【导与练】高考数学 试题汇编 第二节平面向量的坐标运算与数量积 文（含解析）.docVIP

第二节平面向量的坐标运算与数量积 坐标形式下的向量运算考向聚焦平面向量的坐标运算是高考的一个重点,主要考查方向有:(1)围绕线性运算、共线向量及数量积的运算命题;(2)通过坐标运算证明两个向量平行等位置关系.此外平面向量的坐标运算作为工具也时常出现在解析几何、三角函数等问题中.本节内容多以选择、填空题考查,难度较小,所占分值5分左右1.(2012年福建卷,文3,5分)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则ab的充要条件是()(a)x=-12(b)x=-1(c)x=5(d)x=0解析:a=(x-1,2),b=(2,1),若ab,则ab=0,即2(x-1)+2=0,解得x=0,故选d.答案:d. 本题考查两向量垂直的充要条件,abab=0,属容易题.2.(2012年广东卷,文3,5分)若向量ab=(1,2),bc=(3,4),则ac等于()(a)(4,6)(b)(-4,-6)(c)(-2,-2)(d)(2,2)解析:本小题主要考查向量加法的坐标运算,由ac=ab+bc=(1,2)+(3,4)=(4,6).答案:a.3.(2012年重庆卷,文6,5分)设xr,向量a=(x,1),b=(1,-2),且ab,则|a+b|等于()(a)5(b) 10(c) 25(d)10解析:由ab(x,1)(1,-2)=0x-2=0x=2.a=(2,1).a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),|a+b|=10,故选b.答案:b.4.(2011年广东卷,文3)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若为实数,(a+b)c,则等于()(a)14(b)12(c)1(d)2解析:a+b=(1,2)+(,0)=(1+,2),(a+b)c,(1+)4-23=0,得=12.故选b.答案:b.5.(2011年重庆卷,文5)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么ab的值为()(a)1(b)2(c)3(d)4解析:a+b=(3,2+k),a=(1,k),a+b与a共线,3k-(2+k)1=0,即k=1,ab=2+2k=2+2=4,选d.答案:d.6.(2012年安徽卷,文11,5分)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)b,则|a|=.解析:a+c=(3,3m),若(a+c)b,则(a+c)b=3(m+1)+3m=0,得m=-12,所以a=(1,-1),所以|a|=2.答案:27.(2011年福建卷,文13)若向量a=(1,1),b=(-1,2),则ab等于.解析:ab=(1,1)(-1,2)=-1+2=1.答案:18.(2011年湖南卷,文13)设向量a,b满足|a|=25,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为.解析:b=(2,1),且a与b的方向相反,设a=b=(2,)(0).|a|=25,42+2=20,2=4,=-2.a=(-4,-2).答案:(-4,-2)9.(2011年天津卷,文14)已知直角梯形abcd中,adbc,adc=90,ad=2,bc=1,p是腰dc上的动点,则|pa+3pb|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设c(0,b),则b(1,b),又a(2,0),设p(0,y),则pa+3pb=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),|pa+3pb|2=25+(3b-4y)2,当3b-4y=0,即y=34b时,|pa+3pb|2的最小值为25.|pa+3pb|的最小值为5.答案:510.(2011年陕西卷,文18)叙述并证明余弦定理.解:余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或:在abc中,a,b,c分别为角a,b,c的对边,有a2=b2+c2-2bccos a,b2=c2+a2-2cacos b,c2=a2+b2-2abcos c.证明如下:法一:如图,a2=bcbc=(ac-ab)(ac-ab)=ac2-2acab+ab2=ac2-2|ac|ab|cos a+ab2=b2-2bccos a+c2,即a2=b2+c2-2bccos a,同理可证b2=c2+a2-2cacos b,c2=a2+b2-2abcos c.法二:已知abc中角a,b,c所对边分别为a,b,c,以a为原点,ab所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则c(bcos a,bsin a),b(c,0)(a为abc内角),a2=|bc|2=(c-bcos a)2+(bsin a)2=c2-2bccos a+b2cos2a+b2sin2a=b2+c2-2bccos a,同理可证b2=c2+a2-2cacos b,c2=a2+b2-2abcos c.向量的数量积及应用考向聚焦数量积是高考的重点也是热点考查内容,考查方向主要体现在:(1)直接利用数量积定义计算求解;(2)利用数量积求两向量的夹角;(3)利用平面向量的数量积解决有关向量垂直问题;(4)利用数量积求解向量模的问题.另外在解答题中,向量的数量积与三角函数交汇,与解析几何交汇也是高考命题的关注点,前4种情况往往以客观题的形式出现,难度在中档以下,所占分值为5分左右备考指津训练题型:(1)数量积公式的直接应用以及数量积公式的变形应用,特别需要关注数量积的两种表达形式;(2)数量积在与其他知识相结合时常常通过数量积的运算以后,已知条件才明朗11.(2012年陕西卷,文7,5分)设向量a=(1,cos )与b=(-1,2cos )垂直,则cos 2等于()(a)22(b)12(c)0(d)-1解析:ab,ab=0,-1+2cos2=0,cos 2=2cos2-1=0.正确的是c.答案:c.12.(2012年广东卷,文10,5分)对任意两个非零的平面向量和,定义=,若两个非零的平面向量a,b满足a与b的夹角(4,2),且ab和ba都在集合n2|nz中,则ab等于()(a)52(b)32(c)1(d)12解析:本小题是新定义题,又与向量的数量积相联系,由题cos (0,22),设ab=|a|b|cos|b|2=|a|b|cos =n02,则|a|b|=n02cos.ba=|b|a|cos|a|2=|b|a|cos =2cos2n0,由2cos2(0,1),2cos2n0n2|nz知n0=1.答案:d. 此题是新定义与向量数量积、集合概念的知识交汇点的题目,新颖.13.(2012年天津卷,理8,5分)在abc中,a=90,ab=1,ac=2.设点p,q满足ap=ab,aq=(1-)ac,r,若bqcp=-2,则等于()(a)13(b)23(c)43(d)2解析:如图,ap=ab,aq=(1-)ac,p点在直线ab上,q点在直线ac上,又a=90,ab=1,ac=2,bqcp=(aq-ab)(ap-ac)=aqap-aqac-abap+abac=-aqac-abap=-(1-)|ac|2-|ab|2=-4(1-)-=3-4.又bqcp=-2,3-4=-2,=23.故选b.答案:b. 本题考查了平面向量的线性运算及数量积运算,涉及向量较多,要充分结合图形及垂直关系,化简向量运算,把bq及cp转化为以a为起点的向量,是基向量法的体现,也是转化、化归思想的运用.14.(2011年湖北卷,文2)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()(a)-4(b)6(c)4(d)34解析:由已知2a+b=(2,4)+(1,-1)=(3,3),a-b=(0,3).设2a+b与a-b的夹角为,则cos =(2a+b)(a-b)|2a+b|a-b|=9323=22,0,=4,故选c.答案:c.15.(2010年广东卷,文5)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)c=30,则x等于()(a)6(b)5(c)4(d)3解析:根据向量的坐标运算,(8a-b)c=18+3x=30,x=4,故选c.答案:c.16.(2010年全国新课标卷,文2)a、b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a、b夹角的余弦值等于()(a)865(b)-865(c)1665(d)-1665解析:a=(4,3),2a+b=(3,18),设b=(x,y),则2(4,3)+(x,y)=(3,18)可得x+8=3y+6=18解得x=-5y=12,b=(-5,12),cos=ab|a|b|=123-202525+144=1665.故选c.答案:c.17.(2012年江西卷,文12,5分)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1),若mb,则|x+2y|=.解析:本题考查平面向量数量积的坐标运算及其应用.因为mb,所以mb=2x-y=0.又由m是单位向量,得x2+y2=1.由解得x=55,y=255,或x=-55,y=-255.所以x+2y=5或x+2y=-5.所以|x+2y|=5.答案:518.(2012年湖北卷,文13,5分)已知向量a=(1,0),b=(1,1),则(1)与2a+b同向的单位向量的坐标表示为;(2)向量b-3a与向量a夹角的余弦值为.解析:(1)因为2a+b=(3,1),所以与2a+b同向的单位向量的坐标为(310,110),即(31010,1010).(2)b-3a=(-2,1),设向量b-3a与向量a的夹角为,则cos =(b-3a)a|b-3a|a|=(-2,1)(1,0)51=-255.答案:(1)(31010,1010)(2)-25519.(2012年新课标全国卷,文15,5分)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.解析:由|2a-b|=4a2-4ab+b2=4-4|b|22+|b|2=10得|b|2-22|b|-6=0,解得|b|=32.答案:3220.(2012年北京卷,文13,5分)已知正方形abcd的边长为1,点e是ab边上的动点,则decb的值为;dedc的最大值为.解析:由题意,可建立如图所示的坐标系,则d(0,0),c(0,1),b(1,1),a(1,0),e(1,y),且0y1.decb=(1,y)(1,0)=1+0y=1,dedc=(1,y)(0,1)=y,当y=1时,dedc最大值为1.答案:11 运用坐标处理数量积是一种比较简单的方法.21.(2012年浙江卷,文15,4分)在abc中,m是线段bc的中点,am=3,bc=10,则abac=.解析:本题主要考查向量的数量积的运算.因为ab=am+mb,ac=am+mc=am-mb所以abac=am2-mb2=9-25=-16.答案:-16 本题对向量ab,ac之间的关系设计巧妙,简单而独特.22.(2012年江苏数学,9,5分)如图,在矩形abcd中,ab=2,bc=2,点e为bc的中点,点f在边cd上,若abaf=2,则aebf的值是.解析:本题考查平面向量的数量积的坐标计算.以a点为原点,ab所在直线为x轴,ad所在直线为y轴建立直角坐标系,则ab=(2,0),ae=(2,1),设f(t,2),af=(t,2),abaf=2t=2,t=1,aebf=(2,1)(1-2,2)=2.答案:2 本题给出了向量问题的新的背景,立意新颖.23.(2012年湖南卷,文15,5分)如图,在平行四边形abcd中,apbd,垂足为p,且ap=3,则apac=.解析:设ac与bd交于o点,设pac=,则apac=ap2ao=2|ap|ao|cos =2|ap|2=232=18.答案:1824.(2012年上海数学,文12,4分)在矩形abcd中,边ab、ad的长分别为2、1.若m、n分别是边bc、cd上的点,且满足|bm|bc|=|cn|cd|,则aman的取值范围是.解析:以a为原点如图建系,则a(0,0),b(2,0),c(2,1),d(0,1).设|bm|bc|=|cn|cd|=,则|bm|=,|cn|=2,m(2,),n(2-2,1),aman=(2,)(2-2,1)=4-4+=4-3(01),aman=4-3是关于的减函数.=1时,(aman)min=1,=0时,(aman)max=4.aman的取值范围是1,4.答案:1,4 本题因涉及向量的有关计算可利用坐标法,其次求取值范围可建立函数.25.(2011年江苏卷,10)已知e1,e2是夹角为23的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若ab=0,则实数k的值为.解析:ab=(e1-2e2)(ke1+e2)=ke12+(1-2k)e1e2-2e22=k|e1|2+(1-2k)|e1|e2|cos-2|e2|2=k+(1-2k)cos 23-2=2k-52=0,k=54.答案:5426.(2011年安徽卷,文14)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为.解析:由(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2=1+2cos -8=-6知