高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教B版选修22.ppt

2 1 1合情推理 第二章 2 1合情推理与演绎推理 学习目标1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一推理 1 推理的概念与分类 1 根据一个或几个得出一个判断 这种思维方式就是推理 2 推理一般由两部分组成 一部分是已知的事实 或假设 叫做 一部分是由已知推出的判断 叫做 3 推理一般分为与 2 合理推理前提为真时 结论的推理 叫做合情推理 常用的合情推理有和 已知事实 或假设 前提 结论 合情推理 演绎推理 可能为真 归纳推理 类比推理 知识点二归纳推理 思考 1 铜 铁 铝 金 银等金属都能导电 猜想 一切金属都能导电 2 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 以上属于什么推理 答案 答案属于归纳推理 符合归纳推理的定义特征 归纳推理 1 定义 根据一类事物的部分对象具有某种性质 推出这类事物的都具有这种性质的推理 叫做归纳推理 简称归纳 归纳是从到的过程 2 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些 从已知的中推出一个明确表述的命题 猜想 梳理 所有对象 特殊 一般 相同性质 一般性 相同性质 知识点三类比推理 思考 由三角形的性质 三角形的两边之和大于第三边 三角形面积等于高与底乘积的 可推测出四面体具有如下性质 1 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 2 四面体的体积等于底面积与高乘积的 该推理属于什么推理 答案 答案类比推理 类比推理 1 定义 根据两类不同事物之间具有某些类似 或一致 性 推测其中一类事物具有与另一类事物的性质的推理 叫做类比推理 简称类比 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的或 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个的命题 猜想 梳理 类似 或相同 相似性 一致性 明确 题型探究 例1 1 观察下列等式 类型一归纳推理 命题角度1数 式中的归纳推理 据此规律 第n个等式可为 解析等式左边的特征 第1个有2项 第2个有4项 第3个有6项 且正负交错 故第n个等式左边有2n项且正负交错 应为 等式右边的特征 第1个有1项 第2个有2项 第3个有3项 故第n个等式右边有n项 且由前几个等式的规律不难发现 第n个等式右边应为 答案 解析 答案 解析 又 fn x fn 1 fn 1 x 引申探究在本例 2 中 若把 fn x fn 1 fn 1 x 改为 fn x f fn 1 x 其他条件不变 试猜想fn x n n 的表达式 解答 又 fn x f fn 1 x 1 已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形成的特征 提炼出等式 或不等式 的综合特点 运用归纳推理得出一般结论 2 数列中的归纳推理 在数列问题中 常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和 根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式 反思与感悟 答案 解析 答案 解析 例2如图 第n个图形是由正n 2边形 扩展 而来 n 1 2 3 则第n个图形中顶点的个数为a n 1 n 2 b n 2 n 3 c n2d n 命题角度2几何中的归纳推理 答案 解析 解析由已知图形我们可以得到 当n 1时 顶点共有12 3 4 个 当n 2时 顶点共有20 4 5 个 当n 3时 顶点共有30 5 6 个 当n 4时 顶点共有42 6 7 个 则第n个图形共有顶点 n 2 n 3 个 故选b 图形中归纳推理的特点及思路 1 从图形的数量规律入手 找到数值变化与数量的关系 2 从图形结构变化规律入手 找到图形的结构每发生一次变化后 与上一次比较 数值发生了怎样的变化 反思与感悟 答案 解析 跟踪训练2黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第n个图案中有黑色地面砖的块数是 5n 1 解析观察图案知 从第一个图案起 每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6 公差为5的等差数列 从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6 n 1 5 5n 1 类型二类比推理 解答 解对平面凸四边形 1 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要 选择适当的类比对象 可以从几何元素的数目 位置关系 度量等方面入手 由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论 2 平面图形与空间图形的类比如下 反思与感悟 跟踪训练3 1 若数列 an n n 是等差数列 则有数列bn n n 也是等差数列 类比上述性质 相应地 若数列 cn 是等比数列 且cn 0 则有数列dn n n 也是等比数列 答案 解析 2 如图所示 在 abc中 射影定理可表示为a b cosc c cosb 其中a b c分别为角a b c的对边 类比上述定理 写出对空间四面体性质的猜想 解答 解如图所示 在四面体p abc中 设s1 s2 s3 s分别表示 pab pbc pca abc的面积 依次表示面pab 面pbc 面pca与底面abc所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间 其表现形式应为s s1 cos s2 cos s3 cos 当堂训练 1 有一串彩旗 代表蓝色 代表黄色 两种彩旗排成一行 那么在前200个彩旗中黄旗的个数为a 111b 89c 133d 67 答案 2 3 4 5 1 解析 解析观察彩旗排列规律可知 颜色的交替成周期性变化 周期为9 每9个旗子中有3个黄旗 则200 9 22余2 则200个旗子中黄旗的个数为22 3 1 67 故选d 2 下列平面图形中 与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是a 三角形b 梯形c 平行四边形d 矩形 答案 2 3 4 5 1 解析 解析因为平行六面体相对的两个面互相平行 类比平面图形 则相对的两条边互相平行 故选c 3 观察下列各式 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 可以得到的一般结论是a n n 1 n 2 3n 2 n2b n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2c n n 1 n 2 3n 1 n2d n n 1 n 2 3n 1 2n 1 2 答案 2 3 4 5 1 解析 解析观察容易发现根据n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 2 3 4 5 1 解析 答案 5 在长方形abcd中 对角线ac与两邻边所成的角分别为 cos2 cos2 1 则在立体几何中 给出类比猜想并证明 解答 2 3 4 5 1 于是类比到长方体中 猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 证明如下 2 3 4 5 1 规律与方法 1 用归纳推理可从具体事例中发现一般规律 但应注意 仅根据一系列有限的特殊事例 所得出的一般结论不一定可靠 其结论的正确与否 还要经过严格的理论证明 2 进行类比推理时 要尽量从本质