2012高考数学压轴题集选(江苏)【2012高考复习必备】.doc

2012江苏高考数学压轴题集选1. 设为数列的前项之积，满足(1)设，证明数列是等差数列，并求和；(2)设求证：解：(1)， 数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， ，(2)， ，当时， ， 当时， .2.函数（1）试求的单调区间；（2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是；（3）求证：不等式对于恒成立解：（1） 当时，在上单调递增； 当时，时，在上单调递减； 时，在上单调递增综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，即.而（0，1）在上单调递减，在上单调递增，在上由唯一的一个零点x=1必要性：=0在上有唯一解，且a0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即令， 当时，在（0，1）上单调递增；当a1时，在上单调递减.，=0只有唯一解a=1 .3. 已知数列的前项和为，且满足，其中常数（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的通项公式；（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与 之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列 的前m项的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.解：（1）， 4分，数列为等比数列 （2）由（1）知， 8分又， 10分（3）由（2）得，即， 数列中，（含项）前的所有项的和是： 12分当k=10 时，其和是当k=11 时，其和是又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数 14分所以当时，所以存在m=988使得 16分4.已知函数（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）解：（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解 ， 结合图形得. 4分（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，当时，（*）显然成立，此时； 当时，（*）可变形为，令因为当时，当时，所以，故此时. 综合，得所求实数的取值范围是. 8分（3）因为=10分 当时，结合图形可知在上递减，在上递增，且，经比较，此时在上的最大值为. 当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时在上的最大值为. 当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时 在上的最大值为. 当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且, ，经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递减，在上递增，故此时 在上的最大值为.综上所述，当时，在上的最大值为；当时， 在上的最大值为；当时， 在上的最大值为0.165.已知函数.设关于x的不等式的解集为且方程的两实根为.（1）若，求的关系式；（2）若都是负整数，且，求的解析式；（3）若，求证：.解：（1）由，得，由已知得，.,的关系式为. 5分(2)是负整数，.由得：，且.,. 10分(3)令，又.,即 12分又是方程的两根，.=由线性约束条件，画图可知. 的取值范围为，14分.16分6.已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设（）求的值；（）不等式在上恒成立，求实数的范围；（）方程有三个不同的实数解，求实数的范围解:（）(1) 当时，上为增函数 故 当上为减函数故 即. .（）方程化为，令， 记 （）方程化为，令， 则方程化为 （）方程有三个不同的实数解，由的图像知，有两个根、， 且 或 ， 记则 或 7.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合（1）若，且，求M和m的值； （2）若，且，记，求的最小值 （1）由1分又3分 4分5分6分（2） x=1 ， 即 8分f（x）=ax2+（1-2a）x+a, x-2,2 其对称轴方程为x=又a1，故1-9分M=f（-2）=9a-2 10分m= 11分g（a）=M+m=9a-1 14分= 16分8.已知函数，（1）当时，若上单调递减，求a的取值范围； （2）求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值； （3）对满足（II）中的条件的整数对，试构造一个定义在且 上的函数：使，且当时，解：1）当时，1分若，则在上单调递减，符合题意；3分若，要使在上单调递减，必须满足 5分综上所述，a的取值范围是 6分（2）若，则无最大值，7分故，为二次函数，要使有最大值，必须满足即且，8分此时，时，有最大值分又取最小值时，分依题意，有，则，分且，得，分此时或满足条件的整数对是12分（3）当整数对是时，是以2为周期的周期函数，分又当时，,构造如下：当，则，故9.已知函数，当时,的值域为，当时,的值域为，依次类推，一般地，当时,的值域为，其中k、m为常数，且.(1)若k=1，求数列的通项公式；(2)若且，问是否存在常数m，使数列是公比不为1的等比数列？请说明理由；(3)若，设数列的前n项和分别为，求解：(1)因为，当时，为单调增函数，所以其值域为，于是. 又a1=0, b1=1, 所以，. (2)因为，当时，为单调增函数，所以的值域为，所以. 要使数列bn为等比数列，必须为与n无关的常数. 又，故当且仅当时，数列是公比不为1的等比数列.(本题考生若先确定m0，再证此时数列是公比不为1的等比数列，给全分)(3)因为，当时，为单调减函数，所以的值域为，于是.所以. 1)因为，当时，为单调增函数，所以其值域为，于是. 又a1=0, b1=1, 所以，.10.已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且令（1）求 g(x)的表达式；（2）若使成立，求实数m的取值范围； （3）设，证明:对，恒有【解】 （1）设，于是所以 又，则所以. 4分（2）当m0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；当m=0时，对，恒成立； 6分当mb0）的左右焦点分别为F1F2，离心率e，右准线方程为x2 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点F1的直线l与该椭圆相交于MN两点，且|，求直线l的方程解析：（1）由条件有解得a，c1b1所以，所求椭圆的方程为y21（2）由（1）知F1（1,0）F2（1,0）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x1，将x1代入椭圆方程得y不妨设MN，（4,0）|4，与题设矛盾直线l的斜率存在设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk（x1）设M（x1，y1）N（x2，y2），联立消y得（12k2）x24k2x2k220由根与系数的关系知x1x2，从而y1y2k（x1x22）又（x11，y1），（x21，y2），（x1x22，y1y2）|2（x1x22）2（y1y2）2222化简得40k423k2170，解得k21或k2（舍）k1所求直线l的方程为yx1或yx117.（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解（1）：，令，得 若，则，在区间上单调递增. 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减. 6分（2）解：，由（1）可知，当时，此时在区间上的最小值为，即当， 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解 而，即方程无实数解 故不存在，使曲线在处的切线与轴垂直12分18.（本小题满分12分）已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值 解（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为； 若，即，动点所在的曲线方程为.4分(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且设，的斜率为，则的方程为，的方程为 解方程组得，同理可求得， 面积= 8分令则令 所以，即 当时，可求得,故， 故的最小值为，最大值为1. 12分19.已知函数的导数a，b为实数，(1) 若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求a、b的值；(2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；(3) 设函数，试判断函数的极值点个数解：(1) 由已知得， 由，得， 当时，递增；当时， 递减 在区间上的最大值为，又， 由题意得，即，得 故，为所求(2) 由 (1) 得，点在曲线上当切点为时，切线的斜率， 的方程为，即 (3 二次函数的判别式为令，得：令，得 ，当时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点20.(本小题满分12分)设F是椭圆C：的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：AFM =BFN；(3) 求三角形ABF面积的最大值解：(1) a = 4又 | PM | = 2 | MF |得 (2) 当AB的斜率为0时，显然满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得 则 综上可知：恒有 (3)当且仅当（此时适合0的条件）取得等号.三角形ABF面积的最大值是321.ABC是直线上的三点，向量满足： -y+2+ln(x+1)= ；（）求函数y=f(x)的表达式； （）若x0, 证明f(x)；（）当时,x及b都恒成立，求实数m的取值范围。解I）由三点共线知识，,ABC三点共线，.，f(x)=ln(x+1)4分()令g(x)=f(x),由，x0g(x)在 (0,+)上是增函数,故g(x)g(0)=0,即f(x) ;8分（III）原不等式等价于,令h(x)= =由当x-1,1时,h(x)max=0, m2-2bm-30,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)0及Q（-1)0解得m-3或m3. 12分22.已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.（）求抛物线的方程及准线方程；（）当直线与抛物线相切时，求直线的方程（）设直线分别交抛物线于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线BC的方程.解：（）由于A(2,1)在抛物线上， 所以 ，即.2分 故所求抛物线的方程为，其准线方程为. .3分（）当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为 6分（）不妨设直线AB的方程为，8分 由 得,.10分 易知该方程有一个根为2，所以另一个根为， 所以点B的坐标为,同理可得C点坐标为, .11分所以, .9分线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，所以 ,由于， 解得 . .10分此时，点B的坐标为，点C的坐标为， 直线BC的斜率为，所以，BC的方程为，即. .12分23.已知函数和的图象关于原点对称，且 ()求函数的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函数，求实数的取值范围解：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上()由当时，此时不等式无解。当时，解得。因此，原不等式的解集为。（） ） 24.已知函数（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：求证：解：（1）依题意在时恒成立，即在恒成立.则在恒成立，即 当时，取最小值的取值范围是 （2）设则列表：极大值极小值极小值，极大值，又 方程在1，4上恰有两个不相等的实数根.则， 得 （3）设，则在为减函数，且故当时有.假设则，故从而即， 25.已知（1）求函数的图像在处的切线方程；（2）设实数，求函数在上的最小值；（3）证明对一切，都有成立解：（1）定义域为 又 函数的在处的切线方程为：，即 3分（2）令得 当，单调递减，当，单调递增 5分（i）当时，在单调递增，6分（ii）当即时，7分（iii）当即时，在单调递减，8分(3)问题等价于证明， 由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得最小值10分设，则，当时，单调递增；当时单调递减。故，当且仅当时取得最大值12分所以且等号不同时成立，即从而对一切，都有成立13分26.（本小题满分14分）已知函数处取得极值 （I）求实数的值；（II）若关于x的方程在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（III）证明：对任意正整数n，不等式都成立解：（I） 2分时，取得极值， 3分故，解得a=1，经检验a=1符合题意4分（II）由a=1知得 令则上恰有两个不同的实数根等价于在0，2上恰有两个不同的实数根5分 6分当上单调递增当上单调递减依题意有 9分（III）的定义域为 10分由（1）知 11分令（舍去），单调递增；当x0时，单调递减上的最大值（12分）（当且仅当x=0时，等号成立）13分对任意正整数n，取得， 14分27.的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为. （1）求的方程；xyABCDEF. IO （2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.21【解】（1）设点，由题知，根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），故的方程为. 4分 （2）设点. ， 6分当直线轴时，点在轴上任何一点处都能使得成立. 7分当直线不与轴垂直时，设直线，由 得 9分，使，只需成立，即，即，即 ，故，故所求的点的坐标为时，恒成立. 12分28.（本小题满分12分）设函数.（）求函数f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；（）求f (x)的极小值；（）若对所有的，都有成立，求实数a的取值范围.【解析】()f(x)的定义域为，又=2ln(2x+1)+2,，切点为O(0,0)，所求切线方程为y=2x. 2分() 设=0，得ln(2x+1)=1，得；0，得ln(2x+1)1，得；0，得ln(2x+1)0，得ln(2x+1) a1，得； 0，得ln(2x+1)1时，对所有，都有1时，只有对仅有的，都有.即当a1时，不是对所有的，都有.综合（1），（2）可知实数a的取值范围(,1.12分29.（本小题14分）设函数（）求的单调区间；（）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（）证明：当mn0时，。【解析】：22、（）时， 在（1，+）上市增函数当时，在上递增，在单调递减（）由（）知，在上单调递增，在上单调递减又 当时，方程有两解（）要证：只需证只需证设， 则由（）知在单调递减，即是减函数，而mn，故原不等式成立。30（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。【解析】：（1）设椭圆方程为则解得所以椭圆方程（2）因为直线平行于OM，且在轴上的截距为又，所以的方程为：由因为直线与椭圆交于两个不同点，所以的取值范围是。（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可设，则由可得而故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。31.已知函数上恒成立. （1）求的值； （2）若 （3）是否存在实数m，使函数上有最小值5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.【解析】：（1）恒成立即恒成立显然时，上式不能恒成立是二次函数由于对一切于是由二次函数的性质可得即 （2）即 当，当 （3）该函数图象开口向上，且对称轴为假设存在实数m使函数区间 上有最小值5.当上是递增的.解得舍去当上是递减的，而在区间上是递增的，即解得 当时，上递减的即解得应舍去.综上可得，当时，函数32.本小题满分13分）已知函数（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围（2）当时，求函数的最大值（3）当时，且，证明：【解析】：（1）， 因为对，有不存在实数使，对恒成立 2分由恒成立，而，所以经检验，当时，对恒成立。当时，为定义域上的单调增函数 4分（2）当时，由，得 当时，当时，在时取得最大值，此时函数的最大值为 7分（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号 当时，同理可得，法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增令在上总有，即在上递增当时，即令由（2）它在上递减 即 ，综上成立，其中。33. (本小题满分12分)已知常数a 0, n为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数, 当n a时, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以p( x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10. 若u ,v 1，0，则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，满足题设条件；20. 若u ,v 0，1， 则|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，满足题设条件；30. 若u1，0，v0，1，则： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，满足题设条件;40 若u0，1，v1，0, 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.35. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x 1)的图象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证：| ac | 4;(2) 求证：在(1，+）上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.证：(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 ， c 0, c2a2 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 设1 x1 x2, 则f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）f ( x )在x 1时单调递增，| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.36.（本小题满分15分）设定义在R上的函数（其中R，i=0,1,2,3,4），当x= 1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（1，0）对称（1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（3） 若，求证：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用导数求最值，可证得15分37.（本小题满分13分）设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MNMQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程解：设点的坐标则1分 3分 由（1）（2）可得6分 又MNMQ，所以 直线QN的方程为，又直线PT的方程为10分 从而得所以 代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.13分38.（本小题