6.任翔、陈子 铭 象棋里的奥妙——马遍棋盘.doc

象棋里的奥妙马遍棋盘 温州市绣山中学 陈子铭、任 翔周末，在家里和爸爸一起对弈象棋时，爸爸告诉我，在下象棋的时候，马的走法往往对棋局起着关键性的作用。于是，一个人摆弄着象棋，突然想起曾经遇到过的一个题目，马是否能走遍棋盘上的每个点呢？这让我非常的好奇，于是，我拿来纸和笔，在方格纸上研究起来。一、首先，在象棋中，马的走法是大家所熟悉的，马走日字，于是我以马的起步点作为直角坐标的原点，利用方格纸描点，分别实验马走一步、两步、三步十步可能的落点，并从中发现一些微妙的规律。二、然后，依然以马的起步点作为直角坐标的原点，但这次我先预设一个将要到达的点座标，试试看马走几步之后可以走道目的地。在尝试的过程中，我们可以很快发现虽然预设的目的地相同，可是每次画出来的路线以及马走的步数都不尽相同，这不禁让我更加好奇，想探究到达棋盘上面的每个点所需最少的步数，希望可以归纳出一个结论。这里我先找出到达每个点所需要的最少步数之后再把相对应的坐标写在方格纸上，看看能不能找到最少步数的规则。三、这里我希望可以探讨出一个一般性的结论，所以假设马的起步点是棋盘上面的任意位置，以马的起步点作为直角坐标的原点（0,0），并假设马希望到达的目的点为H（a，b），1）当马走一步后，H（a，b）最多有8种，就是（2,1）、（1,2）、（-1,2），（-2,1），（1，-2）、（2，-1）、（-2，-1）、（-1，-2）8个点坐标。所以说，马的走法是八面玲珑的，以（a，b）的绝对值之和（ ）来考虑，则有=3，因此，马每走一步，每个坐标最多2格，可知且；反过来看，具有上述条件时，马走一步和总是一个为奇数，另一个为偶数，就可以达到目的地 H 点。2）当马走两步时：马走2步，每个坐标最多4格，由此可知且，而且和只能同时是奇数或者是偶数，两个奇数或两个偶数和一定是偶数，而且最多不会超过6，反过来也是成立的。3）马走3三步时：马走3步，每个坐标最多6格，由此可知且，而且和总是一个为奇数，另一个为偶数，就可以达到目的地H点，一个奇数加上一个偶数的总和是奇数，而且最多不会超过9，反过来也成立。4）马走四步时：马走4步，每个坐标最多8格，由此可知且，而且和必定同时为奇数或同时为偶数，两个奇数或者两个偶数的和必定是偶数，而且最多不会超过12，反过来也可以成立。5）至于马走 5 步、 6 步，我们都可以依照上面的方法推论出来。由上面的推导，我们可以得到以下的表格：马到达目的点的步数以马的起步点作为直角坐标的原点，马到达目的点的坐标为H（a，b）1当且与均时2当为的偶数且与均时3当为的奇数且与均时4当为的偶数且与均时5当为的奇数6当为的偶数7当为的奇數6）因此，我们试着举几个例子来说明上面表格的用法：例 1 ：马从河面左边的象位起步，要走到对方右手边車的位置，最少要走几步？ 解：H的坐标是（-2，5）而，且其中和均小于6，从表中我们知道应该是走3步、5步和7步都可以到到达H点，但是最少要走3步例 2 ：马自右边车位起步，要走到对方右手边車的车位上，最少要走几步？解：H的坐标是（-8，9），而，从表中可知最少要走7步。7）最后，我进行反复的重新对照，发现，我们所推论出来的表格于实际上描点获得的结果中，（2，2）至少需要4步才能到达，属于一个例外，其他个点都可以依照推论的结果找到最少的部署，所以我们将上面的表格修正为：马到达目的点的步数以马的起步点作为直角坐标的原点，马到达目的点的坐标为H（a，b）1当且与均时2当为的偶数且与均时但与不同时等于23当为的奇数且与均时4当为的偶数且与均时5当为的奇数6当为的偶数7当为的奇数最后要说的是，马是不是可以走遍棋盘上的每一个点？我们从棋盘构造的格数可以知道H（a，b）中最多不会超过 17（如例 2 ），而在表中凡是小于或等于17的奇数以及