山东省淄博市高三数学二模试卷 理（含解析）.docVIP

2015年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（） a b c d 2设p=y|y=x2+1，xr，q=y|y=2x，xr，则（） a pq b qp c rpq d qrp3设命题，则p是q的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件4已知随机变量n（0，2），若p（3）=0.023，则p（33）=（） a 0.477 b 0.628 c 0.954 d 0.9775已知不共线向量，|=|=|，则+与的夹角是（） a b c d 6设函数f（x）=kaxax，（a0且a1）在（，+）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（） a b c d 7已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a0）在x=处取得最小值，则函数是（） a 偶函数且它的图象关于点（，0）对称 b 偶函数且它的图象关于点对称 c 奇函数且它的图象关于点对称 d 奇函数且它的图象关于点（，0）对称8一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（） a b c d 39若a，b（0，2），则函数f（x）=ax3+2x2+4bx+1存在极值的概率为（） a b c d 10设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为f，过点f做与x轴垂直的直线交两渐近线于a、b两点，且与双曲线在第一象限的交点为p，设o为坐标原点，若=+，=（，r），则双曲线的离心率e是（） a b c d 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11若x，y都是锐角，且sinx=，tany=，则x+y=12二项式的展开式中常数项为13已知a0，b0，方程为x2+y24x+2y=0的曲线关于直线axby1=0对称，则的最小值为14已知抛物线y2=4x上有一条长为6的动弦ab，则ab的中点到y轴的最短距离是15已知数列an满足a1=1，an=logn（n+1）（n2，nn*）定义：使乘积a1a2ak为正整数的k（kn*）叫做“易整数”则在内所有“易整数”的和为三、解答题：本大题共6小题，共75分.16已知向量=sinx+cosx，2sinx），且满足f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在abc，角a，b，c的对边分别是a，b，c，满足a=2，f（）=2，求abc面积的最大值17如图1，在直角梯形abcd中，a=b=90，ad=ab=2，bc=3，efab，且ae=1，m，n分别是fc，cd的中点将梯形abcd沿ef折起，使得bc=，连接ad，bc，ac得到（图2）所示几何体（）证明：af平面bmn；（）求二面角bacd的余弦值18已知函数f（x）=logmx（m0且m1），点（an，2n）在函数f（x）的图象上（）若bn=anf（an），当m=时，求数列bn的前n项和sn；（）设cn=，若数列cn是单调递增数列，求实数m的取值范围19某商场组织购物抽奖活动，现场准备了两个装有6个球的箱子，小球除颜色外完全相同，a箱中放有3个红球、2个白球、1个黄球，b箱中放有红球、白球和黄球各2个，顾客购物一次可分别从a、b两箱中任取（有放回）一球，当两球同色即中奖，若取出两个黄球得3分，取出两个白球得2分，取出两个红球得1分，当两球异色时未中奖得0分，商场根据顾客所得分数多少给予不同奖励（）求某顾客购物一次中奖的概率；（）某顾客先后2次参与购物抽奖，其得分之和为，求的分布列及期望e20如图，f1，f2分别为椭圆c：+=1（ab0）的左、右焦点，椭圆c上的点到f1点距离的最大值为5，离心率为，a，b是椭圆c上位于x轴上方的两点，且直线af1与直线bf2平行（）求椭圆c的方程；（）若=2，求直线af1的方程；（）设af2与bf1的交点为p，求证：|pf1|+|pf2|是定值21已知函数f（x）=aexbex2x（a，br）的导函数f（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率0（其中e=2.71828）（1）求a，b的值；（2）设g（x）=f（2x）4mf（x），若g（x）有极值（i）求m的取值范围；（ii）试比较em1与me1的大小并证明你的结论2015年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（） a b c d 考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答： 解：z（1+i）=1，=，=故选：a点评： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2设p=y|y=x2+1，xr，q=y|y=2x，xr，则（） a pq b qp c rpq d qrp考点： 集合的包含关系判断及应用专题： 计算题分析： 根据集合的定义分别求出集合p和q，再根据子集的定义和补集的定义对a、b、c、d四个选项进行一一验证；解答： 解：p=y|y=x2+1，xr，q=y|y=2x，xr，p=y|y1，q=yy0，p与q不存在子集的关系，a、b错误；crp=y|y1，q=yy0，crpq故选c点评： 本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，属于基础题要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征3设命题，则p是q的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法；绝对值不等式专题： 计算题分析： 根据所给的两个命题，对不等式进行求解集，写出两个命题对应的集合，看出两个集合之间的包含关系，得到两个条件之间的关系解答： 解：p：|2x3|1，p：ax|1x2（x1）（x2）0，且x2，b=x|1x2abp是q的充分不必要条件，故选a点评： 本题考查不等式的求解和必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是把命题之间的关系转化为集合之间的包含关系，本题是一个中档题目，注意题目的转化4已知随机变量n（0，2），若p（3）=0.023，则p（33）=（） a 0.477 b 0.628 c 0.954 d 0.977考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题： 概率与统计分析： 画出正态分布n（0，2）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果解答： 解：由随机变量服从正态分布n（0，2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而p（3）=0.023，则p（3）=0.023，故p（33）=1p（3）p（3）=0.954，故选：c点评： 本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解5已知不共线向量，|=|=|，则+与的夹角是（） a b c d 考点： 数量积表示两个向量的夹角专题： 平面向量及应用分析： 根据向量的三角形法则，结合向量的几何意义，画图即可得到答案解答： 解：如图，不共线向量，满足|=|=|，以为邻边的平行四边形为菱形且bac=，则+与的夹角为bad=故选：b点评： 本题主要考查向量的夹角的求解，利用向量加减法的几何意义求解是解决该题的关键，是基础题6设函数f（x）=kaxax，（a0且a1）在（，+）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（） a b c d 考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 由函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a1，由此不难判断函数的图象解答： 解：函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是奇函数则f（x）+f（x）=0即（k1）（axax）=0则k=1又f（x）=axkax（a0且a1）在（，+）上是增函数则a1则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选：c点评： 若函数在其定义域为为奇函数，则f（x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（x）f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数减函数=增函数也是解决本题的关键7已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a0）在x=处取得最小值，则函数是（） a 偶函数且它的图象关于点（，0）对称 b 偶函数且它的图象关于点对称 c 奇函数且它的图象关于点对称 d 奇函数且它的图象关于点（，0）对称考点： 正弦函数的对称性；正弦函数的奇偶性专题： 三角函数的图像与性质分析： 由题意可得f（）=a+b=，求得a=b，由此化简函数 的解析式为asinx，从而得出结论解答： 解：函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a0）在x=处取得最小值，f（）=a+b=，（a2+b2+2ab）=a2+b2，（ab）2=0，a=b函数=asin（x）+bcos（x）=a（cosx+sinx）+a（cosx+sinx）=asinx，故g（x）是奇函数，且函数的图象关于点点（，0）对称，故选：d点评： 本题主要考查三角函数的图象的对称性，正弦函数的图象特征，属于基础题8一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（） a b c d 3考点： 球内接多面体；简单空间图形的三视图；球的体积和表面积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 三视图可知该几何体为一个四棱锥，从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可将该四棱锥补成正方体，再去求解解答： 解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作sabcd，其中sa面abcd面abcd为正方形，将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=所以体积v=故选b点评： 本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，转化能力，将四棱锥补成正方体是关键9若a，b（0，2），则函数f（x）=ax3+2x2+4bx+1存在极值的概率为（） a b c d 考点： 利用导数研究函数的极值；几何概型专题： 导数的概念及应用；概率与统计分析： 利用导数求得函数有极值的条件，进而转化为几何概型求得概率解答： 解：f（x）=ax2+4x+4b因为函数f（x）存在极值，所以f（x）=0有解则=1616ab0，即ab1令ab=1，b=，当b=2，a=，当a=2，b=，=lna1ln+=2ln2三块小矩形的面积为，s=2ln2+1，故选a点评： 主要考查函数有极值的条件和利用几何概型解题的方法在高考中属常考题型10设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为f，过点f做与x轴垂直的直线交两渐近线于a、b两点，且与双曲线在第一象限的交点为p，设o为坐标原点，若=+，=（，r），则双曲线的离心率e是（） a b c d 考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由方程可得渐近线，可得a，b，p的坐标，由已知向量式可得+=1，=，解之可得的值，由=可得a，c的关系，由离心率的定义可得解答： 解：双曲线的渐近线为：y=x，设焦点f（c，0），则a（c，），b（c，），p（c，），=+，（c，）=（+）c，（），+=1，=，解得=，=，又由=，得=，解得，e=故选：d点评： 本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11若x，y都是锐角，且sinx=，tany=，则x+y=考点： 两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的求值分析： 利用同角三角函数的基本关系式求出相关的三角函数值，然后利用两角和的余弦函数求解所求角的值解答： 解：x，y都是锐角，且sinx=，可得cosx=，siny=，cosy=cos（x+y）=cosxcosysinxsiny=，x+y=故答案为：点评： 本题考查两角和与差的三角函数同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力12二项式的展开式中常数项为40考点： 二项式系数的性质专题： 二项式定理分析： 求出二项展开式的通项公式，即可求出常数项解答： 解：展开式的通项公式为=，令，解得k=2，即常数项为=410=40，故答案为：40点评： 本题主要考查二项式定理的应用，求出二项式定理的通项公式是解决本题的关键13已知a0，b0，方程为x2+y24x+2y=0的曲线关于直线axby1=0对称，则的最小值为9考点： 基本不等式；直线与圆的位置关系专题： 不等式的解法及应用分析： 由题意可得直线过圆心，可得2a+b=1，进而可得=+=（+）（2a+b）=5+，由基本不等式求最值可得解答： 解：由题意可得直线axby1=0过圆x2+y24x+2y=0的圆心（2，1），2a+b1=0，即2a+b=1，=+=（+）（2a+b）=5+5+2=9当且仅当=即a=b=时取等号的最小值为9故答案为：9点评： 本题考查基本不等式求最值，涉及圆的知识，属基础题14已知抛物线y2=4x上有一条长为6的动弦ab，则ab的中点到y轴的最短距离是2考点： 直线与圆锥曲线的关系专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设a（x1，y1）b（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离的表达式，根据抛物线的定义，结合三角形的知识：根据两边之和大于第三边且a，b，f三点共线时取等号求得s的最小值解答： 解：设a（x1，y1），b（x2，y2），依题意，抛物线的准线方程为：y=1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：s=11=2（由抛物线定义两边之和大于第三边且a，b，f三点共线时取等号）故答案为：2点评： 本题主要考查了抛物线的应用灵活利用了抛物线的定义15已知数列an满足a1=1，an=logn（n+1）（n2，nn*）定义：使乘积a1a2ak为正整数的k（kn*）叫做“易整数”则在内所有“易整数”的和为2035考点： 数列的函数特性专题： 函数的性质及应用分析： 由题意，及对数的换底公式知，a1a2a3ak=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可解答： 解：an=logn（n+1），由a1a2ak为整数得1log23log34logk（k+1）=log2（k+1）为整数，设log2（k+1）=m，则k+1=2m，k=2m1；211=20482015，区间内所有“易整数”为：221，231，241，2101，其和m=221+231+241+2101=2035故答案为：2035点评： 本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用三、解答题：本大题共6小题，共75分.16已知向量=sinx+cosx，2sinx），且满足f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在abc，角a，b，c的对边分别是a，b，c，满足a=2，f（）=2，求abc面积的最大值考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数专题： 解三角形分析： （）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（）由f（）=2，根据第一问确定出的f（x）解析式，求出a的度数，利用余弦定理列出关系式，把a，cosa的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形abc面积的最大值解答： 解：（）f（x）=cosx（sinx+cosx）+2cos（x+）sinx=2cosxsin（x+）+2sinxcos（x+）=2sin（2x+），由+2k2x+2k，kz，得到+kx+k，kz，则函数f（x）的单调递增区间为，kz；（）f（）=2sin（a+）=2，即sin（a+）=1，a为三角形内角，a+=，即a=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，即4=b2+c22bc=b2+c2bcbc，即bc4（当且仅当b=c时成立），sabc=bcsin，则abc面积为最大值为点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键17如图1，在直角梯形abcd中，a=b=90，ad=ab=2，bc=3，efab，且ae=1，m，n分别是fc，cd的中点将梯形abcd沿ef折起，使得bc=，连接ad，bc，ac得到（图2）所示几何体（）证明：af平面bmn；（）求二面角bacd的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）取ac中点p，连结pb、pn、pm，连结dm通过四边形abmd是平行四边形及线面平行的判定定理即得结论；（）以b为坐标原点，建立空间直角坐标系bxyz，则所求值即为平面adc的法向量与平面abc的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可解答： （）证明：取ac中点p，连结pb、pn、pm则pnad，afpm连结dm，则dmef，dm=ef，由题意知efab，ef=ab，dmab，dm=ab，四边形abmd是平行四边形，mbad，mbnp，b、m、n、p共面，pm平面bmn，又af平面bmn，af平面bmn；（）解：由题意知effb，effc，ef平面fbc，efab，ab平面fbc，又bc2+bf2=fc2，bcbf，以b为坐标原点，建立空间直角坐标系bxyz如图，则b（0，0，0），a（0，0，2），c（，0，0），d（，2），=（，0，2），=（，0），设平面adc的法向量为=（x，y，z），由，得，取x=1，得=（1，），又平面abc的一个法向量为=（0，1，0），cos，=，由图可知二面角bacd为钝角，二面角bacd的余弦值为点评： 本题考查线面平行的判定，求二面角的三角函数值，涉及到勾股定理及向量数量积运算等知识，注意解题方法的积累，属于中档题18已知函数f（x）=logmx（m0且m1），点（an，2n）在函数f（x）的图象上（）若bn=anf（an），当m=时，求数列bn的前n项和sn；（）设cn=，若数列cn是单调递增数列，求实数m的取值范围考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （）通过点（an，2n）在函数f（x）的图象上可得an=m2n，结合当m=时bn=2n（）n，求出sn、sn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论；（）通过cn=mnnlgm及数列cn是单调递增数列，可得nlgmm（n+1）lgm对任意的nn*都成立，分0m1、m1两种情况讨论即可解答： 解：（）由题意可得logman=2n，an=m2n，当m=时，bn=anlogman=m2n2n=2n（）n，sn=2+4（）2+6（）3+（2n2）（）n1+2n（）n，sn=2（）2+4（）3+6（）4+（2n2）（）n+2n（）n+1，两式相减，得sn=+22n（）n+1=+22n（）n+1=1（2n+3）（）n+1，sn=；（）由题意得cn=mnnlgm，数列cn是单调递增数列，cncn+1对任意的nn*都成立，mnnlgmmn+1（n+1）lgm，即nlgmm（n+1）lgm对任意的nn*都成立，当0m1时，m=1对任意的nn*都成立，设h（x）=1，易知h（n）是递增函数，h（n）min=h（1）=，0m；当m1时，m=1，11对任意的nn*都成立，m1且m1，m1，综上所述，0m或m1点评： 本题考查求数列的和，涉及到函数的单调性、对数的运算性质等知识，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题19某商场组织购物抽奖活动，现场准备了两个装有6个球的箱子，小球除颜色外完全相同，a箱中放有3个红球、2个白球、1个黄球，b箱中放有红球、白球和黄球各2个，顾客购物一次可分别从a、b两箱中任取（有放回）一球，当两球同色即中奖，若取出两个黄球得3分，取出两个白球得2分，取出两个红球得1分，当两球异色时未中奖得0分，商场根据顾客所得分数多少给予不同奖励（）求某顾客购物一次中奖的概率；（）某顾客先后2次参与购物抽奖，其得分之和为，求的分布列及期望e考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题： 计算题；概率与统计分析： （）利用两球同色即中奖，即可求某顾客购物一次中奖的概率；（）某顾客先后2次参与购物抽奖，其得分之和为，确定其取值，求出相应的概率，即可求的分布列及期望e解答： 解：（）由题意，p（a取红球）=，p（a取白球）=，p（a取黄球）=，p（b取红球）=，p（b取白球）=，p（b取黄球）=，顾客购物一次中奖的概率为=；（）的取值为0，1，2，3，4，5，6，则令表示顾客1次参与购物抽奖的得分，则p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=p（=0）=，p（=1）=2=，p（=2）=2+=，p（=3）=2+2=，p（=4）=2+=，p（=5）=，p（=6）=的分布列如下表： 0 1 2 3 4 5 6 p e=0+1+2+3+4+5+6=点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，历年高考中都是必考题型20如图，f1，f2分别为椭圆c：+=1（ab0）的左、右焦点，椭圆c上的点到f1点距离的最大值为5，离心率为，a，b是椭圆c上位于x轴上方的两点，且直线af1与直线bf2平行（）求椭圆c的方程；（）若=2，求直线af1的方程；（）设af2与bf1的交点为p，求证：|pf1|+|pf2|是定值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）由题意知，解可得a、c的值，从而可得b2的值，带入椭圆的标准方程可得答案；（）根据题意，设a（x1，y1），b（x2，y2），延长ab，与x轴交与点m，分析可得m（6，0），进而设ab的直线方程为x+my6=0，联立可得（9+5m2）y260my+135=0，由韦达定理，得，又由=2，分析可得y1=2y2，联立两个式子解可得m的值，从而可得直线af1的斜率，代入可得直线af1的方程，（）根据题意，由，可得（9+5n2）y220ny25=0，解可得y1的值，进而可得|af1|与|bf2|的值，进一步可以用n来表示|af1|+|bf2|以及|af1|bf2|，而|pf1|+|pf2|=6，代入即可得到证明解答： 解：（）由题意知，得a=3，c=2；从而b2=a2c2=5；所以椭圆c的方程为+=1（）由（）知：f1（2，0），f2（2，0），设a（x1，y1），b（x2，y2），延长ab，与x轴交与点m，由=2，可得bf2为af1m的中位线，所以|mf2|=|f1f2|，得m（6，0），设ab的直线方程为x+my6=0，（显然m0）联立，消去x，整理可得（9+5m2）y260my+135=0，由韦达定理，得，又由=2，得（2x1，y1）=2（2x2，y2），所以y1=2y2，联立解可得m=，从而x1=6my1=，于是af1的斜率k1=，直线af1的方程为y=（x+2），（）根据题意，由，可得（9+5n2）y220ny25=0，则y1=，y2=，（舍去）所以|af1|=|0y1|=，同理|bf2|=|0y2|=，|af1|+|bf2|=，|af1|bf2|=，因此|pf1|+|pf2|=6=6=，故|pf1|+|pf2|是定值点评： 本题考查椭圆与直线的综合运用，一般计算量较大，注意结合椭圆的基本性质，寻找解题的突破点21已知函数f（x）=aexbex2x（a，br）的