浅谈解析几何教学中一题多变与探究性思维能力的培养.doc

浅谈解析几何教学中一题多变与探究性思维能力的培养东莞市 张智姬 【摘要】 数学探究是高中数学新课程的重要内容之一。解析几何的特点在于以代数的方法来研究几何图形的性质。它突出贯彻了数形结合的特征,将代数、几何、三角有机地结合在一起。本文结合平时的教学实践浅谈解析几何教学中如何利用一题多变培思维探究性思维能力的广阔性，批判性，深刻性和创造性。 【关键词】解析几何；探究性；思维；训练数学是人类思维的体操，思维能力是智力的核心.数学教学应围绕揭示思维过程，培养学生探究性思维能力为目的而展开.在数学教学中，恰当地对例习题进行演变、引申、拓展，无疑是激发学生学习兴趣，开拓思路，培养研究性思维能力的一种十分有效地方法.本文通过解析几何教学中的几个具体案例，就“一题多变”教学，谈谈对学生探究思维能力培养的问题.1 变形助兴，训练学生探究性思维的广阔性案例1 在某个圆中，设是直径，是与垂直的弦，求直线与的交点的轨迹方程.在一次习题课中，笔者首先引导学生一题多解，进而创设问题情境，将问题多次变形，使学生的思维总处于积极兴奋状态，激发了学生的学习兴趣，取得了良好的教学效果.探究1 若将原命题中的“圆”改为“椭圆”，、是椭圆长轴的两个端点，那么直线与的交点轨迹是什么？探究1犹如一石投入平静的思维湖面，激起了学生的思维浪花，学生人人动手，积极思索，用案例1中的求解方法推导出交点的轨迹是双曲线.探究2 若将原命题中的“圆”改为“双曲线”，、是双曲线的两个顶点，则直线与交点轨迹是什么？学生个个画图，人人尝试，思维兴奋，探究气氛热烈，很快推导出交点的轨迹是椭圆.探究3 若将原命题中的“圆”改为“抛物线”，其交点的轨迹又是什么呢？在教师的合理点拨下，大家通过探索推证得出：已知抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线准线与轴的交点，作抛物线垂直于轴的弦，则直线与的交点轨迹仍为抛物线这样的“变形”教学，促使学生思维上下贯通、前后迁移、纵横联系，多角度多线条地考虑问题，使探究性思维呈辐射状展开，培养了学生探究性思维的广阔性.2 变质设陷，训练学生探究性思维的批判性案例2 已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程.首先引导学生解答此题，得出切线方程为：.然后给出与切线方程形同质异的变式题，以强化学生的批判意识.变题1 已知是圆内异于圆心的一点，试判断直线与圆的位置关系.对于变题1，相当一部分学生受原题影响，一看到直线方程为“”的形式就估断直线与圆相切，有的学生一看到点是圆内一点，便以为直线过圆内一点，断定直线与圆相交.教师及时回收信息，巧妙点拨，让学生自己发现错误，寻找错因，学生终于在惊奇中醒悟，看清“陷阱”所在.教师因势利导，引导学生考虑圆心到直线的距离与半径的大小关系.圆心到直线的距离，因点在圆内，故，从而，即直线与圆相离.变题2 已知是圆外一点，试判断直线与圆的位置关系.变题3 已知是圆外一点，过作圆的切线，求经过两切点的直线方程.吃一堑，长一智.学生吸取变题1的教训，对变题2、变题3都能冷静思考，他们带着批判的意识，排除了习惯性臆想，大多数同学得出了正确判断：在变题2的条件下，直线与圆相交，此时，直线正是变题3欲求的直线方程.让学生从失败中吸取教训，自我评价解题思路和方法，错别正误，训练了学生探究性思维的批判性，反过来，更能激发学生大胆发现和探究.3 深入探究，训练学生探究性思维的深刻性案例3 在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.本题学生很容易求得正确答案，是就题论题到此为止，还是向纵向深发展呢？当然选择后者，提出问题：对任何椭圆，是否都能在其上找一点，使它与两个焦点的连线互相垂直呢？不难发现，当以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有公共点时，点是不存在的.当时，椭圆上才存在点，它与椭圆两焦点的连线互相垂直；而当时，点是不存在的当时，即，这实际上解决了一个值得我们探究的问题.探究题1 离心率在什么范围内取值时，椭圆上存在点，它与两焦点的连线互相垂直.通过上述引申研究，学生思维活跃起来，我因势引导学生抓住中有关量的关系进行一系列拓展，获得了一串探究题.探究题2 点是椭圆上的一点，、是椭圆的左、右焦点，且（或），求的面积.探究题3 点是椭圆上的一点，、是椭圆的左、右焦点，的面积为20，求证：.探究题4 已知点为椭圆上一点，且它与椭圆两个焦点的连线互相垂直，求椭圆的方程.探究题5 已知点为椭圆上一点，、为椭圆的左右焦点，的面积为20，求椭圆的方程.探究题6 设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上运动，使为钝角（或锐角），求点的横坐标的取值范围.以上探究题的求解与论证可布置学生课后完成，将自主探究延伸到课外.在引导学生探索这一连串问题时，学生思维由浅入深，由表及里，由特殊到一般，步步深入，促使学生不迷恋于表面现象，而是透表求里，自觉意识到从本质上看问题，从而培养了学生探究性思维的深刻性.4 添加条件，训练学生探究性思维的创造性.案例4 在求轨迹方程的复习课上，我选编了如下一道开放题：在中，、的对边长分别为、（其中为定值）.以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系（如图）,请你添加适当的条件，求出顶点的轨迹方程.A(,0)B(,0)C(, )O如何激发学生的探究兴趣？如何激发学会的探究欲望？开放性问题为上课提供了基础，动力和保证.这种问题，各种水平的学生都可以由浅入深地作出一些回答，因此能充分调动学生的学习积极性.大家联想课本上的有关例习题，积极思索，认真推敲，各有所得，所添条件丰富多彩，展示一部分如下：（1）添加条件： 等价条件：（2）添加条件： 等价条件：（3）添加条件：（4）添加条件：的周长为定值（5）添加条件：顶点和两定点、连线的斜率之积为定值还有学的扎实的同学联想新教材人教A版数学选修2-1P49第7题及P62第5题，给出了如下较为复杂的添加条件：（6）添加条件：点是以为圆心，为半径的圆上任意一点，的垂直平分线交直线于点（7）添加条件：点是以为圆心，为半径的圆上任意一点，的垂直平分线交直线于点“授人以鱼不如授人以渔”，教学中，将开放型问题作为一个切入口，促使学生