电磁场与微波技术(第1章).ppt

电磁场与微波技术ElectromagneticandMicrowaveTechnology江汉大学柯璇 第一章电磁场理论的数学基础 主要内容 正交曲线坐标系及其转换矢量的表示及其运算场论基础 梯度 散度和旋度 矢量场的Helmholtz定理常用坐标系 1 1正交曲线坐标系及其转换 正交曲线坐标系三维空间任意点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定 该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系称为正交曲线坐标系 三条正交曲线称为坐标轴 描述坐标轴的量称为坐标变量 P x y z x y z 2 正交曲线坐标系的变换 P x y z 三维空间中同一点可以用不同的正交曲线坐标系描述 不同坐标系之间存在相互变换关系 这种变换关系只能是一一对应的 在任何正交曲线坐标系有一组与坐标轴对应的单位矢量 如直角坐标系和圆柱坐标系等 坐标变量单位矢量特点 空间某点坐标变量的单位矢量的方向为对应坐标变量为常数的曲面的法矢 曲面单位法矢量 曲面单位法矢量 3 正交曲线坐标系中的弧长在直角坐标系中 空间任意点的坐标变量的微小变化 变化前后的弧长是 在正交曲线坐标系中 坐标变量的微小变化 对应的弧长改变量 称为度规 或称Lame 系数 1 矢量的概念 1 2矢量的表示及其运算 2 矢量的加减 图1 1矢量加减法 3 矢量的乘法 图1 2点积的图示 图1 3叉积的图示及右手螺旋 例1 1已知A ex3 ey4 ez2 B ex2 ey4 ez7 求 1 A B 2 A与B的夹角 3 A B 解 1 A B AxBx AyBy AzBz 3 2 4 4 2 7 36 2 3 ex 4 7 2 4 ey 2 2 3 7 ez 3 4 4 2 ex20 ey17 ez4 4 三矢量乘积 5 并矢 1 场的概念任何物理过程总是在一定空间上发生 对应的物理量在空间区域按特定的规律分布 如电荷在其周围空间激发电场的分布电流在周围空间激发磁场的分布地球上太阳及其他原因激发温度的分布在空间区域上每一点有确定物理量与之对应 称在该区域上定义了该物理量的场 1 3标量场的梯度 只有数值的大小而没有方向的场称为标量场既有数值的大小又有方向的场称为矢量场如果场与时间无关 称为静态场 反之为时变场 台湾海峡表面流速场数值分布 福建省 台湾岛 关于的场三个基本问题 1 场的基本性质及其分析方法 2 场与激励源的关系及相互作用 3 场与场的相互联系与相互作用 标量场同一数值各点在空间形成的曲面 2 标量场的等值面 实际应用中不仅需要了解宏观上场在空间的数值 还需要知道场在不同方向变化 方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化情况 方向性导数表示场沿方向的空间变化率 3 方向导数 场在某点处沿不同方向变化快慢程度 方向性导数 不同 必存在变化最快的方向 4 标量场的梯度 标量场梯度 矢量场 标量场在空间变化最快的方向及数值 5 梯度的性质 标量场的梯度是矢量场 它在空间某点的方向为该点场变化最快的方向 其数值为变化最大方向上场的空间变化率 标量场在某个方向上的方向导数 是梯度在该方向上的投影 标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系 这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究 或者说标量场可以通过矢量场的来研究 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面 或切平面 6 梯度运算的基本公式 7 正交曲线坐标系中梯度的表达式 1 4矢量场的散度 1 矢量场与矢量线在确定空间区域上的每一点有确定矢量与对应 称该空间区域上定义了一个矢量场 为描述矢量场的方向和数值 除直接用矢量的数值和方向来表示矢量场外 还用矢量线来描述矢量场分布 所谓矢量线是这样的曲线 其上每一点的切线方向为该点矢量场的方向 矢量线不能定量描述矢量场的大小 但过单位曲面积的矢量线的根数描述了矢量线的多少 引入通量的概念 在场区域的某点选取面元 穿过该面元矢量线的总数称为矢量场对于面积元的通量 2 矢量场的通量 矢量场对于曲面s的通量为曲面s上所有小面积元通的叠加 如果曲面s是闭合的 并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外 矢量场对闭合曲面的通量是 有净的矢量线流出有产生发散力线源 有净的矢量线流入有产生汇聚力线源 流入流出闭合曲面矢量线相等或没有矢量线流入和流出发散和汇聚力线源相等或没有产生力线源 考虑空间任意点 包含该点在内的小体积元 单位体积闭合曲面矢量场发散和汇聚力线强度 利用极限方法得到 为矢量场的散度 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限 3矢量场的散度 F 散度的三个结果的物理原因是什么 物理上的场 矢量场或标量场 都是相应的源激发的结果 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果一定与闭合曲面内有无产生矢量场的源直接相关 使闭合曲面通量不为零的激励源为通量源 矢量场对闭合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存在某种确定的关系 4 散度与源的关系 根据通量的物理意义 矢量场相对于小体积元的通量与体积元内的通量源成正比 其中为通量源密度 于是有 为比例常数 一般由实验获得 直接从散度的定义出发 不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场散度的积分 上式为矢量场的Gauss定理 4 Gauss定理 任意正交曲线坐标系中散度表达式为 5 散度的有关公式 1 矢量场的环量与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发 存在另一类不同于通量源的矢量源 它所激发的矢量场的力线是闭合的 它对于任何闭合曲面的通量为零 但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零 1 5矢量场的旋度 旋涡场 如 磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比 即 矢量场对于闭合曲线L的环量定义为 1 如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零 称该矢量场为无旋场 又称为保守场 2 如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零 称该矢量场为有旋矢量场 2 矢量场的旋度 旋度的定义为 矢量场在M点处的旋度为一矢量 其数值为包含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值 其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向 即 根据线积分的公式 直角坐标系中旋度的表达式为 根据线积分的公式 直角坐标系中旋度的表达式为 为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系 当闭合曲线L所围的面积趋于零时 矢量场对回路L的环量与旋涡源对于L所围的面积的通量成正比 即 J F n 3 旋度与漩涡源的关系 4 Stokes定理利用旋度的定义式 可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式 即Stokes定理 方向相反大小相等结果抵消 任意正交曲线坐标系中旋度的表达式为 5 旋度的有关公式 关于矢量场的三个基本问题 矢量场除有散和有旋外 是否有别的特性 是否存在不同于通量源和旋涡源的激励源 如何唯一的确定一个矢量场 1 6Helmholtz定理 Helmholtz定理空间区域V上的任意矢量场 如果它的散度 旋度和边界条件为已知 则该矢量场唯一并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加 即其中