二元一次方程和一次函数.doc

1 二元一次方程和一次函数 一 教学案例与反思 一 教材分析 本节内容学习是在前面学过的一次函数和二元一次方程组 的基础上进行的 它不仅是前面两块内容教学的整合 提出 二元一次方程组的图象解法 而且是发展学生数 形结合能力 的最佳切入点 学好这部分内容 有利于培养学生的创新意识 和创新能力 这正是新教材编写的长处和用意所在 当然 培 养学生的数 形结合能力和创新能力并非一朝一夕之事 它必 须渗透于整个数学教学的全过程 必须从点滴做起 从现在做 起 二 学情分析 这节课是本节内容教学的第一课时 承担着承前启后的作 用 因此 开好局十分重要 教学设计与要求 应根据学生现 有的知识基础和能力发展的水平 采取灵活多样的教学方式 不求一步到位 即在不降低基本要求的前提下 尽量满足不同 层次学生的需求 实现课堂教学效益的最大化 根据自己的教 学经验 学生接受这部分知识的障碍主要表现在如下两个方面 一是 把函数的图象看作现实生活中的路线图 二是 学生理 解和描述二元一次方程与一次函数之间的关系比较困难 解决 前者问题 可通过画现实生活中的路线图与其函数图象进行数 量对应分析 培养学生数 形结合意识 解决后者问题 需要 2 老师进行必要的引导和语言铺垫 注 本教案为基础较好的班级学生设计的 要求较高 三 教学目标 1 使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 2 在学生思考和操作中 理解把握二元一次方程的 图象解法 培养学生数 形结合意识和能力 四 教学重点 二元一次方程和一次函数关系及二元一次方程的图象 解法 五 教学难点 方程与函数之间的对应关系 六 教学过程 一 回顾与思考 师 我们先共同回忆一下前面学过的内容 投 影 回忆 回忆 x y 5 是什么方程 它的解有多少个 你能 说出它的几个解来吗 生 它是一个二元一次方程 它的解有无数个 譬如 生口述 师板书 师 大家说 他说得好不好 对于一个二元一次方程来说 它的解的确有无数个 投 影 联想 如果将方程 x y 5 变形为 y 5 x 同学们联想到 前面学过的什么知识 师板书 一次函数表达方式为 y kx b 其中 k b 均为常数 且 k 0 投 影 操作 请画出一次函数y 5 x 的图象 你是怎样画的 3 与同伴交流 二 探究二元一次方程和一次函数图象之间关系 投 影 思考 1 为什么你不按照 列表 描点 连线 的一般步 骤进行画图呢 能说说理吗 生 当我描出许多点后 发现这些点都在一条直线上 于是 我先描出两个点 再经过这两个点画一条直线 师 这位同学的发现 是不是揭示这样一个事实 满足关系 式 y 5 x 的 x y 所有对应点 x y 在同一条直线上 这是真的吗 不妨 我们在电脑上来做一做 电脑演示 师 事实是这样 现在我们思考与之相反的问题 投 影 思考 2 满足关系式 y 5 x 的 x y 所有对应的点 x y 都在直线上 反之 是不是这条直线上的所有点的坐 标都满足这个关系式呢 请举例验证 师 再如 电脑演示 在直线上任取两点 A B 它们所对应 的点的坐标分别为将这两组值 代入直线方程 3 8 2 1 7 2 1 2 y 1234 5 6780 x 9 1 2 5 3 6 7 1 8 1 3 2 2 3 4 0 5 2 3 1 4 3 2 5 0 4 1 A y 5 x B 4 2 5 3 x y O 1 1 1 2 4 1 34 5 y 2x 1 y 5 x P 2 3 能使方程成立 由此我们得到如下结论 投 影 结论 结论 二元一次方程和一次函数的图象有如下关系 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象 上 反之 一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元 一次方程 一次函数代数表达式与它的图象是一一对应的 师 大家齐声朗读结论二遍 三 探索二元一次方程组的图象解法 应用结论 师 现在我们利用这一关系 探索下面问题 投 影 做做 说说 在同一直角坐标系内分别作出一次函数 y 5 x 和 y 2x 1 的图象 这两个图象有交点吗 交点坐 标与方程组的解有什么关系 说说理由 5 12 yx yx 师 同位同学分工合作 一个同学画图象 另一个同学解方 程组 并进行小组交流讨论 投 影 方程组为 5 12 yx yx 2 3 x y 生 由二元一次方程和一次函数图象的关系 可知 P 2 3 在一次函数 Y 5 X 的图象上 所以 是二 2 3 x y 5 元一次方程 Y 5 X 的一个解 同时 P 2 3 也是一次函 数 Y 2X 1 的图象上的点 所以也是二元一次方程 2 3 x y 2X Y 1 的一个解 由二元一次方程组解的定义 可知 是的解 2 3 x y 5 12 yx yx 师 事实上 直线上任意一点的坐标都是相应的二元一次方 程的解 现在 我们来思考下面两个问题 投 影 思考 3 1 两条直线在什么条件下组成相应的方程组 无解 2 一个二元一次方程组对应一个解 反之 一个解只能 对应一个二元一次方程组吗 为什么 师 先独立思考 再进行小组讨论 生 甲 两条直线在平行的条件下 组成相对应的方程组无解 生 乙 如果两条直线方程一次项系数相等 那么它们所组成的方 程组无解 生 丙 我列举了两个不同的方程组和它们的 02 73 yx yx 13 32 yx yx 解却相同 生 丁 老师 我的理由很简单 一次函数代数表达式与它的图 象是一一对应的 两条直线交点坐标就是它们所对应的方 程组的解 而经过一点的直线确有无数条 不同的两条直 线组成了相应的不同的方程组 因此 一个解对应的方程 组不唯一 师 同学们回答得很好 我尤其欣赏丁同学发言 他从数 形结合的角度看问题 难能可贵 6 师 根据上面尝试和讨论 我们得到了解二元一次方程组新 的方法 图象法 投 影 解二元一次方程组新的方法 图象法 师 下面我们来完成一道例题 投 影 例题 用作图象的方法解方程组 22 22 yx yx 师 用图象法解二元一次方程组 应该分几个步骤进行 生 第一步 把两个二元一次方程化成两个相应的一次函数一 般表达式 第二步 在同一坐标系中 作出两个相应的一次函数的图象 第三步 根据图象的交点坐标 写出方程组的解 学生口述 师 板书写解答过程 投 影 解 由可得 22 yx 1 2 1 xy 同理 由 可得 22 yx 22 xy 在同一直角坐标系内作出一次函数的图象 l1和 1 2 1 xy 的图象 l2 如图所示 观察图象 得 l1 l2的交 22 xy 点为 P 2 2 四 巩固练习 所以方程组的解是 22 22 yx yx 2 2 x y x y l2 l1 P 2 2 2 2 4 4 O 7 1 用作图象的方法解下列方程组 1 2 22 22 yx yx 42 1232 yx yx 2 下图中的两直线 l1 l2交点坐标可以看作方程组 的解 师 此题与第一道题相比 有什么不同 生 第一道题是从 数 到 形 而第二道题是由 形 到 数 师 根据前面所学 如果我们能求出这两条直线的函数表达 方式 那么它们所对应的方程组也就被确定了 根据图象 能求出它们的函数表达式吗 生 根据两条直线与两轴交点的坐标 以及它们之间交点的坐 标 便可求出这两条直线方程 解 略 3 如图 l 甲 l乙分别表示甲走路与乙骑自行车 在同一条路上 匀速行走的路程 S 与时间 T 的关系 观察图象并回答下列问题 3 x y 14 1 4 O l2 l1 8 1 乙出发时 与甲相距 千米 2 走了一段路程后 乙的自行车发生故障 停下来修理 修车的时 间为 时 3 乙从出发起 经过 时与甲相遇 4 甲行走的路程 s 千米 与时间 t 时 之间的函数关系式是 5 如果乙的自行车不出现故障 那么乙出发后经过 时与甲 相遇 相遇处离乙的出发点 千米 并在图中标出其 相遇点 提 问 第 小题 你是怎样看的 第 小题 为什么 师画线段图加以解释 第 小题 如何求 第 小题 不出故障 意味什么 它的图象应该是什么样 子 由图象直接得到的解是什么 此解精确吗 要想得到精 确的解 如何做 30 t 时 1 5 3 10 0 5O 7 5 l 甲 S 千米 l 乙 30 t 时 1 5 3 10 0 5O 7 5 l 甲 l 乙 9 x 0 12 1 3 2 3 1 2 3 4 5 6 1 y 3x 6 解 略 投 影 讨论 讨论 二元一次方程组图象解法与代数解法 哪一种方法 优越 在实际情境中如何选择的 生 代数解法得到的结果是准确的 图象解法得到的结果往 往是近似的 如果有现成的图象且精确度要求不高 那么 我们就采用图象解法 除题目要求用图象解法和前面的情 况之外 一般采用代数法 五 探究活动 师 下面我们进行探究活动 投 影 利用一次函数的图象除了能图解二元一次方程组外 能 图解一元一次方程吗 请以 3x 6 0 为例 进 行探索 解 这个方程的右端是零 把左端看成一次 函数 解方程就是寻求使方程左端也63 xy 等于零的 的的值 而的图象是一条直线 它与 轴交点x63 xyx 从图上可以看出为 2 0 也就是说 当时 当然2 x0 y 就是方程的根 2 x063 x 因此 解一元一次方程时 可以先作出一次0 bax 的图象 该直线与 X 轴交点的横坐标就是一元一次方baxy 程的解 六 小结收获 投影 本节课我们学习了什么 能谈一谈你的收获吗 10 七 课后书面作业 教材 208 页 随堂练习 习题 试一试 七 教学反思 这节课以 回顾 联想 为先导 以 操作 思考 为手段 以 数 形结合 为要求 以 引导探究 为主线 处处呈现出 师生互动 生生互动的景象 较好地体现了新的课程理念与要求 具体地说 一 从旧知引入 自然过渡 不落痕迹 教学一开始 首先提出学生所熟知的二元一次方程并讨论其 解的个数 为后面探究二元一次方程与一次函数之间的关系作了 必要的准备 接着对方程进行变形 巧设一个 联想 自然转换 到一次函数 并对一次函数图象画法的讨论 进入新课第一个环 节 探究二元一次方程与一次函数的关系 结构安排自然 紧凑 二 在操作中 提出问题 深化认识 一切知识来自于实践 只有实践 才能发现问题 提出问题 只有实践 才能把握知识 深化认识 为此 教者先让学生画出 一次函数的图象 在画图的过程中发现 以二元一次方程的解 为坐标的点都在相应的函数图象上 接着引导学生反思 一次 函数图象上的点坐标都适合相应的二元一次方程吗 通过举例 验证了自己的猜想 得出了结论 同样 在应用结论探索一元二 次方程组的图象解法时 也是在操作中来发现问题 这样 就给 11 了学生充分体验 自主探索知识的机会 使他们在自主探索 合 作交流中找到了快乐 深化了认识 三 以能力培养为核心 引导探究为主线 数 形结合为要 求 能力培养 特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点 能 力培养是以自主探究为平台 自主 不是一盘散沙 探究 不 是漫无边际 要提高探究的质量和效益必须在教师的引导下进行 为达到这一目的 教案中设计了 联想 反思 和三个 思考 目的是引导学生思维 合作也是带有指导性的 为进一步拓展学 生