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第2课时数学归纳法应用举例(习题课)一、选择题1用数学归纳法证明1rr2rn(nn，r1)，在验证n0时，左端计算所得项为()a1 br c1r d1rr2答案a2n条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f(n)，则f(n1)f(n)等于()an bn1c.n(n1) d.n(n1)答案a3设f(n) (nn*)，那么f(n1)f(n)等于()a. b.c. d.答案d4在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()an1成立 bn2成立cn3成立 dn4成立答案c5用数学归纳法证明“n1 (nn*)”第二步证nk1时(n1已验证，nk已假设成立)，这样证明：时，f(2k1)比f(2k)多的项数是_答案2k三、解答题8已知sn1(n1，nn*)求证：s2n1(n2，nn*)证明(1)当n2时，s2n11，不等式成立. (2)假设nk (k2)时不等式成立，即s2k11，当nk1时，s2k111111.故当nk1时不等式也成立，综合(1)(2)知，对任意nn*，n2，不等式s2n1都成立. 9平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)个部分证明(1)当n1时，一条直线把平面分成两部分，而f(1)2，命题成立(2)假设当nk (k1)时命题成立，即k条直线把平面分成f(k)个部分则当nk1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k1段，每一段把它所在的平面区域分成两部分，故新增加了k1个平面部分f(k1)f(k)k1k1，当nk1时命题成立由(1)(2)可知，当nn*时，命题成立10已知函数f(x)x3x2，且存在x0，使f(x0)x0.(1)证明：f(x)是r上的单调增函数；(2)设x10，xn1f(xn)，y1，yn1f(yn)，其中n1,2，.证明：xnxn1x0yn1yn；(3)证明：0，f(x)是r上的单调增函数(2)0x0，即x1x0y1.又f(x)是增函数，f(x1)f(x0)f(y1)，即x2x00x1，y2f(y1)fy1.综上，x1x2x0y2y1.用数学归纳法证明如下：当n1时，上面已证明成立假设当nk(k1)时，有xkxk1x0yk1yk.当nk1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)f(xk1)f(x0)f(yk1)f(yk)xk1xk2x0yk2yk1.由和对一切n1,2，都有xnxn1x
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