【步步高】（江苏专用）高考数学二轮专题突破 专题六 第1讲 概率 文(1).doc

第1讲概率【高考考情解读】1.古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点，填空题主要以考查几何概型、古典概型为主，试题难度较小.2.解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质，如互斥事件的概率加法公式、对立事件的减法公式等综合考查，试题难度不大1 概率的五个基本性质(1)随机事件a的概率：0p(a)1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.(4)如果事件a与事件b互斥，则p(ab)p(a)p(b)(5)如果事件a与事件b互为对立事件，那么p(ab)p(a)p(b)1，即p(a)1p(b)2 两种常见的概型(1)古典概型特点：有限性，等可能性概率公式：p(a).(2)几何概型特点：无限性，等可能性概率公式：p(a).考点一古典概型例1(2013山东)某小组共有a，b，c，d，e五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：abcde身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率解(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共6个设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件m，其包括的事件有3个，故p(m).(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10个设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)”为事件n，且事件n包括事件有：(c，d)，(c，e)，(d，e)共3个则p(n). 古典概型中基本事件数的计算方法(1)列举法：此法适合于较简单的试验；(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求；(3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便 盒中有6个小球，其中3个白球，记为a1，a2，a3,2个红球，记为b1，b2,1个黑球，记为c1，除了颜色和编号外，球没有任何区别(1)求从盒中取一球是红球的概率；(2)从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率解(1)所有基本事件为：a1，a2，a3，b1，b2，c1共计6种记“从盒中取一球是红球”为事件a，事件a包含的基本事件为：b1，b2，p(a).从盒中取一球是红球的概率为.(2)记“两次取球得分之和为5分”为事件b，总事件包含的基本事件为：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，a3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，c1)，(c1，a1)，(c1，a2)，(c1，a3)，(c1，b1)，(c1，b2)，(c1，c1)，共计36种而事件b包含的基本事件为：(b1，c1)，(b2，c1)，(c1，b1)，(c1，b2)，共计4种p(b).“两次取球得分之和为5分”的概率为.考点二几何概型例2(2013四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是_答案解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为p(|xy|2). 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 (1)在区间0,2上任取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率是_(2)(2012湖北)如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_答案(1)(2)1解析(1)因为f(x)3x2a，由于a0，故f(x)0恒成立，故函数f(x)在1,1上单调递增，故函数f(x)在区间1,1上有且只有一个零点的充要条件是即设点(a，b)，则基本事件所在的区域是画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是.(2)方法一解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求解设分别以oa，ob为直径的两个半圆交于点c，oa的中点为d，如图，连结oc，dc.不妨令oaob2，则oddadc1.在以oa为直径的半圆中，空白部分面积s1111，所以整体图形中空白部分面积s22.又因为s扇形oab22，所以阴影部分面积为s32.所以p1.方法二连结ab，由s弓形acs弓形bcs弓形oc可求出空白部分面积设分别以oa，ob为直径的两个半圆交于点c，令oa2.由题意知cab且s弓形acs弓形bcs弓形oc，所以s空白soab222.又因为s扇形oab22，所以s阴影2.所以p1.考点三互斥事件与对立事件例3某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为，通晓中文和日语的概率为.若通晓中文和韩语的人数不超过3人(1)求这组志愿者的人数；(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率解(1)设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，zn*，则解得所以这组志愿者的人数为53210.(2)设通晓中文和英语的人为a1，a2，a3，a4，a5，甲为a1，通晓中文和韩语的人为b1，b2，乙为b1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，共10种，同时选中甲、乙的只有(a1，b1)1种所以甲和乙不全被选中的概率为1. 求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率 (2013江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为：以o为起点，再从a1、a2、a3、a4、a5、a6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为x.若x0就去打球，若x0就去唱歌，若x0，即ab.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件a“方程x2有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)由几何概型公式可得p(a).二、解答题11某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率解从图中可以看出，3个球队共有20名队员(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件a.所以p(a).故随机抽取一名队员，只属于一支球队的概率为.(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件b.则p(b)1p()1.故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为.12在一次“知识竞赛”活动中，有a1，a2，b，c四道题，其中a1，a2为难度相同的容易题，b为中档题，c为较难题现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率解由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(a2，c)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，(b，c)，(c，a1)，(c，a2)，(c，b)，(c，c)(1)用m表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则m包含的基本事件有：(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(b，b)，(c，c)，共6个，所以p(m).(2)用n表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则n包含的基本事件有：(b，a1)，(b，a2)，(c，a1)，(c，a2)，(c，b)，共5个，所以p(n).13现有8名数理化成绩优秀者，其中a1，a2，a3数学成绩优秀，b1，b2，b3物理成绩优秀，c1，c2化学成绩优秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛(1)求c1被选中的概率；(2)求a1和b1不全被选中的概率解(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为(a1，b1，c1)，(a1，b1，c2)，(a1，b2，c1)，(a1，b2，c2)，(a1，b3，c1)，(a1，b3，c2)，(a2，b1，c1)，(a2，b1，c2)，(a2，b2，c1)，(a2，b2，c2)，(a2，b3，c1)，(a2，b3，c2)，(a3，b1，c1)，(a3，b1，c2)，(a3，b2，c1)，(a3，b2，c2)，(a3，b3，c1)，(a3，b3，c2)由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等因此这些基本事件的发生是等可能的用m表示“c1恰被选中”这一事件，则m(