直线与 圆锥曲线的关系.doc

直线与圆锥曲线的位置关系（高三复习课）考纲要求与考题形式n 考纲对圆锥曲线要求是：椭圆是掌握，双曲线、抛物线是了解，因此，重点在椭圆n 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法n 以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系和性质n 直线与圆锥曲线相交，涉及弦长，中点，面积，对称，存在性等问题的计算和证明是高考考查的重点1.直线与圆锥曲线(以椭圆为例)的位置关系的判断方法直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交,相切,相离这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)，圆锥曲线C1：f(x,y)=0,即将直线l的方程与圆锥曲线C1的方程联立，消去y便得到关于x的方程ax2+bx+c=0(当然，也可以消去x得到关于y的方程)，通过方程解的情况判断直线l与圆锥曲线C1的位置关系，见如下对应关系：0 两个不等的解 两个交点=0 两个相等的解 一个交点b0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x=于点Q.若点Q的坐标为(4，4)，求椭圆C的方程；证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.【例1解答】(1)直线y=4x+m与椭圆 =1联立，消去y得：67x2+32mx+4(m2-3)=0，由已知，其判别式=(32m)2-4674(m2-3)0,解得：m267,即： - m0)，且设P(x1,y1),Q(x2,y2). =4b2-4(a+b)(b-1)=4(a+b-ab).OPOQ, x1x2+y1y2=0. x1x2+(x1+1)(x2+1)=0,2x1x2+x1+x2+1=0 代入得a+b=2,|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2(x1+x2)2-4x1x2即4b2-8b+3=0, b= 或b=a+b=2且考向 3 探究性、存在性问题 【典例3】(2012福建高考)如图，椭圆E： =1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e = . 过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程.(2)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【例3解答】 (1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8，即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8，又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以4a=8,a=2.又因为e= , 即 所以c=1,所以b= 故椭圆E的方程是(2)探究：假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.取k=0,m= ，此时P(0, ),Q(4, ),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y- )2=4，交x轴于点M1(1,0),M2(3,0)；取k=0,m=- ，此时P(0, - ),Q(4, - ),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y+ )2=4，交x轴于点M1(1,0),M2(3,0)；取k=-m=2,此时P(1, ),Q(4,0)，以PQ为直径的圆为(x- )2+(y- )2= ,交x轴于点M3(1，0)，M4(4,0).所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1，0).以下给出证明： (4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0)，所以m0且=0, 即64k2m2- 4(4k2+3)(4m2-12)=0，化简得4k2-m2+3=0.(*)此 时x0=所以P( ).假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x上.设M(x1,0)，则 =0对满足(*)式的m,k恒成立.因为 =( ), =(4-x1,4k+m),由 =0，得 整理，得(4x1-4) + x - 4x1+3=0.(*)由于(*)式对满足(*)式的m,k恒成立，所以故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.1.(2013天津模拟)设双曲线 =1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )2.(2013衡水模拟)直线3x-4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+(y-1)2=1从左到右的交点依次为A，B，C，D.则的值为( )(A)16 (B) (C)4 (D)3.(2013徐州模拟)已知双曲线方程是x2 - =1，过定点P(2，1),作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是_.4.(2013北京模拟)已知椭圆C： =1(ab0)，过点B(0，1)，离心率为 (1)求椭圆C的方程.(2)是否存在过点P(0，2)的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，且使 PM=2PN成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.5.如图，在x轴上方有一段曲线弧，其端点A，B在x轴上(但不属于)，对上任一点P及点F1(-1，0)，F2(1，0)，满足：|PF1|+|PF2|