辽宁省凌海市石山镇中考数学复习 第二部分 突破重点题型 赢取考场高分 题型8 几何探究问题课件.ppt

第二部分突破重点题型赢取考场高分 题型8几何探究问题 常考类型突破 类型1从特殊到一般的渐进型几何图形的探究与应用 例1 2017 乐山中考 在四边形abcd中 b d 180 对角线ac平分 bad 1 如图1 若 dab 120 且 b 90 试探究边ad ab与对角线ac的数量关系并说明理由 2 如图2 若将 1 中的条件 b 90 去掉 1 中的结论是否成立 请说明理由 3 如图3 若 dab 90 探究边ad ab与对角线ac的数量关系并说明理由 一 操作发现 猜想论证 延伸探究 思路分析 1 结论 ac ad ab 只要证明ad ac ab ac即可 2 1 中的结论成立 以c为顶点 ac为一边作 ace 60 ace的另一边交ab延长线于点e 只要证明 dac bec即可 3 结论 ad ab ac 过点c作ce ac交ab的延长线于点e 只要证明 ace是等腰直角三角形 dac bec即可 解 1 ac ad ab 理由如下 在四边形abcd中 d b 180 b 90 d 90 dab 120 ac平分 bad dac bac 60 b 90 ab ac 同理可得ad ac ac ad ab 2 1 中的结论成立 理由如下 以c为顶点 ac为一边作 ace 60 ace的另一边交ab延长线于点e 如图1 bac 60 aec为等边三角形 ac ae ce d b 180 dab 120 dcb 60 dca bce d abc 180 abc ebc 180 d cbe ca ce dac bec ad be ac ad ab 3 结论 ad ab ac 理由如下 过点c作ce ac交ab的延长线于点e 如图2 d b 180 dab 90 dcb 90 ace 90 dca bce 又 ac平分 dab cab 45 e 45 ac ce 又 d b 180 d cbe cda cbe ad be ad ab ae 在rt ace中 cab 45 ae ac ad ab ac 满分技法 本题考查了四边形的性质 等边三角形的性质 等腰直角三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质等知识 解题的关键是学会添加常用辅助线 构造全等三角形解决问题 属于中考常考题型 二 探究发现 数学思考 拓展应用 例2 2017 长春中考 再现 如图1 在 abc中 点d e分别是ab ac的中点 可以得到 de bc 且de bc 不需要证明 探究 如图2 在四边形abcd中 点e f g h分别是ab bc cd da的中点 判断四边形efgh的形状 并加以证明 应用 在 1 探究 的条件下 四边形abcd中 满足什么条件时 四边形efgh是菱形 你添加的条件是 只添加一个条件 2 如图3 在四边形abcd中 点e f g h分别是ab bc cd da的中点 对角线ac bd相交于点o 若ao oc 四边形abcd面积为5 则阴影部分图形的面积和为 思路分析 探究 利用三角形的中位线定理可得出hg ef ef gh 继而可判断出四边形efgh的形状 应用 1 同 探究 的方法判断出ef ac 即可判断出ef fg 即可得出结论 2 先判断出s bcd 4s cfg 同理可得s abd 4s aeh 进而得出s四边形efgh 再判断出om on 进而得出s阴影 s四边形efgh即可 满分技法 此题是四边形综合题 主要考查了三角形的中位线定理 平行四边形的判定 菱形的判定 相似三角形的判定和性质 解 探究 的关键是推出hg ac hg ac 解 应用 的关键是推出s四边形efgh 三 观察分析 类比猜想 归纳概括 拓展应用 例3 2017 衢州中考 问题背景如图1 在正方形abcd的内部 作 dae abf bcg cdh 根据三角形全等的条件 易得 dae abf bcg cdh 从而得到四边形efgh是正方形 类比探究如图2 在正 abc的内部 作 bad cbe acf ad be cf两两相交于d e f三点 d e f三点不重合 1 abd bce caf是否全等 如果是 请选择其中一对进行证明 2 def是否为正三角形 请说明理由 3 进一步探究发现 abd的三边存在一定的等量关系 设bd a ad b ab c 请探索a b c满足的等量关系 思路分析 1 由正三角形的性质得出 cab abc bca 60 ab bc 证出 abd bce 由asa证明 abd bce即可 2 由全等三角形的性质得出 adb bec cfa 证出 fde def efd 即可得出结论 3 作ag bd于点g 由正三角形的性质得出 adg 60 在rt adg中 dg b ag b 在rt abg中 由勾股定理即可得出结论 解 1 abd bce caf 理由如下 abc是正三角形 cab abc bca 60 ab bc abd abc 2 bce acb 3 2 3 abd bce 在 abd和 bce中 abd bce asa 2 def是正三角形 理由如下 abd bce caf adb bec cfa fde def efd def是正三角形 满分技法 本题是综合题目 考查了正三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理等知识 本题综合性较强 熟练掌握正三角形的判定与性质 证明三角形全等是解决问题的关键 满分必练 1 2017 盐城中考 探索发现 如图1 是一张直角三角形纸片 b 90 小明想从中剪出一个以 b为内角且面积最大的矩形 经过多次操作发现 当沿着中位线de ef剪下时 所得的矩形的面积最大 随后 他通过证明验证了其正确性 并得出 矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 拓展应用 如图2 在 abc中 bc a bc边上的高ad h 矩形pqmn的顶点p n分别在边ab ac上 顶点q m在边bc上 则矩形pqmn面积的最大值为 用含a h的代数式表示 灵活应用 如图3 有一块 缺角矩形 abcde ab 32 bc 40 ae 20 cd 16 小明从中剪出了一个面积最大的矩形 b为所剪出矩 形的内角 求该矩形的面积 实际应用 如图4 现有一块四边形的木板余料abcd 经测量ab 50cm bc 108cm cd 60cm 且tanb tanc 木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点m n在边bc上且面积最大的矩形pqmn 求该矩形的面积 满分技法 本题是四边形的综合题 熟练掌握中位线定理 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键 满分必练 2 2017 镇江中考 回顾 如图1 abc中 b 30 ab 3 bc 4 则 abc的面积等于 探究 图2是同学们熟悉的一副三角尺 一个含有30 的角 较短的直角边长为a 另一个含有45 的角 直角边长为b 小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形abcd 如图3 用了两种不同的方法计算它的面积 从而推出sin75 小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形efgh 如图4 也推出sin75 请你写出小明或小丽推出sin75 的具体说理过程 应用 在四边形abcd中 ad bc d 75 bc 6 cd 5 ad 10 如图5 1 点e在ad上 设t be ce 求t2的最小值 2 点f在ab上 将 bcf沿cf翻折 点b落在ad上的点g处 点g是ad的中点吗 说明理由 满分必练 3 2017 台州中考 在平面直角坐标系中 借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根 比如对于方程x2 5x 2 0 操作步骤是 第一步 根据方程的系数特征 确定一对固定点a 0 1 b 5 2 第二步 在坐标平面中移动一个直角三角板 使一条直角边恒过点a 另一条直角边恒过点b 第三步 在移动过程中 当三角板的直角顶点落在x轴上点c处时 点c的横坐标m即为该方程的一个实数根 如图1 第四步 调整三角板直角顶点的位置 当它落在x轴上另一点d处时 点d的横坐标n即为该方程的另一个实数根 1 在图2中 按照 第四步 的操作方法作出点d 请保留作出点d时直角三角板两条直角边的痕迹 2 结合图1 请证明 第三步 操作得到的m就是方程x2 5x 2 0的一个实数根 3 上述操作的关键是确定两个固定点的位置 若要以此方法找到一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 b2 4ac 0 的实数根 请你直接写出一对固定点的坐标 4 实际上 3 中的固定点有无数对 一般地 当m1 n1 m2 n2与a b c之间满足怎样的关系时 点p m1 n1 q m2 n2 就是符合要求的一对固定点 满分必练 4 2017 连云港中考 问题呈现 如图1 点e f g h分别在矩形abcd的边ab bc cd da上 ae dg 求证 2s四边形efgh s矩形abcd s表示面积 实验探究 某数学实验小组发现 若图1中ah bf 点g在cd上移动时 上述结论会发生变化 分别过点e g作bc边的平行线 再分别过点f h作ab边的平行线 四条平行线分别相交于点a1 b1 c1 d1 得到矩形a1b1c1d1 如图2 当ah bf时 若将点g向点c靠近 dg ae 经过探索 发现 2s四边形efgh s矩形abcd s矩形a1b1c1d1 如图3 当ah bf时 若将点g向点d靠近 dg ae 请探索s四边形efgh s矩形abcd与s矩形a1b1c1d1之间的数量关系 并说明理由 迁移应用 请直接应用 实验探究 中发现的结论解答下列问题 1 如图4 点e f g h分别是面积为25的正方形abcd各边上的点 已知ah bf ae dg s四边形efgh 11 hf 求eg的长 2 如图5 在矩形abcd中 ab 3 ad 5 点e h分别在边ab ad上 be 1 dh 2 点f g分别是边bc cd上的动点 且fg 连接ef hg 请直接写出四边形efgh面积的最大值 例4 2017 绍兴中考 已知 abc ab ac d为直线bc上一点 e为直线ac上一点 ad ae 设 bad cde 1 如图 若点d在线段bc上 点e在线段ac上 如果 abc 60 ade 70 那么 求 之间的关系式 2 是否存在不同于以上 中的 之间的关系式 若存在 求出这个关系式 求出一个即可 若不存在 说明理由 类型2与图形变换有关的几何综合题 一 图形变换后 结论改变型 思路分析 1 先利用等腰三角形的性质求出 dae 进而求出 bad 即可得出结论 利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论 2 当点e在ca的延长线上 点d在线段bc上 同 1 的方法即可得出结论 当点e在ca的延长线上 点d在cb的延长线上 同 1 的方法即可得出结论 解 1 ab ac abc 60 bac 60 ad ae ade 70 dae 180 2 ade 40 bad 60 40 20 adc bad abd 20 60 80 cde adc ade 10 故答案为 20 10 设 abc x ade y acb x aed y 在 dec中 y x 在 abd中 x y x 2 2 当点e在ca的延长线上 点d在线段bc上 如图1 设 abc x ade y acb x aed y 在 abd中 x y 在 dec中 x y 180 2 180 当点e在ca的延长线上 点d在cb的延长线上 如图2 同 的方法可得 180 2 满分技法 这类探究问题的设问 常以适合某种条件的结论 成立 不成立 是否成立 等语句加以表述 从已知条件出发 经过推理能够推出证明结论是否成立 二 图形变换后 结论不变型 例5 在四边形abcd中 对角线ac bd交于点o 若四边形abcd是正方形如图1 则有ac bd ac bd 旋转图1中的rt cod到图2所示的位置 ac 与bd 有什么关系 直接写出 若四边形abcd是菱形 abc 60 旋转rt cod至图3所示的位置 ac 与bd 又有什么关系 写出结论并证明 思路分析 图2 根据四边形abcd是正方形 得到ao oc bo od ac bd 根据旋转的性质得到od od oc oc d od c oc 等量代换得到ao bo oc od aoc bod 根据全等三角形的性质得到ac bd oac obd 即可得到结论 图3 根据四边形abcd是菱形 得到ac bd ao co bo do 求得ob oa od oc 根据旋转的性质得到od od oc oc d od c oc 求得od oc aoc bod 根据相似三角形的性质得到bd ac 即可得出结论 解 图2结论 ac bd ac bd 理由 四边形abcd是正方形 ao oc bo od ac bd 将rt cod旋转得到rt c od od od oc oc d od c oc ao bo oc od aoc bod 在 aoc 与 bod 中 aoc bod sas ac bd oac obd ao d bo o o bo bo o 90 o ac ao d 90 ac bd 满分技法 1 解决探究性问题的关键是对题型中的变量过程进行分析 把握原有图形的特点 探究变化量的特点 借用类比思想逐步解题 2 一般情况下 每一问采取的方法步骤基本相同 可概括为 方法类似 思路顺延 类比渗透 知识迁移 满分必练 5 2017 舟山中考 如图 am是 abc的中线 d是线段am上一点 不与点a重合 de ab交ac于点f ce am 连接ae 1 如图1 当点d与m重合时 求证 四边形abde是平行四边形 2 如图2 当点d不与m重合时 1 中的结论还成立吗 请说明理由 3 如图3 延长bd交ac于点h 若bh ac 且bh am 求 cam的度数 当fh dm 4时 求dh的长 解 1 证明 如图1 de ab edc abm ce am ecd adb am是 abc的中线 且d与m重合 bd dc abd edc ab ed ab ed 四边形abde是平行四边形 2 结论还成立 理由如下 如图2中 过点m作mg de交ce于点g ce am 四边形dmge是平行四边形 ed gm 且ed gm 由 1 可知ab gm ab gm ab de ab de 四边形abde是平行四边形 3 如图3中 取线段hc的中点i 连接mi bm mc mi是 bhc的中位线 例6 2017 海南中考 如图 四边形abcd是边长为1的正方形 点e在ad边上运动 且不与点a和点d重合 连接ce 过点c作cf ce交ab的延长线于点f ef交bc于点g 1 求证 cde cbf 2 当de 时 求cg的长 3 连接ag 在点e运动过程中 四边形ceag能否为平行四边形 若能 求出此时de的长 若不能 说明理由 类型3与动点有关的几何综合问题 思路分析 1 先判断出 cbf 90 进而判断出 1 3 即可得出结论 2 先求出af ae 再判断出 gbf eaf 可求出bg 即可得出结论 3 假设是平行四边形 先判断出de bg 进而判断出 gbf和 ecf是等腰直角三角形 即可得出 gfb cfe 45 即可得出结论 解 1 证明 在正方形abcd中 dc bc d abc dcb 90 cbf 180 abc 90 1 2 dcb 90 cf ce ecf 90 3 2 ecf 90 1 3 在 cde和 cbf中 3 不能 理由如下 若四边形ceag是平行四边形 则必须满足ae cg ae cg ad ae bc cg de bg 由 1 知 cde cbf de bf ce cf gbf和 ecf是等腰直角三角形 gfb 45 cfe 45 cfa gfb cfe 90 此时点f与点b重合 点d与点e重合 与题目条件不符 在点e在运动过程中 四边形ceag不能是平行四边形 满分技法 解决这类题的基本思路是 以静制动 将运动的元素看成静止的元素 解题时 要对几何元素的运动的全过程有一个清晰 完整的认识 从特殊情形入手 再过渡到一般情形 注意临界位置 变中求不变 动中求静 以静制动 化动为静 把动态的问题转化为静态的问题来解决 从而找到 动 与 静 的联系 揭示问题的本质 发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系 从而找到解决问题的突破口 也就