第1节 椭圆及其标准方程1.doc

哈尔滨市第一中学2008级高二教学设计学案 第八章第1节 椭圆及其标准方程第1节 椭圆及其标准方程撰写：刘一博 审核：冬焱三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：1. 理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念2. 熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3. 能由椭圆定义推导椭圆的方程4. 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；5. 学会用待定系数法与定义法求曲线的方程6. 掌握转移法（代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与解决椭圆有关问题二、重点与难点1重点是椭圆的定义和标准方程；用待定系数法与定义法求曲线的方程运用中间变量法求动点的轨迹2椭圆标准方程的推导; 待定系数法 运用中间变量法求动点的轨迹三、本节知识理解1.学法点拨1认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题2认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法即：1点关于点的对称问题；2直线关于点的对称问题；3点关于直线的对称问题；4直线关于直线的对称问题3在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想4平面解析几何的核心是坐标法。它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系，本部分内容在这方面体现的也很明显5两条直线的位置关系是解析几何的基础。同时本部分内容所涉及的“数形结合”对称”化归”等方法也是解析几何的重要思想方法因此对于本部分内容要切实学好、学透、用活6在历年的高考试题中，本部分内容也是常考问题的热点之一。多以选择题、填空题形式出现，也与圆锥曲线内容及代数有关知识结合在一起命题，成为试卷中的中等题和难题3.要点诠释精题精讲例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)与椭圆有相同焦点，且过点（,）解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 所以所求椭圆标准方程为 选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查关系掌握情况.解：(1)椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： ，2c=6.所求椭圆的方程为：.(2)椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为.所求椭圆方程为： 2 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知，又所以所求标准方程为 另法： 可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程点评：题（）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 例2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.(3)已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程 选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.解：(1)因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：椭圆经过点(2，0)和(0，1)故所求椭圆的标准方程为（）椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：（，）在椭圆上，.又P到它较近的一焦点的距离等于2，c（），故c=8.所求椭圆的标准方程是.(3)解：设椭圆的标准方程则有 ，解得 所以，所求椭圆的标准方程为说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为与的值.(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近.例3已知B，C是两个定点，BC6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得所以顶点A的轨迹方程为 （0）（特别强调检验) 因为A为ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明0的条件例4如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PP，求线段PP的中点M的轨迹（若M分 PP之比为，求点M的轨迹）解：（1）当M是线段PP的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，即 所以点的轨迹是椭圆，方程是 （2）当M分 PP之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，即 所以点的轨迹是椭圆，方程是 例5已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为 因为点为椭圆上的点，所以有 ，即所以点的轨迹方程是 例6长度为5的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为 因为，所以有 ，即所以点的轨迹方程是 例7（1）已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程 （2）已知两圆，动圆在圆的内部且和圆内切，和圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程。分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论： 上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆 解 已知圆可化为：圆心Q(3，0)，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，故动圆圆心M的轨迹方程是： 例8.点P是椭圆=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8，求点P的坐标.【解】 设点P的坐标为(x,y),c2=a2b2=259=16,2c=8.S=8,8|y|=8,y=2，把y=2代入方程：=1，并解出x得：x=.点P的坐标为(，2)、(，2)、(，2)、(，2).例9.已知椭圆的焦点是F1（1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且PF1F2120，求tanF1PF2.【解】 (1)由题设2F1F2PF1PF22a，又2c=2,b椭圆的方程为1.（2）设F1PF2，则PF2F160由正弦定理得：由等比定理得：,整理得：5sin（1cos）故,tanF1PF2tan.例10.若一个动点P(x,y)到两个定点A（1，0），A（1，0）的距离的和为定值m，试求P点的轨迹方程.【解】 PA+PA=m,AA=2,PA+PAAA，m2.（1）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA.其方程为y=0(1x1).(2)当m2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A为焦点的椭圆.2c=2,2a=m,a=,c=1,b2=a2c2=1点P的轨迹方程为+=1.基础达标1.椭圆2x2+3y2=12的两焦点之间的距离是（ ）A.2B.C.D.2【解析】 把椭圆的方程写成标准形式=1,则c2=64=2,2c=2.【答案】 D2.椭圆=1的焦距等于2，则m的值为（ ）A.5或3B.8C.5D.16【解析】 当焦点在x轴上时，c2=m4，即1=m4,m=5.当焦点在y轴上时，c2=4m，即1=4m,m=3.【答案】 A3.若ABC的两个顶点坐标A（4，0）、B（4，0），ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）A.=1B.=1(y0)C. =1(y0)D. =1(y0)【解析】 AB=8,CA+CB=10,顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆去掉与焦点所在直线的交点（C与A、B不共线），并且2a=10,2c=8,b=3.顶点C的轨迹方程为=1(y0).【答案】 D4.过点（3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1【解析】 c2=94=5,设椭圆的方程为=1,点（3,2）在椭圆上，=1,a2=15,所求椭圆的方程为：=1.【答案】 A5.若(0,)，方程x2sin+y2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）A.(0,)B.(0,)C.(,)D.,)【解析】 椭圆的焦点在y轴上，sincos,(0, ),.【答案】 C6.若方程ax2by2c（ab0，c0）表示焦点在x轴上的椭圆，则（ ）A.ab0B.a0,b0C.ba0D.【解析】 将原方程整理成标准形式=1则应满足0，又c0，ba0.【答案】 C7.已知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹方程是（ ）A.4x2+y2=1B.x2+=1C.+y2=1D.x2+=1【解析】 设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=,y=y0.P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，x02+y02=1. 将x0=2x,y0=y代入方程得：4x2+y2=1,即+y2=1.点M的轨迹是一个椭圆x2y21.【答案】 A8.ABC两个顶点的坐标分别是B（6，0）和C（6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点A的轨迹方程是（ ）A.+=1(y6)B.+=1(y6)C.+=1(x6)D.+=1(x6)【解析】 设顶点A（x,y),则,顶点A的轨迹方程为+=1(x6).【答案】 D9.已知A（0，1）、B（0，1）两点，ABC的周长为6，则ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）A.+=1(x2)B.+=1(y2)C.+=1(x0)D.+=1(y0)【解析】 2a+2c=6,c=1,a=2,b2=3.C点不在y轴上，C点的轨迹方程为+=1(y2).【答案】 B10.若圆x2+y2=9上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（ ）A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1【解析】 圆横坐标不变，纵坐标缩短为原来的后，所得曲线为椭圆，且a=3,b=,焦点在x轴上，所得曲线的方程为+y2=1.【答案】 C11.已知椭圆上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|PF2|= .【解析】两焦点的坐标分别为F1（-5，0）、F2（5，0），由PF1PF2得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100.而|PF1|+|PF2|=14，(|PF1|+|PF2|)2=196，100+2|PF1|PF2|=196，|PF1|PF2|=48.【答案】4812.若线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=60，点M是AB上一点，且|AM|=36，则点M的轨迹方程是 .【解析】设A（x0，0）、B（0，y0）、M（x，y），则x02+y02=3600，x0=x，y0=y.x2+y2=3600，即.【答案】13.已知动圆C和定圆C1：x2+(y-4)2=64内切而和定圆C2：x2+(y+4)2=4外切，设C（x，y），则25x2+9y2= .【解析】圆C与圆C1内切，圆C与圆C2外切，|CC1|=8-r，|CC2|=2+r.|CC1|+|CC2|=10(|C1C2|=8).动点C的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆.C1（0，4）、C2（0，-4），a=5，b2=25-16=9.动圆圆心C（x，y）满足.25x2+9y2=225.【答案】22514.已知F1、F2是平面内的定点，并且F1F2=2c（c0）,M是内的动点，且MF1+MF2=2a，判断动点M的轨迹.【解】 当2a2c，即ac时，动点M到两定点的距离之和大于两定点之间的距离，由椭圆的定义知动点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆.当2a=2c即a=c时，动点M到两定点F1、F2的距离之和等于线段F1F2的长，所以点M是线段F1F2上的点，所以动点M的轨迹是线段F1F2.综上所述，当ac时，动点的轨迹是椭圆，当a=c时，动点的轨迹是线段.15.设椭圆=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，求四边形ABCD的面积.【解】 在方程=1中分别令x=0,y=0,