高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用二学案苏教版选修.docx

1.5.2二项式系数的性质及应用(二)学习目标1.进一步理解并掌握二项式系数的性质.2.能解决二项式系数的最大、最小问题.3.会解决整除问题知识点二项式系数的性质一般地，(ab)n展开式的二项式系数C，C，C有如下性质：(1)C_.(2)CC_.(3)当r时，C_；当r时，_C.(4)CCCC_.特别提醒：(1)当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以和(两者相等)最大(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和相等，即CCCCC2n1.类型一二项式系数或系数最大项问题例1(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项反思与感悟(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得跟踪训练1在()8的展开式中：(1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项类型二利用二项式定理解决整除问题例2求证：2n23n5n4(nN*)能被25整除反思与感悟利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的因数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数跟踪训练2求证：51511能被7整除1若(x3)n(nN*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为_2今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期_3设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a_.4已知n展开式中的第5项是常数，则展开式中系数最大的项是第_项5已知(ab)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n_.1二项式系数的性质求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大的项的问题，可设第r1项的系数Tr1最大，则满足不等式由不等式组解出r的值3余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生(2)整除问题整除问题实际上就是判断余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路答案精析知识梳理知识点(1)C(2)C(3)CC(4)2n题型探究例1解T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8.(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有解得5r6.r5或r6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.跟踪训练1解Tr1C()8r()r(1)rC2r(r0,1,2，8)(1)设第r1项系数的绝对值最大，则解得5r6.又0r8，rN，r5或r6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项(2)二项式系数最大的项为中间项，即第5项，T5C24x61 120x6.(3)由(1)知，展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，系数最大的项为T7C26x111 792x11.例2证明原式46n5n44(51)n5n44(C5nC5n1C5n2C)5n44(C5nC5n1C52C51)4C5n44(C5nC5n1C52)20n45n44(C5nC5n1C52)25n.以上各项均为25的整数倍，故2n23n5n4能被25整除跟踪训练2证明51511(492)511C4951C49502C49250C2511.易知除C2511以外各项都能被7整除又C25