高中数学 第一章 导数及其应用 习题课 导数的应用课件 新人教B版选修22.ppt

习题课导数的应用 第一章导数及其应用 学习目标1 能利用导数研究函数的单调性 2 理解函数的极值 最值与导数的关系 3 掌握函数的单调性 极值与最值综合应用 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间 a b 内的函数y f x 增 减 知识点二求函数y f x 的极值的方法 1 求导数f x 2 求方程的所有实数根 3 考察在每个根x0附近 从左到右 导函数f x 的符号变化 如果f x 的符号 则f x0 是极大值 如果 则f x0 是极小值 如果在f x 0的根x x0的左 右侧 f x 的符号不变 则f x0 由正变负 由负变正 f x 0 不是极值 题型探究 类型一构造法的应用 命题角度1比较函数值的大小 答案 解析 解析由f x sinx f x cosx 即f x sinx f x cosx 0 此类题目的关键是构造出恰当的函数 求出该函数的导数 利用单调性进而确定函数值的大小 反思与感悟 a a c bb b c ac a b cd c a b 解析 答案 解析令g x xf x 则g x xf x xf x g x 是偶函数 g x f x xf x 当x 0时 xf x f x 0 g x 在 0 上是减函数 g x 是偶函数 例2定义域为r的可导函数y f x 的导函数f x 满足f x f x 且f 0 2 则不等式f x 2ex的解集为a 0 b 2 c 0 d 2 命题角度2求解不等式 解析 答案 f x f x g x 0 不等式的解集为 0 故选c 构造恰当的函数并判断其单调性 利用单调性得到x的取值范围 反思与感悟 跟踪训练2已知函数f x 是定义在r上的奇函数且f 1 0 其导函数记为f x 当x 0时 满足xf x f x 0 则f x 0的解集为 1 0 1 解析 答案 当x 0时 g x 0 则g x 为增函数 由此可画出g x 的草图 如图 所以f x 0的解集为 1 0 1 类型二利用导数研究函数的单调性 极值与最值 解答 例3已知f x ax lnx x 0 e g x 其中e是自然对数的底数 a r 1 当a 1时 求函数f x 的单调区间和极值 所以当00 此时函数f x 为单调增函数 所以函数f x 的极小值为f 1 1 证明 2 求证 在 1 的条件下 f x g x 证明因为函数f x 的极小值为1 即函数f x 在 0 e 上的最小值为1 所以当00 此时g x 为单调增函数 解答 3 是否存在实数a 使f x 的最小值是3 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 解假设存在实数a 使f x ax lnx x 0 e 有最小值3 当a 0时 f x 0 f x 在 0 e 上为单调减函数 此时函数f x 的最小值不是3 此时函数f x 的最小值不是3 综上可知 存在实数a e2 使f x 的最小值是3 1 求极值时一般需确定f x 0的点和单调性 对于常见连续函数 先确定单调性即可得极值点 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值点必为函数的最值点 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断 只需要直接与端点的函数值比较即可获得 反思与感悟 跟踪训练3已知函数f x alnx a 0 a r 1 若a 1 求函数f x 的极值和单调区间 解答 令f x 0 得x 1 又f x 的定义域为 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 当x 1时 f x 的极小值为1 f x 的单调增区间为 1 单调减区间为 0 1 2 若在区间 0 e 上至少存在一点x0 使得f x0 0成立 求实数a的取值范围 解答 若在区间 0 e 上存在一点x0 使得f x0 0成立 其充要条件是f x 在区间 0 e 上的最小值小于0 f x 在区间 0 e 上单调递减 f x 在区间 0 e 上单调递减 显然 f x 在区间 0 e 上的最小值小于0不成立 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 得1 lnae 即a e 类型三导数的综合应用 例4已知函数f x ex cx c c为常数 e是自然对数的底数 f x 是函数y f x 的导函数 1 求函数f x 的单调区间 解答 解函数f x ex cx c的导数为f x ex c 当c 0时 f x 0恒成立 可得f x 的增区间为r 当c 0时 由f x 0 可得x lnc 由f x 0 可得x lnc 可得f x 的增区间为 lnc 减区间为 lnc 2 当c 1时 试求证 对任意的x 0 不等式f lnc x f lnc x 恒成立 证明 证明f lnc x f lnc x elnc x c lnc x c elnc x c lnc x c c ex e x 2x 设g x ex e x 2x x 0 则g x ex e x 2 即g x 0 所以g x 在 0 上为单调增函数 可得g x g 0 0 又c 1 则c ex e x 2x 0 可得不等式f lnc x f lnc x 恒成立 函数y f x 有两个相异的零点 证明 证明函数f x ex cx c的导数为f x ex c 当c 1时 f x 的增区间为 lnc 减区间为 lnc 可得f x 在x lnc处取得极小值 且为最小值 由f lnc elnc clnc c c clnc c clnc 0 可得f x 0有两个不等的实根 则函数y f x 有两个相异的零点 利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时 注意运用构造函数和转化思想 反思与感悟 跟踪训练4已知函数f x ax lnx 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线与直线2x y 1 0垂直 1 求a的值 解答 解函数f x 的定义域为 0 解答 2 函数g x f x m x 1 m r 恰有两个零点x1 x2 x1 x2 求函数g x 的单调区间及实数m的取值范围 解因为g x 1 m x 1 lnx x 0 当1 m 0即m 1时 g x 0 所以g x 在 0 上为单调减函数 此时只存在一个零点 不合题意 下面判断极小值的正负 设h m m ln 1 m m 1 当m 0时 h 0 0 即g x 极小值 0 此时g x 恰有一个零点不合题意 当x变化时 g x 与g x 的变化情况如下表 当m0 当0 m 1时 h m 0 所以h m 在 0 上为单调增函数 在 0 1 上为单调减函数 所以h m h 0 0 此时g x 恰有两个零点 综上 m的取值范围是 0 0 1 当堂训练 1 若函数y x3 2x2 mx是r上的单调函数 则实数m的取值范围是 答案 2 3 4 5 1 2 已知f x 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足xf x f x 0 对任意的正数a b 若a b 则必有a bf b af a b bf a af b c af a bf b d af b bf a 答案 2 3 4 5 1 解析 解析设g x xf x x 0 则g x xf x f x 0 g x 在区间 0 上为单调减函数或g x 为常函数 a b g a g b 即af a bf b 故选a 2 3 4 5 1 答案 解析 3 函数f x 的定义域为r f 1 1 对任意的x r f x 3 则f x 3x 4的解集为 1 解析设f x f x 3x 4 则f 1 f 1 3 4 1 1 0 又对任意的x r f x 3 f x f x 3 0 f x 在r上是增函数 f x 0的解集是 1 即f x 3x 4的解集为 1 4 对于r上可导的任意函数f x 若满足 x 1 f x 0 则f 0 f 2 与2f 1 的大小关系为 解析 答案 解析当x1时 f x 0 故f 1 0 由f x 的任意性知 f x 在 0 2 上有唯一的极小值f 1 即f 0 f 1 f 2 f 1 所以f 0 f 2 2f 1 2 3 4 5 1 f 0 f 2 2f 1 2 3 4 5 1 证明 5 已知x 0 求证 x sinx 证明设f x x sinx x 0 f x 1 cosx 0对x 0 恒成立 函数f x x