数模论文——美赛选拔赛2.doc

摘要一、问题重述与分析本问题是关于摄像头安装的问题。题目要求我们用最少的摄像头数量全面覆盖展馆。摄像头的安装是现在房屋设计经常遇到的问题，摄像头太少展馆的管理不能到位，太多又会造成浪费，而且影响展览的效果。这样就要求我们既要能够覆盖到所有的展览品，又要节省资源不影响展览效果。根据的问题的提出，摄像头的安装不仅要覆盖到展馆的所有区域，而且尽可能少的使用资源。我们对展区3000平方英尺的区域内部（包括边界）以间距h进行分区设点，这样展馆能否被完全观察到时主要的约束，即展馆的每个点至少被一个摄像头观测到，由于我们假设摄像头均安装在墙面上，所以墙上某个点设置摄像头只有两种结果：装、不装。这样就可以用0与1标示，即0-1规划。二、基本假设1. 摄像头均安装在墙面上。2. 在监控期间所有摄像头都正常工作。3. 摄像头安装在人平均视线稍高的位置，不会阻碍人们欣赏展品。4. 三、符号说明：墙面上第i个点，沿展馆边缘从左下角以逆时针间距为h的各个点，是01变量（等于0时表示此处不安装摄像头；等于1时表示此处安装摄像头）。:代表在平面上的坐标bij：展区内第i行第j列的点。：展区内第bij个点到各个摄像头的距离。(是一个数组,):数组里面的数,代表bij与之间的距离4、 模型的建立4.1.问题一4.1.1 问题背景：一个艺术画廊要求在展区内的几个不同地方提供视频监控。The camera resolution is good up to 25 feet when still, and up to about 8 feet when scanning horizontally. 此外,一个摄像机镜头能观察到的角度大约为50度。 Most museums try to maximize the area available to display paintings and other exhibits, so their floor-plans are quite convoluted, with several panes standing in the middle of a room at odd angles, and corridors connecting exhibitions. 我们的任务是建立一个数学模型，并设计一个程序将用最少的摄影机来达到观察到全展区的目的。4.1.2 对图形数据量化首先对展区图形进行分区设点，如图1 bij 图4.1.1边缘处以间距h取点每行以间距h取点 yy。 。 x 每个点的坐标 ： 。 一一对应每个决策变量x ： 。图4.1.2如上图所示，我们定义各个点的表达方式，另外我们定义一个0 - 1决策变量。4.1.3.决策变量1 在点处设置监控摄像头0 在点处不设置监控摄像头4. 1.4.模型的建立一：确定摄像头安装的位子 当摄像头安装完毕时，展区内的区域应被完全覆盖。现在做一个近似处理，当展区内每一点被摄像头覆盖时，展区被摄像头完全覆盖。为了使每一个被摄像头覆盖。我们引进了变量 ，代表展区内第个点到各个摄像头的距离。若其小于等于25英尺，表示这个点能被安放在点的摄像头覆盖；若其大于25英尺，表示这个点不能被安放在点的摄像头覆盖。为了方便编程，我们对做处理：1 0 同时这也作为我们一个约束变量来考虑。二：摄像头能覆盖到的区域有限 一个固定的摄像头能覆盖到的角度是在50度以内的扇形（半径为25）区域，也就是说50度之外，我们就要安装下一个摄像头来确保展区内所有的区域都能被覆盖到，这就是第二个约束条件。三：展区当中会存在一些障碍物阻隔掉摄像头的观察视线 展区当中会存在一些障碍物，如隔板之类的，从而会阻隔掉我们所安装的摄像头的观察视线，导致有些展区内的地方不能被观察和覆盖到。对此，我们也有一个解决方案： 若b和a之间有障碍，导致安放在a的摄像头不能覆盖b，那么令D（）=0在上述变量分析的基础上建立模型。目标函数为安装的摄像头数目最少，约束条件为:对于所有的展区都有大于至少等于一个摄像头能监控到。目标函数基于摄像头数目最少: 约束条件： （1）根据问题的分析,用距离乘以0 - 1决策变量就得到了该展区能被多少个摄像头观察到,再令结果大于等于0，就可以得出约束条件。 约束条件为： （2）每个摄像头的角度要控制在50度以内。 约束条件为： （）综上所述建模模型如下: 目标函数: 约束条件: 1. 2. 3. = 0, 1由于能力有限，对于摄像头角度（50度）问题不能用编程的方法，将其编成计算机能识别的语言，现在用一个折中的办法来解决这个问题：首先，目标函数不变，将约束条件1和约束条件3作为新的约束条件来求解，确定摄像头安放的位子，然后，通过画CAD图和程序来确定：在摄像头安放的每一个位子上安放摄像头的数量。4.1.5.模型求解结果4.2.问题二4.2.1问题背景：一些博物馆有