【导与练】高考数学 试题汇编 第三节三角恒等变换 文（含解析）.doc

第三节三角恒等变换 利用三角恒等变换求值考向聚焦利用三角恒等变换求三角函数值是常考内容,主要体现在:(1)把三角恒等变换作为工具来解决三角函数问题,即利用两角和与差的三角公式、倍角公式进行三角函数式的化简、求值问题;(2)在题目设置上多出现三角函数公式的正用、逆用、变形用以及特定条件下的使用,以考查学生对公式的掌握,常以客观题的形式出现,属于中档以下题目,所占分值为5分左右备考指津训练题型:(1)三角恒等变换一般解题模式,其中特别要注重遇切弦,化统一,遇多元,想消元,遇差异,想联系,遇特角,想求值等;(2)角的配凑形式,提升思维起点,缩短思维路线1.(2012年四川卷,文5,5分)如图,正方形abcd的边长为1,延长ba至e,使ae=1,连结ec、ed,则sin ced等于()(a)31010(b)1010(c)510(d)515解析:由图可知sinaed=cosaed=22,sinbec=55,cosbec=255,sinced=sin(aed-bec)=sinaedcosbec-cosaedsinbec=22(255-55)=1010,故选b.答案:b.2.(2012年全国大纲卷,文4,5分)已知为第二象限角,sin =35,则sin 2等于()(a)-2425(b)-1225(c)1225(d)2425解析:为第二象限角,且sin =35,cos =-1-sin2=-1-(35)2=-45;sin 2=2sin cos =2(-45)35=-2425,故选a.答案:a.3.(2012年江西卷,文9,5分)已知f(x)=sin2(x+4).若a=f(lg 5),b=f(lg15),则()(a)a+b=0(b)a-b=0(c)a+b=1(d)a-b=1解析:本题考查三角恒等变换,二倍角公式,三角函数的奇偶性,对数的性质以及换元法的思想.法一:因为f(x)=sin2(x+4)=1-cos(2x+2)2=1+sin2x2,令lg 5=t,则lg 15=-t,所以a=f(lg 5)=f(t)=1+sin2t2,b=f(lg 15)=f(-t)=1-sin2t2,所以a+b=1.故应选c.法二:因为f(x)=sin2(x+4)=1-cos(2x+2)2=1+sin2x2,所以2f(x)-1=sin 2x.设g(x)=2f(x)-1,则函数g(x)为奇函数.令lg 5=t,则lg 15=-t,则g(t)+g(-t)=2f(t)-1+2f(-t)-1=0,所以f(t)+f(-t)=1.即a+b=1.故应选c.答案:c. 本题的难点在于三角函数的变换,熟练掌握三角函数的各种公式,并能灵活应用是解题的关键.法一是常规解法,直接换元后代入解析式消元求值;法二奇妙地利用了三角函数的奇偶性,将非奇函数转化为奇函数来求解,其求解的依据是奇函数的定义,函数g(t)是奇函数等价于g(t)+g(-t)=0.4.(2012年辽宁卷,文6,5分)已知sin -cos =2,(0,),则sin 2=()(a)-1(b)-22(c)22(d)1解析:由sin -cos =2两边平方得1-2sin cos =2,1-sin 2=2,sin 2=-1.答案:a.5.(2011年福建卷,文9)若(0,2),且sin2+cos 2=14,则tan 的值等于()(a)22(b)33(c)2(d)3解析:由sin2+cos 2=14得sin2+cos2-sin2=14,即cos2=14,又(0,2),cos =12,=3,则tan =3.答案:d.6.(2011年全国新课标卷,文7)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2等于()(a)-45(b)-35(c)35(d)45解析:因为终边在直线y=2x上,所以tan =2.所以cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-41+4=-35.故选b.答案:b.7.(2011年湖北卷,文6)已知函数f(x)=3sin x-cos x,xr,若f(x)1,则x的取值范围为()(a)x|2k+3x2k+,kz(b)x|k+3xk+,kz(c)x|2k+6x2k+56,kz(d)x|k+6xk+56,kz解析:f(x)=3sin x-cos x=2sin(x-6)1,sin(x-6)12,2k+6x-62k+56,kz,2k+3x2k+,kz,故选a.答案:a.8.(2010年全国新课标卷,文10)若cos =-45,是第三象限的角,则sin(+4)等于()(a)-7210(b)7210(c)-210(d)210解析:cos =-45且为第三象限的角,sin =-35,sin(+4)=sin cos 4+cos sin 4=22(sin +cos )=22(-35-45)=-7210,故选a.答案:a. 本题考查了给值求值问题,在已知cos =-45时要注意为第三象限的角这一条件,否则会出现增值;另外应用了两角和的正弦公式.9.(2012年江苏数学,11,5分)设为锐角,若cos(+6)=45,则sin(2+12)的值为.解析:本题考查三角恒等变形、同角三角函数的基本关系.cos(+6)=45,+6(0,2),sin(+6)=35,sin(2+3)=2cos(+6)sin(+6)=23545=2425,cos(2+3)=2cos2(+6)-1=725,sin(2+12)=sin(2+3)-4=sin(2+3)cos4-cos(2+3)sin4=17250.答案:1725010.(2011年江苏卷,7)已知tan(x+4)=2,则tanxtan2x的值为.解析:由tan(x+4)=2得tanx+tan 41-tanxtan 4=2,即tanx+11-tanx=2,tan x=13,tanxtan2x=tanx2tanx1-tan2x=1-tan2x2=1-(13)22=49.答案:4911.(2012年四川卷,文18,12分)已知函数f(x)=cos2x2-sin x2cos x2-12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f()=3210,求sin 2的值.解:(1)由已知,f(x)=cos2x2-sin x2cos x2-12=12(1+cos x)-12sin x-12=22cos(x+4).所以f(x)的最小正周期为2,值域为-22,22.(2)由(1)知,f()=22cos(+4)=3210,所以cos(+4)=35,所以sin 2=-cos(2+2)=-cos 2(+4)=1-2cos2(+4)=1-1825=725.利用三角恒等变换化简三角函数式考向聚焦高考重点考查内容,主要体现在以下两个方面:(1)利用三角恒等变换把三角函数式化简成为一个角的一个三角函数,即y=asin(x+)的形式,或者化简成为二次函数的形式,从而研究三角函数的其他性质;(2)有时给定自变量范围进行三角函数式的化简,再与解三角形或者与平面向量结合综合求解.一般以解答题形式出现,具有一定的综合性,难度中等,所占分值12分左右12.(2012年重庆卷,文5,5分)sin47-sin17cos30cos17=()(a)-32(b)-12(c)12(d)32解析:sin47-sin17cos30cos17=sin(17+30)-sin17cos30cos17=cos17sin30cos17=12.故选c.答案:c.13.(2012年全国大纲卷,文15,5分)当函数y=sin x-3cos x(0x2)取得最大值时,x=.解析:y=sin x-3cos x=2sin(x-3),当y取最大值时,x-3=2k+2(kz),即x=2k+56(kz),又0x2,x=56.答案:56 本题主要考查两角和的公式的逆用,特殊角的三角函数值,以及正弦函数的性质.解题的关键是将函数解析式化为一个角的三角函数的形式,再利用正弦函数的性质求解.14.(2012年广东卷,文16,12分)已知函数f(x)=acos(x4+6),xr,且f(3)=2.(1)求a的值;(2)设,0,2,f(4+43)=-3017,f(4-23)=85,求cos(+)的值.解:(1)由f(3)=acos(12+6)=acos4=22a=2,a=2.(2)由(1)知f(x)=2cos(x4+6),则f(4+43)=2cos(4+434+6)=2cos(+2)=-3017,sin =1517.又0,2,cos =817,f(4-23)=2cos(4-234+6)=2cos =85,cos =45.又0,2,sin =35.故cos(+)=cos cos -sin sin =45817-351517=-1385. 此题综合考查了同角三角函数关系式、诱导公式、两角和的余弦公式,要求学生熟练掌握公式.15.(2010年北京卷,文15)已知函数f(x)=2cos 2x+sin2x.(1)求f(3)的值;(2)求f(x)的最大值和最小值.解:法一:(1)f(3)=2cos(23)+sin23=2cos 23+sin23=-1+34=-14.(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,xr.cos x-1,1,cos2x0,1,当cos x=1时,f(x)max=2,当cos x=0时,f(x)min=-1.法二:(1)由f(x)=2cos 2x+sin2x得f(x)=2cos 2x+1-cos2x2=32cos 2x+12,f(3)=32cos 23+12=-34+12=-14.(2)xr,cos 2x-1,1.f(x)max=32+12=2,此时cos 2x=1,f(x)min=-32+12=-1,此时cos 2x=-1.(2011年广东卷,文16,12分)已知函数f(x)=2sin(13x-6),xr.(1)求f(54)的值;(2)设,0,2,f(3+2)=1013,f(3+2)=65,求cos(+)的值.解:(1)f(54)=2sin(1354-6)1分=2sin 42分=2.3分第(1)问赋分细则:(1)直接写f(54)=2sin 4=2不扣分,但建议把代入式子写上;(2)直接写f(54)=2只得1分,扣去2分.(2)由f(3+2)=1013,得2sin13(3+2)-6=2sin =10134分sin =513.5分由f(3+2)=65,得2sin13(3+2)-6=2sin(+2)=2cos =656分cos =357分,0,2,8分cos =1-sin2=1-(513)2=12139分sin =1-cos2=1-(35)2=4510分故cos(+)=cos cos -sin sin 11分=121335-51345=1665.12分第(2)问赋分细则:(1)把第(2)问中f(3+2)=1013转化求得