示。二维应力莫尔圆在平面坐标系中，如中，任意斜截面上的正应力和剪应力由下式确定将改写以上二式为 (2-63a) (2-63b)图2-24 应力莫尔圆BA图2-25将(2-63)的两个方程相加可得 (2-64)上式是平面上，以为圆心，半径为的圆。由斜截面方向变化时，相应的应力点的移动的轨迹形成。在平面上与成角的射线AB与应力莫尔圆的交点(通常被称为应力点)，其坐标(，)就是平面中与成角的斜截面AB上的正应力和剪应力(图2-25)。在平面主坐标系，中可类似地作出相应的应力莫尔圆，二维应力莫尔圆在岩石力学中有重要的应用。三维应力莫尔圆选用主坐标系，以P点为中心，作单位球面，对于过P点的任意截面都可以在球面上找到一个与它平行的面元。图2-26正截面：截面法线与坐标轴平行的面，如上图中的面元A、B、C。主斜截面：与坐标轴平行的面元，如上图中的面元D垂直于平行于x3轴，E垂直于x2轴，F垂直于x1轴。任意斜截面：截面法线既不与坐标轴平行，也不与坐标轴垂直。如上图中的面元H。正截面A、B、C是主平面，其上只有主应力，没有剪应力，在图上，应力点在轴上。并且已详细讨论过，此处不再讨论。主斜截面，如上图中，面元B经水平大圆转一个角度，成为面元D的情况。这类截面的特点是外法线与x3轴垂直，即有n=0，l2+m2=1，截面上的法向应力和总应力为；剪应力为 (2-65)由(2-65)可以看出，截面上的和仅与和有关。其应力点的轨迹在上面讨论过的二维应力莫尔圆上，其方程为 (2-66a)因为与无关，按上式画出的圆称为O3圆。对于主斜截面E和F，其对应的二维应力莫尔圆为 (2-66b) (2-66c)分别称为O2圆和O1圆，这三个二维应力莫尔圆如下图所示图2-27如上面讨论过的，在这三个平面坐标系中，应力点的轨迹分别画出了三个应力莫尔圆。最后讨论任意斜截面H，与x3轴夹角为的主斜截面F，绕x3轴转动，沿平行圆一直转动到主斜截面G。在这样转动过程中形成的斜截面与x3轴的夹角不变。斜截面H是这组截面中具有代表性的斜截面。对这组斜截面，应考虑主应力对和的影响。在主应力空间中 (+) (+)将(+)和(+)代入(2-66a)可以得到即整理上式即有 (2-67a)式中。由于，因此，比较(2-66a)和(2-67a)可以看出，(2-67a)描述了一个与O3圆同心且半径大于O3圆。同理可以证明，当主斜截面绕x1轴和x3轴旋转时，斜截面上应力点的轨迹分别画出 (2-67b) (2-67c)容易看出，(2-67c)是与O1同心的圆，且，即应力轨迹点在O1圆的外面。(2-67b)是与O2同心的圆，且，即应力轨迹点在O2圆的内侧。综合上面的讨论可以得到，与任意斜截面对应的应力轨迹点全部落在以三个主斜截面莫尔圆为边界的阴影区内。利用莫尔应力圆，可以用图解法来求任意斜截面上的和。对于外法线与三个主轴夹角为的斜截面H，可以先通过圆心角在O1圆和O3圆上找到相应主斜截面上的点F和D。然后以O1为圆心，为半径，作圆弧。以O3为圆心，为半径，作圆弧，两圆弧的交点就是H，坐标就是任意斜截面H上的法向应力和剪应力。第十一节 平衡微分方程以上集中讨论了具有确定坐标值的一点的应力状态的各个方面，现在研究一点的应力状态随坐标变化的规律，或者说研究以点P为邻域的一个空间微小体积。笛卡儿坐标系中的平衡微分方程选取笛卡儿坐标系作为参考坐标，在任意点P的邻域内取一个外表面是坐标面，边长为dx、dy、dz的微元体。体力f作用在微元体的中心，在负面上的应力分量为，作用在面元的形心，在与负面有一段距离的正面上。应力分量也有相应的额增量，。按Taylor级数展开，并略去高阶小量后，可以将正面处的应力，用相应的负面上的应力表示。如对一对x面，负x面上的应力分量为利用Taylor级数展开，可以用