江苏省苏州市第五中学高中数学 第二章 推理与证明学案（无答案）苏教版选修22.doc

第2章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议合情推理理解结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用演绎推理理解了解演绎推理的重要性，理解演绎推理的基本模式，并能运用演绎推理进行一些简单的推理；了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异二、预习指导1预习目标(1)了解合情推理的含义；能利用归纳和类比等进行简单的推理(2)体会演绎推理的重要性，理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，体会并认识合情推理、演绎推理在科学发现中的作用2预习提纲(1)实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段通过实验、观察、操作得到的结论常常是正确的，但是仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的回顾八年级(下册)(江苏科学技术出版社)，第十一章图形与证明(一)第125133页，体会：“探索中，丰富对图形的认识”(2)任何推理都包含前提和结论两个部分，_是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，_是根据前提推得的命题，它告诉我们推得的知识是什么(3)从个别事实中推演出一般性的结论，这样的推理通常称为_归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理，是一种具有创造性的推理归纳推理的思维过程为：_(4)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理通常称为_类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质类比推理的思维过程为：_(5)合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程_和_都是数学活动中常用的合情推理(6)演绎推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确_式推理是演绎推理的主要形式，其常用的格式为_(7)阅读课本第62页的例1，学习归纳推理，会利用归纳进行简单的推理；阅读课本第6566页的例1和例2，学习类比推理，会利用类比进行简单的推理；阅读课本第6869页的例1和例2，学习演绎推理，会利用三段论以及它的简略形式进行简单的推理阅读课本第7276页的推理案例，体会合情推理和演绎推理在数学发现活动中的作用(8)阅读课本第61页至第77页内容，并完成课后练习(9)成立学习小组，去探索、猜测一些数学结论，并与其他小组交流3典型例题(1)任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推得的知识是什么例1 你能说出下列推理案例中的前提和结论吗?4=22；6=33；8=35；10=37=55；12=57；14=311=77；16=313=511；18=513=711；20=317=713；所以任何大于2的偶数都可以表示为两个素数的和狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的所以青蛙是有骨骼的所有的鸟都会飞， 麻雀是鸟 麻雀会飞分析：任何推理都包含前提和结论两个部分，我们要分清这两部分是著名的哥德巴赫猜想，简称“11”，至今没有人能完全证明这个命题解：前提：4=22；6=33；8=35；10=37=55；12=57；14=311=77；16=313=511；18=513=711；20=317=713； 结论：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数的和 前提：狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的 结论：青蛙是有骨骼的前提：所有的鸟都会飞， 麻雀是鸟结论：麻雀会飞 (2)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理、提出带有规律性的猜想，这是数学研究的基本方法之一归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)例2 已知：，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题_；已知：，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=( * )，并给出( * )式的证明分析：通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法我们要仔细观察，寻找规律，掌握技巧，解决问题解： 若都不是，且，则；一般形式： ，证明： 左边 = = = = = 原式得证(将一般形式写成 ，等均正确)例3 (1)已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式；(2)已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式；(3)已知数列的第1项，且，则_；(4)已知数列满足，()，则的值为 分析： 通常我们会写出数列的前几项，然后寻找其规律，归纳出这个数列的通项公式但归纳不能代替证明，本题的归纳是不完全归纳，我们不能肯定所得的通项公式是否正确事实上，我们可以直接求出数列的通项公式、给我们的启发：对满足型的数列，当时采取取倒数的方法即可得出数列是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列的通项；、给我们的启发：结构与两角和或差的正切公式相似，这样的数列一定是周期数列解：(1)法1：，一般地有；法2：由得，即，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则，而，则；(2)法1：，一般地有；法2：由得，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则，而，则；(3)法1：由于，则，由此归纳出数列是以3为周期的数列，则；法2：，令，则，则(k是整数)，即，而，则，；(4)法1：分别求出、，可以发现，且，故法2：由，联想到两角和的正切公式，设，则有，则，故(3)类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠例4 设n=2n（nn*，n2），将n个数x1,x2,，xn依次放入编号为1,2，n的n个位置，得到排列p0=x1x2xn.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列p1=x1x3xn-1x2x4xn，将此操作称为c变换，将p1分成两段，每段个数，并对每段作c变换，得到p2；当2in-2时，将pi分成2i段，每段个数，并对每段c变换，得到pi+1，例如，当n=8时，p2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于p2中的第4个位置.(1)当n=16时，x7位于p2中的第_个位置；(2)当n=2n（n8）时，x173位于p4中的第_个位置.分析： 先仔细审题，读懂题意，然后从n的特殊值出发，寻找规律.解： (1)当n=16时,可设为,即为,即, x7位于p2中的第6个位置；(2)方法同(1),归纳推理知x173位于p4中的第个位置.点评: 本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力、创造性解决问题的能力.同学们要在学习中培养自己动脑的习惯，才能顺利解决此类问题.例5 (1)在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：由此得相加，得类比上述方法，请你计算“”，其结果为 _(2)通过计算可得下列等式： 将以上各式分别相加得：即：类比上述求法，请你求出的值分析： 本题是方法的类比，两项积变三项积，二次方变三次方解：(1) (2) 将以上各式分别相加得：所以，(4) 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)例6 在def中有余弦定理： 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明分析： 三角形的三条边长对应三棱柱的三个侧面面积，三角形的内角对应三棱柱的两个侧面所成的二面角，根据类比猜想得出斜三棱柱abc的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式解：斜三棱柱abc的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式为其中为侧面为与所成的二面角的平面角证明：作斜三棱柱的直截面def，则为面与面所成二面角，在中有余弦定理：，两边同乘以，得即 例7 请将平面内的一般三角形与空间中四面体的性质进行类比分析： 我们经常将二维平面内的三角形与三维空间中的四面体作为类比对象有兴趣的同学可以将得到的四面体的性质一一证明解：三角形四面体三角形两边之和大于第三边；四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心；四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心；三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半；四面体任意三条棱的中点连成的三角形所在的平面平行于第四个面，且该三角形的面积等于第四个面面积的；三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分；四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分；三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：1；将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1；在abc中，的平分线交bc于d，则；在四面体abcd中，二面角cabd的平分面交棱cd于点e，则，；在abc中，(正弦定理)；在四面体abcd中，棱ab与面acd、bcd所成的角分别，则；设abc的三边长分别为、，abc的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为，则(1)(2)四面体sabcd的四个侧面的面积分别为，内切球的半径为，外接球的半径为，则(1)(2)(5)演绎推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式：mp(m是p) (大前提)sm(s是m) (小前提)sp(s是p)(结论)例8 请看以下3个推理：所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电；一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以，(21001)不能被2整除；三角函数都是周期函数，tan是三角函数，所以，tan是周期函数这样的推理是合情推理还是演绎推理?若是合情推理，则指明是归纳推理还是类比推理；若是演绎推理，则指明大前提、小前提和结论分析： 把握合情推理和演绎推理的概念及其一般步骤、一般模式解：3个推理都是演绎推理：所有的金属都能导电 大前提铜是金属 小前提所以，铜能够导电 结论一切奇数都不能被2整除 大前提(21001)是奇数，小前提 所以， (21001)不能被2整除 结论三角函数都是周期函数， 大前提tan是三角函数， 小前提所以，tan是周期函数结论例9 分析： 本题是概念题，我们知道大前提是一般性原理，因此问题转化为寻找“什么样的函数的图像是一条抛物线”的一般性原理解： 二次函数的图像是一条抛物线 (大前提)(6)三段论推理的依据，可以用集合的观点来理解：若集合m的所有元素都具有性质p，s是m的一个子集，那么s中所有元素也都具有性质p例10 已知lg2=m，计算lg08 分析： 在一个计算题中，往往会包含几个三段论，虽然它们有时写得不一定完整解： lgan=nlga(a0)大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2结论lg(a/b)=lgalgb(a0，b0)大前提lg08=lg(8/10)小前提lg08=lg8 lg10 结论lg08=lg8lg10=3lg21=3m1例11 如图：在锐角三角形abc中，adbc，beac，d，e是垂足求证：ab的中点m到d，e的距离相等分析： 在一个证明题中，往往会包含几个三段论，虽然它们有时写得不一定完整解：有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提 在abc中adbc，即adb=90小前提abd是直角三角形结论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提dm是直角三角形斜边上的中线，小前提 dm= ab结论 同理 em= abdm=em，即ab的中点m到d，e的距离相等(7)数学发现过程是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用；演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出判断和证明，从而为调控探索活动提供依据例12 随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数小陈在学习中发现由41，43，47，53，61，71，83，97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数请你求出这个通项公式；从这个通项公式举出一个反例，说明小陈的说法是错误的分析： 我们要正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识；猜测和发现结论、探索和提供证明思路、证明数学结论，是建立数学体系的重要思维过程解：根据题意知通项公式是；取得显然不是质数，因此小陈的说法是错误的例13 已知：“过圆上一点的切线方程是”()类比上述结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)；()过椭圆外一点作两直线与椭圆切于两点，求过两点的直线方程；()若过椭圆外一点作两直线与椭圆切于两点，且恰好通过椭圆的左焦点，证明：点在一条定直线上分析： 利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出()的结论，而()的解决则体现了方法的类比本题利用类比的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向解：()椭圆上一点的切线方程是；()设由()可知：过椭圆上点的切线的方程是：；过椭圆上点的切线的方程是：；因为都过点，则，则过两点的直线方程是：()由()知过两点的直线方程是：， 由题意：在直线上，则，则 点在椭圆的左准线上4自我检测(1)， (均为实数)，请推测= ，= (2) 数列2，5，11，20，47中的等于_观察下列数：1，3，2，6，5，15，14，x，y，z，122，中x，y，z的值依次是_ (3)数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，中第100项是_；第1000项是_ (4) 从1=1，14=(12)，149=123，14916=(1234)，推广到第个等式为_；依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 _；一般规律为 _ (用数学表达式表示)三、课后巩固练习a组1(1) 考察下列一组不等式：将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是；(2) 观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 (3) 设为正整数，经计算得观察上述结果，可推测出一般结论是：_ 2(1) 把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数循环下去，如：(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，则第104个括号内各数字之和为 ；(2) 若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出(3) 设函数，观察：根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .3(1)已知，试求_；_；_；n个(2) 已知 ，猜想的表达式为_； (3)设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，则f2008(x)_4在某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到一次，则三天都迟到的学生人数的最大可能值是_5(1)已知函数，那么_；(2)设函数，则的值为 ；(3)若，则= ； =_；(4)设函数是定义在r上的奇函数，且的图像关于直线对称，则6(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案：第1个 第2个 第3个第2008个图案中有白色地面砖 块；(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖 _ 块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是 _ 第1个 第2个 第3个b组7(1)将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层、第2层、第3层、，则第2008层正方体的个数是 ；(2)毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形， 1 3 6 10 15则第个三角形数为_(3)设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n4时f(n)=_ (用含n的数学表达式表示)；8在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4、堆最底层(第一层)分别按下图方式固定摆放，从第二层开始每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆的第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则=_；=_(用表示)9如图甲是第七届国际数学教育大会(简称icme7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中oa1=a1a2=a2a3=a7a8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记oa1，oa2，oan，的长度构成数列an，则此数列的通项公式为 ；(2)如图，oa1a2是等腰直角三角形，oa1a1a21，以oa2为直角边作等腰直角oa2a3，再以oa3为直角边作等腰直角oa3a4，如此继续下去得到等腰直角oa4a5，则oa9a10的面积为_10有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么mn的值为_ 11如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到127个正方形若最后得到的正方形的边长为1，则初始正方形的边长为 12如下图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，如此类推设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则 ； 13图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则；(答案用数字或的解析式表示)14某同学在电脑中打出如下若干个圈： 若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2008个圈中的的个数是 15(1)将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826 则2008在第 行 ，第 列16将正奇数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123那么，2005应在第_行，第_列17对于任意实数，符号表示的整数部分，即“是不超过的最大整数”在实数轴r(箭头向右)上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么=_18观察下列各式：则_ 19正方形的边长为，点在边上，点在边上，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为_ 20若（），则在中，正数的个数是_ 21观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12，则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为_ 22某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248- sin（-18）cos48（5）sin2（-25）+cos255- sin（-25）cos55 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.23下面使用类比推理得到的结果正确的是_“若，则”类推出“若，则”“若”类推出“”“若” 类推出“ (c0)”“” 类推出“” 24(1)在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立；(2)若数列，(nn)是等差数列，则有数列(nn)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且0(nn)，则有=_ _ (nn)也是等比数列；(3)数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列25 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题： 26在中，若则三角形abc的外接圆半径，把此结论拓展到空间，写出类似的结论为_27若三角形内切圆的半径为，三边长分别为，则三角形的面积根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别为，则四面体的体积 28在平面几何里，有勾股定理：“设rtabc的两边ab，ac互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：ab2ac2=bc2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥abcd的三个侧面abc、acd、adb 两两相互垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为_” 29若rtabc中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥pabc，po为棱锥的高，记m=，n=，那么m、n的大小关系是 30由图(1)有面积关系：则由(2) 有体积关系： 31 在平面直角坐标系中，直线的一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_，球心在的球的一般方程为_32 由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是_33下面说法正确的有_个：(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关34下列表述正确的是_归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理35 有一段演绎推理是这样的：“有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为_36 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”，结论显然是错误的，这是因为_37把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数的图像与的图像关于对称，则函数 (注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)c组38一个函数发生器，当输入x后，经过发生器的作用，便输出此时发生器立即对输出值作一个判断：若输出值超过999，则发生器停止工作；若输出值不超过999时，它会自动将输出值作为新输入值输入，经过发生器的作用，再作同样法则运算后输出，最终，打印机会依次打印出这些输出值(1)若输入值为10，则打印机打印出何种结果?(2)若输入值a后，打印机只打印出了a，问a的最小整数值为多少? (3)若输入值b后，打印机打印出了2个值，求b的取值范围39如图所示，面积为s的平面凸四边行的第i条边的边长记为，此四边形内任意一点p到第i条边的距离记为，若则，类比以上性质，体积为v的三棱堆的第i个面的面积记为，此三棱堆内任意一点q到第i个面的距离记为，p若 则_，并加以证明bcpamao40若数列为等差数列，且，则，现已知数列为等比数列，且，类比以上结论，可得到什么命题? 41在中，若cba用类比的方法猜想三棱堆的类似性质，并证明你的猜想42已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，且直线的斜率都存在(记为)，则是与点位置无关的定值试写出双曲线的类似性质，并加以证明43对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.(1)b2+b4+b6+b8=_；(2)记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是_44回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22，121，3443，94249等显然2位回文数有9个：11，22，33，993位回文数有90个：101，111，121，191，202，999则(1)4位回文数有 个；(2)位回文数有 个知识点题号注意点合情推理归纳推理：122类比推理：2331利用归纳和类比等进行简单的推理，注意其合理性演绎推理3237运用演绎推理的基本模式，进行一些简单的推理，注意其必然性实际问题38注意推理在实际问题中的应用综合问题3944注意灵活运用推理解决问题四、学习心得五、拓展视野皇冠上的明珠 “歌德巴赫猜想”是世界近代三大数学难题之一，是数学皇冠上最璀璨的明珠哥德巴赫生于1690年，是德国的中学教师，也是一位著名的数学家， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被1和它本身整除的数)之和如633，1257等等公元1742年6月7日，哥德巴赫(goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(euler)，提出了以下的猜想：(a) 任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和(b) 任何一个9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和 这就是著名的哥德巴赫猜想欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如： 6 = 3 3， 8 = 3 5， 10 = 5 5 = 3 7， 12 = 5 7， 14 = 7 7 = 3 11，16 = 5 11， 18 = 5 13， 等等有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立但严格的数学证明尚待数学家的努力从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意200年过去了，没有人能够证明它哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望而不可及的“明珠”到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近1920年，挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比6大的偶数都可以表示为(99)这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就能够证明“哥德巴赫猜想”目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “12”的形式 1973年，陈景润改进了“筛法”，证明了“12”，就是充分大的偶数，都可表示成两个数之和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的乘积陈景润的这个证明结果被称为“陈氏定理”，是至今为止，歌德巴赫猜想的最高记录22 直接证明与间接证明一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议分析法与综合法了解结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点反证法了解了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点二、预习指导1预习目标了解数学证明的基本方法分析法、综合法、反证法的思考过程和特点，体会证明的必要性2预习提纲(1)回顾八年级(下册)(江苏科学技术出版社)，第十一章图形与证明(一)第134137页，回味：“证明中，学会有条理地思考”(2)直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明，通常称为_，直接证明的一般形式为：_(3)直接证明的两种基本方法是分析法和综合法，分析法与综合法的推证过程如下：_(4)_是一种常用的间接证明方法，反证法的证明过程可以概括为_，用反证法证明一个命题常常包括3个步骤：_(5)结合课本第8081页的例1，体会分析法、综合法的思考过程和特点，并作比较；结合课本第8283页的例1和例2，体会反证法的思考过程和特点，小结解题步骤(6)阅读课本第79页至第83页内容，并完成课后练习(7)综合法、分析法和反证法在证明数学结论中起到主导作用，试举例说明，并与同学交流3典型例题(1) 综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法其特点是“由因导果”比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法用比较法证明不等式的步骤是：作差(或作商)、变形、判断例1若实数 求证：；已知，求证：分析： 采用差值比较法证明思考：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换? 可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行 证明：= = =法1(差值比较法)：要证的不等式关于对称，不妨设法2(商值比较法)：不妨设， ，又， (2)分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件或明显成立的结论综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题对于解答证明来说，分析法表现为“执果索因”，综合法表现为“由因导果”，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛例2 已知：，求证：；设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3b3a2bab2分析： 分析法和综合法是两种常用的思维方法，人们常用它们来寻求证明问题的思路推证过程如下：综合法：已知条件结论；分析法：结论已知条件我们可以根据题目的实际情况选用适当的方法证明: (综合法)： ， (综合法)：(综合法)： ab，ab0，(ab)20，即a22abb20 亦即a2abb2ab0由题设条件知，ab0，(ab)(a2abb2)(ab)ab即a3b3a2bab2证明2(分析法)： 要证 a3b3a2bab2成立， 只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立， ab0，只需证a2abb2ab成立 只需证a22abb20成立， 即需证(ab)20成立而由已知条件可知，ab，有ab0，所以(ab)20显然成立，由此命题得证例3 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 pabcd 中，abac，pa平面 abcd，点 e 是 pd 的中点()求证：acpb； ()求证：pb/平面 aec 分析： 对于立体几何中的证明问题，我们通常先用分析法思考：要证结论需要用什么定理，运用定理需要什么条件，然后找到或构造出这些条件，最后用综合法书写证明过程解：()pa平面 abcd，且ac平面abcd，acpa，又abac，abpa=a，ab平面pab，pa平面pab，ac平面pab，而pb平面abcd， acpb； ()连接bd，与 ac相交于o，连接 eo， abcd 是平行四边形， o 是 bd 的中点， 又 e 是 pd 的中点， eopb，又 pb平面 aec，eo平面 aec， pb平面 aec (3)反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法用反证法证明一个命题常采用以下步骤：假设命题的结论不成立； 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与定义、公理、定理或公式矛盾；自相矛盾等；由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假设“结论不成立”是错误的；肯定原来命题的结论是正确的即“反设归谬存真”例4 求证：是无理数；若为奇数，则是无理数分析： 本题宜采用反证法证明证明：假设是有理数，则存在互质的整数，使得，即，为3的倍数，设，即，也为3的倍数，这与互质矛盾，假设错误，是无理数； 假设是有理数，则存在互质的整数，使得，则，为偶数，为偶数， 与同为偶数或同为奇数，它们的积为偶数，与同为偶数，设，即，为奇数为偶数，为偶数，也为偶数，这与互质矛盾，假设错误，是无理数(4)反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木导出矛盾通常有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；自相矛盾等如果结论的反面不止一种情形，我们要对各种情形分别导出矛盾例5 设求证：设0 a，b，c 0，ab bc ca 0，abc 0，求证：a， b， c 0 分析： 用反证法证明时，分清结论的反面是什么，有几种情形证明：假设则有 这与题设条件矛盾，原不等式成立； 假设(1 - a)b，(1 - b)c，(1 - c)a同时大于，即 (1 - a)b (1 - b)c (1 - c)a 则三式相乘：(1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a， b， c 1 同理：0 0以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 与矛盾(1 - a)b，(1 - b)c，(1 - c)a不可能同时大于假设a 0， bc 0， 则b c = -a 0 ab bc ca = a(b c) bc 0矛盾， 必有a 0 同理可证：b 0， c 0例6 设二次函数求证：中至少有一个不小于分析：导