【导与练】高考数学 试题汇编 第五节抛物线 文（含解析）.doc

第五节抛物线 抛物线的定义及其应用考向聚焦高考热点,主要考查与抛物线的定义有关的最值、距离、轨迹等问题,单独命题一般以选择题、填空题形式出现;大多渗透于解答题中,难度中档,所占分值45分备考指津训练题型:(1)与抛物线有关的轨迹问题,注意分析问题的能力的训练;(2)最值问题,注意转化与化归思想的培养.(3)距离问题,注意解题方法的训练1.(2012年四川卷,文9,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点o,并且经过点m(2,y0).若点m到该抛物线焦点的距离为3,则|om|等于()(a)22(b)23(c)4(d)25解析:因为抛物线的对称轴是x轴,且过点m(2,y0),点m到焦点的距离为3,所以p=2,抛物线的方程为y2=4x,|om|=22+y02=4+42=23,故选b.答案:b.2.(2011年新课标全国卷,文9)已知直线l过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直,l与c交于a,b两点,|ab|=12,p为c的准线上一点,则abp的面积为()(a)18(b)24(c)36(d)48解析:设抛物线方程为y2=2px(p0),f为抛物线焦点,则直线l垂直于x轴,af=122=6,abp的边ab上的高h=6,sabp=12126=36.故选c.答案:c.3.(2011年广东卷,文8)设圆c与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y =0相切,则c的圆心轨迹为()(a)抛物线(b)双曲线(c)椭圆(d)圆解析:由题意知动圆圆心c到点(0,3)距离与到定直线y=-1的距离相等,故轨迹为抛物线.故选a.答案:a.4.(2011年辽宁卷,文7)已知f是抛物线y2=x的焦点,a,b是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,则线段ab的中点到y轴的距离为()(a)34(b)1(c)54(d)74解析:如图:由抛物线定义知|aa1|+|bb1|=|af|+|bf|=3,则梯形aa1b1b的中位线|cc1|=32,从而ab中点c到y轴的距离为d=32-14=54.故选c.答案:c.5.(2010年四川卷,文3)抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()(a)1(b)2(c)4(d)8解析:y2=8x,p=4,焦点到准线的距离:p2-(-p2)=p=4.故选c.答案:c.6.(2010年湖南卷,文5)设抛物线y2=8x上一点p到y轴的距离是4,则点p到该抛物线焦点的距离是()(a)4(b)6(c)8(d)12解析:抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,且抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由题意知,点p到焦点的距离等于4-(-2)=6.故选b.答案:b.7.(2012年安徽卷,文14,5分)过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点.若|af|=3,则|bf|=.解析:抛物线焦点坐标(1,0),准线方程x=-1,由|af|=3知点a(xa,ya)到准线距离为3,所以xa=2,得ya=22,不妨设ya=22.因此直线ab的方程为y=22(x-1)代入抛物线方程8(x-1)2=4x,于是(2x-1)(x-2)=0,所以xb=12,(xb=2舍去),于是点b到准线距离为32,所以|bf|=32.答案:328.(2012年陕西卷,文14,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.解析:先以拱顶为原点,建立直角坐标系,设水面和拱桥交点a(2,-2),则抛物线方程为x2=-2py,代入得22=-2p(-2),2p=2,x2=-2y,当水面下降1米时,水面和拱桥的交点记作b(a,-3)则代入抛物线方程得:a=6,因此水面宽26米.答案:269.(2010年上海卷,文8)动点p到点f(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点p的轨迹方程为.解析:由抛物线定义得p点的轨迹为焦点在x轴上的抛物线,又p2=2,p=4,y2=8x.答案:y2=8x抛物线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容,主要从两个方面进行考查:(1)给出抛物线方程研究其几何性质;(2)利用几何性质求抛物线方程,一般为选择题、填空题,难度不大,所占分值5分左右10.(2011年陕西卷,文2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()(a)y2=-8x(b)y2=-4x(c)y2=8x(d)y2=4x解析:由抛物线准线方程为x=-2知抛物线方程为y2=8x.故选c.答案:c.11.(2011年山东卷,文9)设m(x0,y0)为抛物线c:x2=8y上一点,f为抛物线c的焦点,以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交,则y0的取值范围是()(a)(0,2)(b)0,2(c)(2,+)(d)2,+)解析:设圆的半径为r,因为f(0,2)是圆心,抛物线c的准线方程为y=-2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r4.又因为点m(x0,y0)为抛物线x2=8y上一点,所以有x02=8y0.又点m(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上.所以x02+(y0-2)2=r216,所以8y0+(y0-2)216,即有y02+4y0-120,解得y02或y02.故选c.答案:c.12.(2011年湖北卷,文4)将两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则()(a)n=0(b)n=1(c)n=2(d)n3解析:设抛物线上点a(y122p,y1),b(y222p,y2),且y1y2,焦点f(p2,0),由|af|=|bf|得(y12-y22)(y12+y22+2p24p2)=0,y1y2,y1=-y2.a、b关于x轴对称.过点f作直线y=33(x-p2),y=-33(x-p2)分别与抛物线有2个交点.等边三角形有afb和afb共2个,故选c.答案:c.13.(2010年山东卷,文9)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()(a)x=1(b)x=-1(c)x=2(d)x=-2解析:如图,焦点f(p2,0),设a(x1,y1),b(x2,y2),ab中点m(x0,y0),则ab直线方程为y=x-p2,由y=x-p2y2=2px消去x得:y2-2py-p2=0,y1+y2=2p,y0=y1+y22=p,p=2,准线方程为x=-p2=-1.故选b.答案:b.14.(2010年陕西卷,文9)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()(a)12(b)1(c)2(d)4解析:圆心(3,0)到抛物线准线x=-p2的距离即为圆的半径4,3-(-p2)=4,即p2=1,p=2,故选c.答案:c.直线与抛物线的位置关系考向聚焦高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要以直线与椭圆的位置关系为主,有时也涉及直线与抛物线的位置关系,主要考查与抛物线焦点弦有关的性质,以选择、填空形式出现时,难度中低档,以解答题形式出现难度较大,所占分值512分15.(2010年全国卷,文15)已知抛物线c:y2=2px(p0)的准线为l,过m(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点a,与c的一个交点为b,若am=mb,则p=.解析:过m(1,0)的直线方程为y=3(x-1),交准线l于点a(-p2,-3(p2+1),am=mb,m为ab的中点,b为(2+p2,3(p2+1),代入抛物线方程得p=2.答案:216.(2012年江西卷,文20,13分)已知三点o(0,0),a(-2,1),b(2,1),曲线c上任意一点m(x,y)满足|ma+mb|=om(oa+ob)+2.(1)求曲线c的方程;(2)点q(x0,y0)(-2x00)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)(x1x2)两点,且|ab|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)o为坐标原点,c为抛物线上一点,若oc=oa+ob,求的值.解:(1)设直线ab的方程是y=22(x-p2),与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|ab|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8