全国各地中考数学分类解析 专题37 三角形全等.doc

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题37：三角形全等一、选择题1. （2012海南省3分）图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形abcd）关于bd所在的直线对称，ac与bd相交于点o，且abad，则下列判断不正确的是【 】aabdcbd babcadc caobcob daodcod【答案】b。【考点】全等三角形的判定，轴对称的性质。【分析】根据轴对称的性质，知abdcbd，aobcob，aodcod。由于abad，从而abc和adc不全等。故选b。2. （2012四川巴中3分）如图，已知ad是abc的边bc上的高，下列能使abdacd的条件是【 】a. ab=ac b. bac=90 c. bd=ac d. b=45【答案】a。【考点】全等三角形的判定。【分析】添加ab=ac，符合判定定理hl。而添加bac=90，或bd=ac，或b=45，不能使abdacd。故选a。3. （2012贵州贵阳3分）如图，已知点a、d、c、f在同一条直线上，ab=de，bc=ef，要使abcdef，还需要添加一个条件是【 】abca=f bb=e cbcef da=edf【答案】b。【考点】全等三角形的判定。190187。【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断： a、由ab=de，bc=ef和bca=f构成ssa，不符合全等的条件，不能推出abcdef，故本选项错误；b、由ab=de，bc=ef和b=e构成sas，符合全等的条件，能推出abcdef，故本选项正确；c、bcef，f=bca。由ab=de，bc=ef和f=bca构成ssa，不符合全等的条件，不能推出abcdef，故本选项错误；d、由ab=de，bc=ef和a=edf构成ssa，不符合全等的条件，不能推出abcdef，故本选项错误。故选b。4. （2012山东泰安3分）如图，abcd，e，f分别为ac，bd的中点，若ab=5，cd=3，则ef的长是【 】a4b3c2d1【答案】d。【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】连接de并延长交ab于h，cdab，c=a，cde=ahe。e是ac中点，de=eh。dcehae（aas）。de=he，dc=ah。f是bd中点，ef是dhb的中位线。ef=bh。bh=abah=abdc=2。ef=1。故选d。5. （2012山东淄博4分）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【 】(a)两条边长分别为4，5，它们的夹角为(b)两个角是，它们的夹边为4(c)三条边长分别是4，5，5 (d)两条边长是5，一个角是【答案】d。【考点】全等三角形的判定，等腰三角形的性质。【分析】(a)由sas知两三角形全等：(b)由asa知两三角形全等：(c) 由sss知两三角形全等：(d) 当顶角为时，两三角形不一定全等。故选d。6.6. （2012广西柳州3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端m、n的距离，如果pqonmo，则只需测出其长度的线段是【 】apo bpq cmo dmq 【答案】b。【考点】全等三角形的应用。【分析】根据全等三角形对应边相等可知要想求得mn的长，只需求得其对应边pq的长。故选b。7. （2012广西玉林、防城港3分）如图，在菱形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，且acbd，则图中全等三角形有【 】a.4对 b. 6对. c.8对 d.10对【答案】c。【考点】菱形的性质，全等三角形的判定。【分析】根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案： 由四个直角坐标三角形可组成6对全等三角形：aboado、abocbo、abocdo、aodcob、aodcod、docboc； 两条对角分菱形可组成2对全等三角形：abdcbd，abcadc。共8对。故选c。二、填空题1. （2012山东临沂3分）在rtabc中，acb=90，bc=2cm，cdab，在ac上取一点e，使ec=bc，过点e作efac交cd的延长线于点f，若ef=5cm，则ae= cm【答案】3。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】acb=90，ecf+bcd=90。cdab，bcd+b=90。ecf=b，在abc和fec中，ecf=b，ec=bc，acb=fec=90，abcfec（asa）。ac=ef。ae=acce，bc=2cm，ef=5cm，ae=52=3cm。2. （2012山东潍坊3分）如图所示，ab=db，abd=cbe，请你添加一个适当的条件 ， 使abcdbe (只需添加一个即可)【答案】bde=bac（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定，开放型。【分析】根据abd=cbe可以证明得到abc=dbe，然后根据利用的证明方法，“asa”“sas”“aas”分别写出第三个条件即可：abd=cbe，abd+abe=cbe+abe，即abc=dbe。ab=db，用“asa”，需添加bde=bac；用“sas”，需添加be=bc；用“aas”，需添加acb=deb。3. （2012甘肃白银4分）如图所示，已知点a、d、b、f在一条直线上，ac=ef，ad=fb，要使abcfde，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个即可）【答案】a=f（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定。【分析】要判定abcfde，已知ac=fe，ad=bf，则ab=cf，具备了两组边对应相等，故添加夹角a=f，利用sas可证全等；或添加acef得夹角a=f，利用sas可证全等；或添加bc=de，利用sss可证全等。（答案不唯一）4. （2012青海省2分）如图，点d，e分别在线段ab，ac上，be，cd相交于点o，ae=ad，要使abeacd，需添加一个条件是 （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）【答案】adc=aeb（答案不唯一）。【考点】开放型，全等三角形的判定。【分析】a=a，ae=ad，添加：adc=aeb（asa），b=c（aas），ab=ac（sas），bdo=ceo（asa）可得abeacd。 故填：adc=aeb或b=c或ab=ac或bdo=ceo。5. （2012黑龙江牡丹江3分）如图点d、e在abc的边bc上，ab=ac，ad=ae请写出图中的全等三角形 (写出一对即可)【答案】abdace（答案不唯一）。【考点】开放型，等腰三角形的性质，全等三角形的判定。【分析】如图，过点a作ahbc于点h，则 ab=ac，ad=ae（已知），bh=ch，dh=eh（等腰三角形三线合一）。bhdh=ch-eh，即bd=ce。abdace（sss）。还可得abeacd（sss）。6. （2012黑河、黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，己知ac=bd，要使abcdcb，则只需添加一个适当的条件是 (填一个即可)【答案】ab=dc（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定。【分析】ac=bd，bc是公共边，要使abcdcb，需添加：ab=dc（sss）或acb=dbc（sas）。三、解答题2. （2012广东佛山6分）如图，已知ab=dc，db=ac（1）求证：abd=dca，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？【答案】证明：（1）连接ad，在bad和cda中， ab=cd （已知），db=ac（已知）， ad=ad（公共边），badcda（sss）。abd=dca（全等三角形对应角相等）。（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】（1）连接ad，证明三角形bad和三角形cad全等即可得到结论；（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。3. （2012广东广州9分）如图，点d在ab上，点e在ac上，ab=ac，b=c求证：be=cd【答案】证明：在abe和acd中，a=a，ab=ac，b=c abeacd（asa）。be=cd。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】由已知和a=a，根据asa证abeacd，根据全等三角形的性质即可求出答案。4. （2012浙江绍兴8分）如图，abcd，以点a为圆心，小于ac长为半径作圆弧，分别交ab，ac于e，f两点，再分别以e，f为圆心，大于ef长为半径作圆弧，两条圆弧交于点p，作射线ap，交cd于点m。（1）若acd=114，求mab的度数；（2）若cnam，垂足为n，求证：acnmcn。【答案】（1）解：abcd，acd+cab=180。又acd=114，cab=66。由作法知，am是acb的平分线，amb=cab=33。（2）证明：am平分cab，cam=mab，abcd，mab=cma。can=cmn。又cnam，anc=mnc。在acn和mcn中，anc=mnc，can=cmn，cn=cn，acnmcn（aas）。【考点】平行的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定。【分析】（1）由作法知，am是acb的平分线，由abcd，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得cab=66，从而求得mab的度数。（2）要证acnmcn，由已知，cnam即anc=mnc=90；又cn是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到abcd和am是acb的平分线，有can=mab =cmn。从而得证。5. （2012江苏常州5分）如图，在abc中，ab=ac，ad平分bac，求证：dbc=dcb。【答案】证明：ad平分bac，bad=cad。 又ab=ac，ad=ad，badcad（sas）。 bd=cd。dbc=dcb。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】由已知，根据sas可证badcad，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得bd=cd，根据等腰三角形等边对等角的性质可得dbc=dcb。6. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形abcd中，adbc，e是ab的中点，连接de并延长交cb的延长线于点f，点g在bc边上，且gdf=adf。（1）求证：adebfe；（2）连接eg，判断eg与df的位置关系，并说明理由。【答案】解：（1）证明：adbc，ade=bfe（两直线平行，内错角相等）。 e是ab的中点，ae=be。 又aed=bef，adebfe（aas）。 （2）eg与df的位置关系是egdf。理由如下： ade=bfe，gdf=adf，gdf=bfe（等量代换）。gd=gf（等角对等边）。 又adebfe，de=ef（全等三角形对应边相等）。egdf（等腰三角形三线合一）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知，应用aas即可证明adebfe。 （2）由ade=bfe，gdf=adf可得gdf=bfe，从而根据等角对等边得gd=gf；由（1）adebfe可得de=ef。根据等腰三角形三线合一的性质可得egdf。7. （2012广东河源6分）如图，已知abcd，bc，ac和bd交于点o，e是ad的中点，连接oe(1)求证：aoddoc；(2)求aeo的度数【答案】解：（1）证明：在aob和cod中，bc，aob=doc，ab=dc， aobcod（aas）。（2）aobcod，ao=do。e是ad的中点，oead。aeo=90。【考点】对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由已知可以利用aas来判定其全等；（2）根据全等三角形对应边相等的性质得ao=do，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得aeo=90。8. （2012福建厦门6分）已知：如图，点b、f、c、e在一条直线上，ad，acdf，且acdf.求证：abcdef.【答案】证明： acdf， acbdfe。又 ad，acdf， abcedf（asa）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定。【分析】利用asa证明两三角形全等即可。9. （2012福建福州7分）如图，点e、f在ac上，abcd，abcd，aecf求证：abfcde【答案】证明： abcd， ac。 aecf， aeefcfef，即 afce。又 abcd， abfcde（sas）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定。10. （2012湖北武汉6分）如图cecb，cdca，dcaecb，求证：deab【答案】证明：dca=ecb，dca+ace=bce+ace。dce=acb。在dce和acb中，dc=ac，dce=acb，ce=cb，dceacb（sas）。de=ab。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】求出dce=acb，根据sas证dceacb，根据全等三角形的性质即可推出答案。11. （2012湖北十堰6分）如图，在四边形abcd中，ab=ad，cb=cd求证：b=d【答案】证明：连接ac，在abc和adc中，ab=ad，cb=cd，ac=ac，abcadc（sss）。b=d。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】连接ac，由于ab=ad，cb=cd，ac=ac，由sss可证abcadc，于是b=d。12. （2012四川宜宾6分）如图，点abde在同一直线上，ad=eb，bcdf，c=f求证：ac=ef【答案】证明：ad=ebadbd=ebbd，即ab=ed。 又bcdf，cbd=fdb 。abc=edf 。又c=f，abcedf（aas）。ac=ef。【考点】平行的性质，补角的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据bcdf证得cbd=fdb，利用邻角的补角相等证得abc=edf，然后根据ad=eb得到ab=cd，利用aas证明两三角形全等即可。13. （2012辽宁铁岭12分）已知：在直角梯形abcd中，adbc,c=90,ab=ad=25，bc=32.连接bd，aebd，垂足为e.(1) 求证：abedbc;(2) 求线段ae的长.【答案】解：（1）证明：ab=ad=25，abd=adb。 adbc，adb=dbc。abd=dbc。aebd，aeb=c=90。abedbc。（2）ab=ad，又aebd，be=de。bd=2be。由abedbc，得。ab=ad=25，bc=32，解得be=20。【考点】直角梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）由等腰三角形的性质可知abd=adb，由adbc可知，adb=dbc，由此可得abd=dbc，又aeb=c=90，利用“aa”可证abedbc。 （2）由等腰三角形的性质可知，bd=2be，根据abedbc，利用相似比求be，在rtabe中，利用勾股定理求ae。14. （2012贵州铜仁10分）如图，e、f是四边形abcd的对角线bd上的两点，aecf，ae=cf，be=df求证：adecbf【答案】证明：aecf，aed=cfb。df=be，df+ef=be+ef，即de=bf。在ade和cbf中，ae=cf，aed=cfb，de=bf，adecbf（sas）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定。【分析】利用平行线的性质得出aed=cfb，由df=be根据等量加等量和相等得出de=bf，利用sas即可证出结论。15. （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形abcd的4个顶点a，b，c，d都在这些平行线上过点a作afl3于点f，交l2于点h，过点c作cel2于点e，交l3于点g（1）求证：adfcbe；（2）求正方形abcd的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形abcd的面积s【答案】解：（1）证明：在rtafd和rtceb中，ad=bc，af=ce，rtafdrtceb（hl）。（2）abh+cbe=90，abh+bah=90，cbe=bah。又ab=bc，ahb=ceb=90，abhbce（aas）。同理可得，abhbcecdgdaf。s正方形abcd=4sabh+s正方形hegf=421+1+1=5。（3）由（1）知，afdceb，故h1=h3，由（2）知，abhbcecdgdaf，s正方形abcd=4sabh+s正方形hegf=4（h1+h2）h1+h22=2h12+2h1h2+h22【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。【分析】（1）直接根据hl定理得出rtafdrtceb。（2）由aas定理得出abhbcecdgdaf，再根据s正方形abcd=4sabh+s正方形hegf即可得出结论。（3）由afdceb可得出h1=h3，再根据（2）中abhbcecdgdaf，可知s正方形abcd=4sabh+s正方形hegf，从而得出结论。16. （2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16的斜坡ab上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示已知支架ac与斜坡ab的夹角为28，支架bdab于点b，且ac、bd的延长线均过o的圆心，ab12m，o的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考数据：cos280.9，sin620.9，sin440.7，cos460.7)【答案】解：如图，过点o作水平地面的垂线，垂足为点e。 在rtaob中，即， 。bae=160，oae=280160=440。在rtaoe中，即，9.3331.5=10.83310.83（m）。答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】如图，过点o作水平地面的垂线，构造rtaoe。解rtaob，求出oa；解rtaoe，求出oe，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。6. （2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边p处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）小船从p处出发，沿北偏东60划行200米到达a处，接着向正南方向划行一段时间到达b处在b处小亮观测妈妈所在的p处在北偏西37方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.41，1.73）【答案】解：作pdab于点d，由已知得pa=200米，apd=30，b=37，在rtpad中，由cos30=，得pd=pacos30=200=100（米）。在rtpbd中，由sin37=，得pb=（米）。答：小亮与妈妈的距离约为288米。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。【分析】作pdab于点d，分别在直角三角形pad和直角三角形pbd中求得pd和pb即可求得结论。7. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼ab的后面有一建筑物cd，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子ce；而当光线与地面的夹角是45时，教学楼顶a在地面上的影子f与墙角c有13m的距离(b、f、c在一条直线上)(1)求教学楼ab的高度；(2)学校要在a、e之间挂一些彩旗，请你求出a、e之间的距离(结果保留整数)(参考数据：sin22，cos22，tan22)【答案】解：（1）过点e作emab，垂足为m。设ab为x 在rtabf中，afb=45，bf=ab=x。bc=bffc=x13。在rtaem中，aem=22，am=abbm=abce=x2，又，解得：x12。教学楼的高12m。（2）由（1）可得me=bc=x+1312+13=25。在rtame中，ae=me cos22。a、e之间的距离约为27m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】（1）首先构造直角三角形aem，利用 ，求出即可。（2）利用rtame中，求出ae即可。17. （2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形abcd中，abc90，cdad，ad2cd22ab2（1）求证：abbc；（2）当bead于e时，试证明：beaecd【答案】解：（1）证明：连接ac。abc90，ab2bc2ac2。cdad，ad2cd2ac2。ad2cd22ab2，ab2bc22ab2。abbc。（2）证明：过c作cfbe于f。bead，四边形cdef是矩形。cdef。abebae90，abecbf90，baecbf。又abbc，beacfb，baecbf（aas）。aebf。bebfef aecd。【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接ac，构造直角三角形，利用勾股定理证明。（2）可采用“截长”法证明，过点c作cfbe于f，易证cd=ef，只需再证明ae=bf即可，这一点又可通过全等三角形获证.18. （2012广西南宁8分）如图所示，bac=abd=90，ac=bd，点o是ad，bc的交点，点e是ab的中点（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断oe和ab的位置关系，并给予证明【答案】解：（1）abcbad，aoeboe，aocbod。（2）oeab。证明如下：在rtabc和rtbad中，ac=bd，bac=abd，ab=ba，abcbad（sas）。dab=cba。oa=ob。点e是ab的中点，oeab。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）根据全等三角形的定义可以得到：abcbad，aoeboe，aocbod；（2）首先证得：abcbad，则oa=ob，利用等腰三角形中由三线合一即可证得oeab。19. （2012广西钦州6分）如图，点e，f在bc上，be=cf，a=d，b=c，求证：ab=dc【答案】证明：点e，f在bc上，be=cf，be+ef=cfr+ef，即bf=ce。在abf和dce中，a=d，b=c，bf=ce，abfdce（aas）。ab=cd（全等三角形的对应边相等）。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】利用全等三角形的判定定理aas证得abfdce；然后由全等三角形的对应边相等证得ab=cd。20. （2012广西来宾8分）如图，在abcd中，be交对角线ac于点e，dfbe交ac于点f（1）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；（2）求证：be=df【答案】（1）解：全等三角形有：abecdf，afdceb，abccda。 （2）证明：四边形abcd是平行四边形，ad=bc， adbc。daf=bce。 又dfbe，afd=ceb。afdceb（aas）。be=df。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据平行四边形性质推出ad=bc，ab=cd，根据sss证出abccda即可；根据平行线性质推出afd=ceb，daf=bce，根据aas证出afdceb即可；求出aeb=dfc，bae=dcf，根据aas证出abecdf即可。（2）由afdceb推出即可。21. （2012云南省5分）如图，在abc中，c=90，点d是ab边上的一点，dmab，且dm=ac，过点m作mebc交ab于点e求证：abcmed【答案】证明：mdab，mde=c=90。mebc，b=med。在abc与med中，b=med，c=edm，dm=ac。abcmed（aas）。【考点】平行线的性质，全等三角形的判定。【分析】根据平行线的性质可得出b=med，结合全等三角形的判定定理aas可判断abcmed。22. （2012江西南昌6分）如图，已知两个菱形abcdcefg，其中点acf在同一直线上，连接be、dg（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：be=dg【答案】（1）解：adcabc，gfcefc。（2）证明：四边形abcdcefg是菱形，dc=bc，cg=ce，dca=bca，gcf=ecf。acf=180，dcg=bce，在dcg和bce中，dc=bc，dcg=bce，cg=ce，dcgbce（sas）。be=dg。【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）adcabc，gfcefc，根据菱形的性质推出ad=ab，dc=bc，根据sss即可证出结论。（2）根据菱形性质求出dc=bc，cg=ce，推出dcg=bce，根据sas证出dcgbce即可。23. （2012吉林长春7分）某加工厂为赶制一批零件，通过提高加工费标准的方式调动工人的积性工人每天加工零件获得的加工费y（元）与加工个数x（个）之间的函数图像为折线oa-ab-bc，如图所示（1）求工人一天加工费不超过20个时每个零件的加工费（2）求40x60时y与x的函数关系式（3）小王两天一共加工了60个零件，共得到加工费220元，在这两天中，小王第一天加工的零件不足20个，求小王第一天加工零件的个数【答案】解：（1）由图象可知，当0x20时，每个零件的加工费为6020=3元，即工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费为3元。（2）当40x60时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，将b（40，140），c（60，240）代入，得，解得 。y与x的函数关系式为y=5x60。（3）设小王第一天加工零件的个数为a，则第二天加工零件的个数为（60a）， 小王第一天加工的零件不足20个，小王两天一共加工了60个零件。小王第二天加工的零件不