高中数学 第二章 推理与证明 3 数学归纳法 （2）课件 新人教B版选修22.ppt

2 3数学归纳法 2 内容 应用 1 用数学归纳法证明等式与不等式 2 用数学归纳法证明整除性与几何问题 数学归纳法 重点 用数学归纳法证明一些简单的数学问题 难点 数学归纳法证明不等式时第二步的放缩 1 掌握数学归纳法证题的两个步骤 2 初步会用 数学归纳法 证明简单的与自然数有关的命题 如恒等式 不等式及整除问题等 3 用数学归纳法归纳 猜想 证明 本课主要学习数学归纳法 以两个小问题引入新课 对数学归纳法的步骤分析准确 详细 精心选择三道例题 分别是用数学归纳法证明等式与不等式 用数学归纳法证明整除性与几何问题 归纳 猜想 证明在实际问题中的应用 题目新颖 难度由浅入深 与数列 解析几何 导数 方程等知识融合交汇 体现证明等式 不等式等高考常考内容 计算量不大 答案详细 分析准确 在讲述数学归纳法的应用时 采用例题与变式结合的方法 通过例1和变式1巩固掌握用数学归纳法证明等式与不等式 通过例2和变式2掌握用数学归纳法证明整除性与几何问题 通过例3用数学归纳法归纳 猜想 证明 采用一讲一练针对性讲解的方式 重点理解数学归纳法的应用 问题1 请回顾数学归纳法的步骤 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 2 使用数学归纳法证明不等式的难点在第二个步骤上 这时除了一定要用到归纳假设外 还要较多的运用不等式证明的方法 对所要证明的不等式加以变形 寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口 注意 在用数学归纳法证题时注意以下三句话 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 用数学归纳法证明等式与不等式 典例1 1 已知n为正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设n k k 2 且为偶数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证n 时等式成立 a k 1b k 2c 2k 2d 2 k 2 2 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 求r的值 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n n 证明 对任意的n n 不等式成立 规范解答 1 选b 因为n k为偶数 所以下一个与之相邻的偶数为n k 2 2 由题意 sn bn r 当n 2时 sn 1 bn 1 r 所以an sn sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 所以 由 及b 2知an 2n 1 因此bn 2n n n 所证不等式为 当n 1时 左式 左式 右式 所以结论成立 假设n k k 1 k n 时结论成立 即则当n k 1时 要证当n k 1时结论成立 只需证即证 由基本不等式得成立 故成立 所以 当n k 1时 结论成立 由 可知 n n 时 不等式成立 规律方法 运用数学归纳法证明问题时应注意的四个问题 1 由假设n k成立证n k 1时 要推导详实 并且一定要运用n k成立的结论 2 要注意n k到n k 1时增加的项数 3 n n0时成立 要弄清楚命题的含义 4 对于不等式在证明由n k变化到n k 1时 除了应用综合法外还可用分析法 反证法 求差 求商比较法及放缩法等加以证明 若本例 1 中将n改为正奇数 若已知n 2k 1 k n 时命题为真 则下一步证明 n 时等式成立 解析 由题意可知n为正奇数 取n 2k 1的下一个奇数为n 2k 1 答案 2k 1 用数学归纳法证明整除性与几何问题 典例2 1 用数学归纳法证明34n 1 52n 1 n n 能被8整除时 当n k 1时 对于34 k 1 1 52 k 1 1可变形为 a 56 34k 1 25 34k 1 52k 1 b 34 34k 1 52 52kc 34k 1 52k 1d 25 34k 1 52k 1 2 用数学归纳法证明 凸n边形的对角线的条数为f n n n 3 n n n 3 规范解答 1 选a n k 1时 34 k 1 1 52 k 1 1 25 34k 1 52k 1 56 34k 1 由n k时 能被8整除 即 34k 1 52k 1 能被8整除 而56 34k 1也能被8整除 故n k 1时成立 2 因为三角形没有对角线 所以n 3时 f 3 0 命题成立 假设n k k 3 时 命题成立 即f k k k 3 则当n k 1时 凸k边形由原来的k个顶点变为k 1个顶点 对角线条数增加k 1条 所以f k 1 f k k 1 k k 3 k 1 k 1 k 1 3 所以当n k 1时命题成立 由 可知对任何n n且n 3 命题恒成立 易错警示 关于几何问题的变化情况本例 2 中由n k变换到n k 1时 对角线条数不会求 或根本看不清其变化情况导致错解 规律方法 证明整除性与几何问题的关键 1 证明整除问题的关键 凑项 证明整除问题的关键是 凑项 即采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 将n k 1时的式子凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 2 证明几何问题的关键 找项 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 事实上 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 典例3 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 点拨 对这种类型的题目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系数 然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 归纳 猜想 证明 2 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 已知函数f x rx xr 1 r x 0 其中r为有理数 且0 r 1 求f x 的最小值 试用 的结果证明如下命题 设a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数 若b1 b2 1 则 a1b1 a2b2 请将 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 x x 1 解答 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 当01时 f x 0 所以f x 在 1 内是增函数 故函数f x 在x 1处取得最小值f 1 0 由 知 当x 0 时 有f x f 1 0 即xr rx 1 r 若a1 a2中至少有一个为0 则 a1b1 a2b2成立 若a1 a2均不为0 又b1 b2 1 可得b2 1 b1 于是在 i 中令x r b1 可得 b1 1 b1 即 a1b1 a2 1 b1 亦即 a1b1 a2b2 综上 对a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数且b1 b2 1 总有 a1b1 a2b2 中命题的推广形式为 设a1 a2 an为非负实数 b1 b2 bn为正有理数 若b1 b2 bn 1 则 a1b1 a2b2 anbn 用数学归纳法证明如下 1 当n 1时 b1 1 有a1 a1 成立 2 假设当n k k 1 且k n 时 成立 即若a1 a2 ak为非负实数 b1 b2 bk为正有理数 且b1 b2 bk 1 则 a1b1 a2b2 akbk 当n k 1时 已知a1 a2 ak ak 1为非负实数 b1 b2 bk bk 1为正有理数 且b1 b2 bk bk 1 1 此时00 于是因由归纳假设可得 从而又因 1 bk 1 bk 1 1 由 得从而 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故当n k 1时 成立 由 1 2 可知 对一切正整数n 所推广的命题成立 正确运用数学归纳法用数学归纳法证明的关键在于两个步骤 要做到 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 因此必须注意以下三点 1 验证是基础 数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 这个n0就是要证明的命题对象的最小自然数 这个自然数并不一定都是 1 因此 找准起点 奠基要稳 是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题 2 递推乃关键 数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程 必须把归纳假设 n k 作为条件来导出 n k 1 时的命题 在推导过程中 要把归纳假设用上一次或几次 3 寻找递推关系的方法 在第一步验证时