功和能复习材料(黄川生整合版).doc

功和能复习材料一求功的四种方法: （1）W=FScos（计算恒力的功） 、F与V夹角总为0度、F随S线性变化（2）W=P t （P为平均功率） （3）图象法 F-S图象的线下面积功和功率: （4）用动能定理求功(变力) P=(平均功率) ; P=FVcos(平均功率和瞬时功率)机 功率: P = FV=(f+ma) V (1)恒定的功率启动; (2) 恒定的加速度启动 动能：Ek= ; 重力势能：Ep=mgh （h为从物体到零势能参考平面的高度） 弹性势能：与弹性形变有关 （弹簧的弹性势能Ep=） 机械能： E=EK+EP械 重力做功与重力势能变化的关系：WG= Ep1 一Ep2 =(Ep2 一Ep1) =-D EP动能定理: W合= Ek2 一Ek1 = = DEk 补：合外力做功（总功）：W总= W合= F合Scos= W1 +W2 +W3 + - +Wn 条件：只有重力（或弹簧弹力）做功. 机械能守恒定律： 能 表达式：(1)Ek1+EP1 = Ek2 +EP2 (2)mgh1 + (3)DEp减 = DEk增 (4) DEp增 = DEk减 （1）、应用动能定理的解题思路：确定研究对象及研究过程；进行受力和运动情况分析，确认每个力做功情况；确定物体的初、末状态的动能；最后根据动能定理列方程求解。 （2）、应用机械能守恒定律的解题思路：定对象(物体和地球、弹簧系统)；受力和运动及各力做功情况分析，确认是否满足守恒；选择零势面（点）；明确初、末状态；由机械能守恒定律列方程求解.二、几个重要的功能关系动能定理：W合= DEk = Ek2 一Ek1 = 重力做功与重力势能关系：WG =D EP ； 弹力做功与弹性势能关系；W弹=D EP机械能增量关系：W其= E2 +E1=D E 系统内摩擦生热关系：Q=fs相对三、易混概念功的正负不反映功的大小，反映的是动力做功还是阻力做功（正功动能增加、负功动能减少）重力势能的正负反映的是相对大小（相对零势能参考平面）动能没有负值但重力势能有负值，所以机械能可以为负瞬时功率不仅与力有关还与速度大小及力与速度的方向夹角有关本章中的位移为对地位移，速度为对地速度四、相互作用力做功与平衡力做功特点一对平衡力做功的代数和总为零（F合=0）一对相互作用力做功可以同为正、同为负、同为零、一正一负、一正一零、一负一零（举例子）一对相互作用的静摩擦力做功的代数和总为零一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和总为负，其代数和的绝对值等于系统产生的热量Q五、题型分析题型一 功的理解与计算1.A、B两物体质量分别为m和2m，A置于光滑水平面上，B置于粗糙水平面上，用相同水平力F分别推A和B，使它们前进相同的位移，下面说法正确的是 A.两次推力做功相等B.第二次推力做功大一些C.第一次推力做功大D.无法比较2.某人用同一水平力先后两次拉同一物体，第一次使此物体沿光滑水平面前进s距离，第二次使此物体沿粗糙水平面也前进s距离，若先后两次拉力做的功为W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，则 A.W1=W2，P1=P2B.W1=W2，P1P2 C.W1W2，P1P2D.W1W2，P1=P23.关于力对物体做功如下说法正确的是 A.滑动摩擦力对物体一定做负功B.静摩擦力对物体可能做正功C.作用力的功与反作用力的功其代数和一定为零D.合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态4.下面关于摩擦力做功的叙述，正确的是 A.静摩擦力对物体一定不做功 B.动摩擦力对物体一定做负功C.一对静摩擦力中，一个静摩擦力做正功，另一静摩擦力一定做负功D.一对动摩擦力中，一个动摩擦力做负功，另一动摩擦力一定做正功5.质量为m的物块始终静止在倾角为的斜面上，下列说法不正确的是 A.若斜面向右匀速移动距离s，斜而对物块没有做功B.若斜面向上匀速移动距离s，斜面对物块做功mgsC.若斜面向左以加速度a匀加速移动距离s，斜面对物块做功masD.若斜面向下以加速度a匀加速移动距离s，斜面对物块做功m(g+a)s6.如图，物体A、B与地面间的动摩擦因数相同质量也相同，在斜向下力F的作用下，一起沿水平面运动，则下列说法正确的是 A.摩擦力对A、B两物体所做功相等FFOB.外力对A、B两物体做功相等C.力F对A所做功与A对B所做功相等D.A对B所做功与B对A所做功大小相等7.如图所示，质量为m的小球用长为L的细线悬挂且静止在竖直位置，现用水平恒力F将小球拉到与竖直方向成倾角的位置，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零在此过程中，拉力F做的功为 AFLsin BFLcosCmgL(1cos) DmgL(1sin)补充：例题：如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成角的位置在此过程中，拉力F做的功各是多少？LmF用F缓慢地拉；F为恒力；若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零可供选择的答案有A. B. C. D.【精析】若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解F做的功等于该过程克服重力做的功选D若F为恒力，则可以直接按定义求功选B若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的选B、D在第三种情况下，由=，可以得到，可见在摆角为时小球的速度最大实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”8.一滑块在水平地面上沿直线滑行，t=0时其速度为1 m/s。从此刻开始滑块运动方向上再施加一水平面作用F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图a和图b所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为则以下关系正确的是 A. B. C. 图b图a D. 9.如图所示，物体A的质量为2kg，置于光滑的水平面上，水平拉力2N，不计绳子与滑轮的摩擦和滑轮的质量物体A获得的加速度a=_m/s2，在物体A移动0.4m的过程中，拉力F做功_J.v/ms-1Ot/sv题型二 功率的理解与计算10一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如右图所示则拉力的功率随时间变化的图象可能是下图中的（g取10m/s2） ABDCt/sp/Wt/sp/Wp/Wp/WOOOOt/st/s11v0v0BA如图所示，两个完全相同的小球A、B，在同一高度处以相同大小的初速度v0分别水平抛出和竖直身上抛出，下列说法正确的是 A两小球落地时的速度相同B两小球落地时，重力的瞬时功率相同C从开始运动至落地，重力对两小球做功相同D从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同补充1：一个质量为m的小球，从高h处自由下落，则下落过程中重力对小球做功的平均功率是_；落地时重力的瞬时功率是_补充2：从高处以初速v0=10m/s将一个质量为m=2kg的小球水平抛出，测得落地时速度大小为vt=20m/sg=10m/s2，则小球刚抛出时离地高度为_，落地时重力的瞬时功率是_补充3：滑板运动是一项非常刺激的水上运动，研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力Fx垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率（水可视为静止）.某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角=37时（题23图），滑板做匀速直线运动，相应的k=54 kg/m，入和滑板的总质量为108 kg,试求（重力加速度g取10 m/s2,sin 37取，忽略空气阻力）：（1）水平牵引力的大小；（2）滑板的速率；（3）水平牵引力的功率.题型三 机车启动分析补充1:一辆小汽车在水平路面上由静止启动,在前5 s内做匀加速直线运动,5 s末达到额定功率,之后保持以额定功率运动.其vt图象如图所示.已知汽车的质量为m=2103 kg,汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍,则以下说法不正确的是（ ）A.汽车在前5 s内的牵引力为4103 NB.汽车在前5 s内的牵引力为6103 NC.汽车的额定功率为60 kWD.汽车的最大速度为30 m/s补充2:某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究,他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动,并将小车运动的全过程记录下来,通过处理转化为vt图象,如图所示（除210 s时间段内的图象为曲线外,其余时间段图象均为直线）.已知小车运动的过程中,214 s时间段内小车的功率保持不变,在14 s末停止遥控而让小车自由滑行.小车的质量为1 kg,可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变.求:（1）小车所受到的阻力大小及02 s时间内电动机提供的牵引力大小.（2）小车匀速行驶阶段的功率.（3）小车在010 s运动过程中位移的大小.答案 （1）1.25 N（2）2.25 W（3）19.7 m补充3:质量为M的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内前进的距离为s。耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F，受到地面的阻力为自重的k倍，把所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角保持不变。求：(1)拖拉机的加速度大小。(2)拖拉机对连接杆的拉力大小。(3)时间t内拖拉机对耙做的功。12如图所示为牵引力F和车速倒数1/V的关系图像。若一汽车质量为2103，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，设其最大车速为30 ms，则 A汽车所受阻力为2103NB汽车在车速为15 ms，功率为6104 WC汽车匀加速的的加速度为3ms2D汽车匀加速所需时间为5s13.汽车发动机的功率为60KW，汽车的质量为。当汽车在足够水平路面从静止以0.6m/s2的加速度做匀加速直线运动（已知汽车在行驶中所受路面阻力恒定为重力的0.1倍，g取10m/s2）。求： 1）汽车在水平路面能达到的最大速度vm12）汽车在水平路面做匀加速运动能维持多长时间？3）在10s末汽车的瞬时功率多大？20s末汽车的瞬时功率又是多少呢？4）若汽车以vm1速度驶上一倾角为的足够长的斜面（）。简要描述汽车作何运动，并求出在此斜面上最终速度vm2。14质量m=3000t的火车，在恒定的额定功率下由静止出发，运动中受到一个恒定不变的阻力作用，当其速度为10m/s时，其加速度为2.510-2m/s2,列车经过103s，达到最大速度72km/h。求列车的额定功率与加速过程前进的路程。补充: 图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m=5103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上作匀加速直线运动，加速度a=0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm=1.02 m/s的匀速运动。取g=10 m/s2,不计额外功。求：(1) 起重机允许输出的最大功率。(2) 重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。题型四 功能关系15.如果只有重力对物体做功，则下列说法中正确的是 A.如果重力对物体做正功，则物体的重力势能增加B.如果重力对物体做负功，则物体的动能减少C.如果重力对物体做正功，则物体的动能减少D.如果重力对物体做负功，则物体的重力势能增加16.一质量为m的物体被人用手由静止竖直向上以加速度a匀加速提升h，关于此过程下列说法中不正确的是 A.提升过程中手对物体做功m(a+g)hB.提升过程中合外力对物体做功mahC.提升过程中物体的动能增加m(a+g)hD.提升过程中物体克服重力做功mgh17如图所示，一轻弹簧左端与物体A相连，右端与物体B相连，开始时，A、B均在粗糙水平面上不动，弹簧处于原长状态。在物体B上作用一水平向右的恒力F，使物体A、B向右运动。在此过程中，下列说法中正确的为 A合外力对物体A所做的功等于物体A的动能增量B外力F做的功与摩擦力对物体B做的功之和等于物体B的动能增量C外力F做的功及摩擦力对物体A和B做功的代数和等于物体A和B的动能增量及弹簧弹性势能增量之和D外力F做的功加上摩擦力对物体B做的功等于物体B的动能增量与弹簧弹性势能增量之和18.质量为m的物体，从静止开始以的加速度竖直下落h的过程中，下列说法中正确的是 BAO图2A.物体的机械能守恒B.物体的机械能减少C.物体的重力势能减少D.物体克服阻力做功为19.如图2所示，木板可绕固定的水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2J。用N表示物块受到的支持力，用f表示物块受到的摩擦力。在这一过程中，以下判断正确的是N和f对物块都不做功 N对物块做功2J，f对物块不做功N对物块不做功，f对物块做功2J N和f对物块所做功的代数和为020.起重机竖直吊起质量为m的重物，有一段是匀加速上升过程，上升高度为h。则物体在此上升过程中，正确的判断是 A重物受到的合外力方向始终向上B物体重力势能的增加大于物体克服重力做的功C任意相等的时间内重力做的功相等D动能的增加一定等于重力势能的增加21.运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程。将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是 A阻力对系统始终做负功 B系统受到的合外力始终向下C重力做功使系统的重力势能增加 D任意相等的时间内重力做的功相等22加速上升的电梯顶部悬有一轻质弹簧，弹簧下端挂有一铁块，若电梯突然停止，以电梯底板为参照物，铁块在继续上升的过程中 A动能先增大后减小 B动能逐渐减小C加速度逐渐增大 D加速度不变23.如图，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O点，O与O点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，细绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则两球各自到达悬点正下方时 A两球动能相等 BA球动能较大CA球减少的重力势能较多 D两球动量大小相等补充:如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为1，木板与地面间的动摩擦因数=0.2。（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。（2）若货物滑上木板4时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求1应满足的条件。（3）若1=0。5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。AB24.一物体从某一高度自由落下落在竖立于地面的轻弹簧上，如图所示，在点物体开始与轻弹簧接触，到点时，物体速度为零，然后被弹簧弹回，下列说法正确的是 物体从下降到的过程中动能不断变小物体从上升到的过程中动能不断变大物体从下降到以及从上升到的过程中速率都是先增大后减小物体在点时所受合力为零v025.一颗子弹以某一水平速度击中了静止在光滑水平面上的木块，并从中穿出，对于这一过程，下列说法正确的是 A子弹减少的机械能等于木块增加的机械能B子弹和木块组成的系统机械能的损失量等于系统内能的增加量C子弹减少的机械能等于木块增加的动能和内能之和D子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块系统增加的内能之和26.一人站在阳台上，以相同的速率分别把三个球竖直向下抛出、竖直向上抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率 A.上抛最大B.下抛球最大 C.平抛球最大D.三球一样大27如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的动能将 A不断增大B不断减小C先减小后增大D先增大后减小28.如图，小球用细线悬挂在光滑静止的小车上，细线呈水平位置，现无初速释放小球，下摆过程中 A.线的拉力对小球不做功B.合外力对小球不做功C.细线拉力对小车做正功D.小球和小车的总机械能、总动量均守恒F29某物体在沿斜面向上的拉力F作用下，从光滑斜面的底端运动到顶端，它的动能增加了EK ，势能增加了EP .则下列说法中正确的是 A 拉力F做的功等于EK ；B 物体克服重力做的功等于EP ；C合外力对物体做的功等于EK ；D 拉力F做的功等于EK +EP30如图，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动物块和小车之间的摩擦力为Ff物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s在这个过程中，以下结论正确的是 MmFl物块到达小车最右端时具有的动能为F (l+s)物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ff s物块克服摩擦力所做的功为Ff (l+s)物块和小车增加的机械能为Ff s题型五 计算分析31据2008年2月18日北京新闻报导：北京地铁10号线进行运行试验。为节约能源，一车站站台建得高些，车辆进站时要上坡将动能转换为重力势能，出站时要下坡将重力势能换为动能，如图所示。已知坡长为x，坡高为h，重力加速度为g，车辆的质量为m，进站车辆到达坡下A处时的速度为v0，此时切断电动机的电源。（1）车辆在上坡过程中，若只受重力和轨道的支持力，求车辆“冲”到站台上的速度多大？h（2）实际上车辆上坡时，还受到其它阻力作用，要使车辆能“冲”上站台，车辆克服其它阻力做的功最大为多少？32如图所示，质量m1kg的木块静止在高h1.2m的平台上，木块与平面间的动摩擦因数0.2，用水平推力F20N，使木块产生位移l13m时撤去，木块又滑行l2lm时飞出平台，求木块落地时速度的大小?31.如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。32如图所示，滑块在恒定外力F2mg的作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，求AB段与滑块间的动摩擦因数。ABOh33如图所示，倾角=37的斜面底端B平滑连接着半径r=0.40m的竖直光滑圆轨道。质量m=0.50kg的小物块，从距地面h=2.7m处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦因数=0.25，求：（sin37=0.6，cos37=0.8，g=10m/s2）1）物块滑到斜面底端B时的速度大小。2）物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小。34.如图16所示，质量20kg的物体从光滑曲面上高度m处释放，到达底端时水平进入水平传送带，传送带由一电动机驱动着匀速向左转动，速率为3ms已知物体与传送带间的动摩擦因数0.1.（g取10ms2）1）若两皮带轮之间的距离是6m，物体冲上传送带后就移走光滑曲面，物体将从哪一边离开传送带?通过计算说明你的结论2）若皮带轮间的距离足够大，从M滑上到离开传送带的整个过程中，由于M和传送带间的摩擦而产生了多少热量? 35.如图14所示，质量为m的滑块，放在光滑的水平平台上，平台右端B与水平传送带相接，传送带的运行速度为v0，长为L，今将滑块缓慢向左压缩固定在平台上的轻弹簧，到达某处时突然释放，当滑块滑到传送带右端C时，恰好与传送带速度相同。滑块与传送带间的动摩擦因数为。 1）试分析滑块在传送带上的运动情况。 2）若滑块离开弹簧时的速度大于传送带的速度，求释放滑块时，弹簧具有的弹性势能。 3）若滑块离开弹簧时的速度大于传送带的速度，求滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量。第13题图36如图所示，轻质弹簧的一端与墙相连，质量为的滑块以的速度沿光滑水平面运动并压缩弹簧，求(1)弹簧在被压缩过程中最大弹性势能(5分)，(2)当木块的速度减为时，弹簧具有的弹性势能。37如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道，经过O点时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在竖直墙上的M点，另一端恰位于滑道的末端O点。已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数均为，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：1）物块滑到O点时的速度大小；2）弹簧为最大压缩量d时的弹性势能 （设弹簧处于原长时弹性势能为零）3）若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？A38在倾角为的光滑斜面上端系有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端连一个质量为m的小球，球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变，若挡板A以加速度a（agsin）沿斜面向下匀加速运动，问：1）小球向下运动多少距离时速度最大?2）从开始运动到小球与挡板分离时所经历的时间t为多少?3）从开始运动到小球与挡板分离时外力对小球做的总功为多少?ABFCDLFLOm39如图所示，轻质长绳水平地跨在相距2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等，在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg.先托住物块，使绳处于水平拉直状态，静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变.(1)当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零.(2)求物块下落过程中的最大速度vm(3)求物块下落过程中的最大距离H.功和能复习材料二：变力做功功的计算，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又经常涉及到此类问题，但由于高中阶段所学的功的计算公式只能用于恒力做功情况,对于变力做功或物体运动轨迹是曲线时，不能用来计算功的大小。常见的方法有以下几种：微元法、平均力法、图象法、等值法和能量转化的办法。一：微元法OFS一些变力(指大小不变,方向改变,如滑动摩擦阻力,空气阻力),在物体做曲线运动或往复运动过程中,这些力虽然方向变,但每时每刻与速度反向或同向,此时可化成恒力做功,方法是分段考虑,然后求和.老驴拉磨时拉力做功跟圆周运动时向心力做功是否一样？FOFS 拉力总是与V同向Cos0=1 向心力总是与V垂直Cos0=0 “微分”的方法，将运动轨迹细分为若干段，就可以将每一段可以看作直线，在这一过程中的变力当作恒力，以“恒定”代“变化”，以“直”代“曲”，再根据来求变力的功。例题：如图1，某人用大小不变的力F转动半径为R的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。R图1OF解：在转动的过程中，力F的方向上课变化，但每一瞬时力F总是与该时刻的速度同向，那么F在每一瞬时就与转盘转过的极小位移同向，因此无数的瞬时的极小位移，都与F同向。在转动的过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做的功的代数和，有：例题:一机车以恒定功率P拖着质量为m的物体，沿半径为R的水平圆轨道由静止开始运动一周所用的时间为t，如图1所示已知物块与轨道间的动摩擦因数为，求物块获得多大的速度？【精析】物体在运动过程中受到重力、支持力牵引力和摩擦力，其中重力和支持不做功，牵引力做正功、摩擦力做负功，且牵引力和摩擦力都是变力，都不能直接根据功的公式求解(求牵引力做功可根据功率求出WPt)求摩擦力的功用微元法我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，摩擦力在一周内所做的功就等于各小段上做功的代数和，即2mgR求物体运动一周的速度可由动能定理求解由动能定理：联立解得：二、等值法等值法：若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。图3例题：如图3，定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。分析：在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。解：由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别为： 那么恒力F的作用点移动的距离为：故恒力F做的功：例题：如图所示，用竖直向下的恒力F通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A、B、C三点，设AB=BC，物体经过A、B、C三点时的动能分别为EKA，EKB，EKC，则它们间的关系一定是：AEKB-EKA=EKC-EKB BEKB-EKAEKC-EKB DEKC L2-L3，故W1 W2再由动能定理可判断C、D正确答案CD.例题：（功能关系）用细绳通过定滑轮把质量为m的物体匀速提起。人从细绳成竖直方向开始，沿水平面前进s，使细绳偏转角，如图所示。这一过程中，人对物体所做的功为_。 三、用公式W=Pt求变力做功对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。例题：质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？ 分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时车速达到最大值。已知汽车所受的阻力不变，虽然汽车的牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。但由于汽车的功率恒定，汽车的功率可用P=Fv求，因此汽车所做的功则可用W=Pt进行计算。解：当速度最大时牵引力和阻力相等， 汽车牵引力做的功为 根据动能定理有： 解得：f=6000(N)对于变力做功的问题，首先注意审题，其次在此基础上弄清物理过程，再建立好物理模型，最后使用以上谈到的各种方法进行解题，就会达到事半功倍的效果。例题：质量为m的汽车在平直公路上以初速度v0开始匀加速行驶，经时间t前进距离s后，速度达最大值vm，设在这段过程中发动机的功率恒为P，汽车所受阻力恒为f，则在这段时间内发动机所做的功为：A、Pt B、fvMtC、fs+mvm2/2 D、mvm2/2-mv02/2+fs（答案：ABD）四、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，即，（）2（1）也就是说，变力由线性地变化到的过程中所做的功等于该过程的平均力（）2所做的功例题2：一辆汽车质量为800千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为：F=100x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进20米时，牵引力做的功是多少？（g=10m/s2 ）分析：由于车的牵引力和位移的关系为：F=100x+ f0，成线性关系，故前进20米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。解：由题意可知：开始时的牵引力：F1=f00.05（80010）400(N)20米时的牵引力:F2=10020+400=2400（N）前进20米过程中的平均牵引力：F平=1400（N）所以车的牵引力做功：WF平J）讨论一、力F的大小随位移s均匀变化之，我们用图像法讨论。作出F-s图像如右图。F0s0Fs0分析：功的公式一般适用于恒力做功，对于变力做功我们可以采用微元法处理，我们把位移s平均分成n等分。设每一分为s0。可见n越大s0就越小。在每一个单元中，s0越小，直角梯形就越接近矩形，所以s0越小，则在一个单元中的力F0就可以看作常力。在每一个单元的力做功可写成：。依次可写出每一个单元中力做的功：，整个过程的力F做的功为所有单元的位移s0内做功的总和：由于s是均匀分割的，所以F的变化是按等差数列变化。由等差数列的前n项和公式有：由三角形可知为中位线，相当于变力的平均值，ns0为整个过程的中位线，所以：当力的大小随着位移均匀变化时，变力做功可以用力的平均值与位移的乘积计算边里做的功。例题：用锤子把钉子钉入木块中，设每次打击时锤子对铁钉做的功都相等，铁钉进入木块受的阻力跟钉入的深度成正比。如果钉子第一次被钉入的深度为4cm，则第二次打击后可再进入几cm?解：力F与深度s成正比，而在本例中位移就是深度，力F与位移s满足正比关系，故每次锤子打击铁钉时所做的功可以用公式W=来计算。第一次打击时锤子对钉子做的功W1=s1，第二次做的功W2= (s2- s1)，设F=ks,有：= = 根据题意W1 = W2，解得：s2=s1，s= s2- s1=(-1) s1=2(-1)cm。0tF讨论二：如果力F的大小随时间t做均匀变化，作F-t图像如图所示，设物体的质量为m，在变力F的作用下物体的速度从v0变到vt。由动能定理： 由动量定理： 由变形得： 把式代入式得： 对于式中的，在匀变速运动中是平均速度与位移s的乘积,即。 对于匀变速直线运动：。tv0tvtv0这里就有一个矛盾，力F的大小在均匀变化时物体不可能做匀变速直线运动！对于非匀变速运动：。我们可用v-t图像直观得来了解：如右图所示的线表示物体做匀速直线运动，线表示物体做加速度增加的变加速度运动。在v-t图像中可以用“面积”表示位移。线与坐标轴围成的面积为一梯形。；而线与坐标轴围成的面积与梯形面积不相同（图中，若力F随时间逐渐减小，物体做加速度逐渐减小的变加速度运动，则），力F的大小随时间t做均匀变化变力F做功： 。所以当力F的大小随时间t做均匀变化时，求力F对物体做功不能用平均力与位移的乘积来计算。五、用图象法求解变力做功如果能知道变力F随位移s变化的关系，我们可以先作出F-s关系图象，（横坐标表示力F在位移方向上的分量，纵坐标表示物体的位移）并利用这个图象求变力所做的功 图象与坐标轴围成的面积表示功的数值。例题：长度为，质量为的均匀绳，一段置于水平的光滑桌面上，另一段垂于桌面下，长为，求从绳开始下滑到绳全部离开桌面，重力所做的功。SF【分析】开始使绳下滑的力是段绳所受的重力，此后下垂的绳逐渐变长，使绳下滑的力也逐渐增大，且随下垂段绳长均匀增大。当绳全部离开桌面时，绳下滑的位移为，此时使绳下滑的力是整条绳所受的重力，这是一个变力做功的问题，可用用力位移图象来分析。【解答】例题：如图，密度为，边长为a的正立方体木块漂浮在水面上(水的密度为0)现用力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，此过程浮力做了多少功?解答未用力按木块时，木块处于二力平衡状态F浮=mg 即0ga2（a-h）=ga3并可求得：h=a（0-）/0（h为木块在水面上的高度）在用力按木块到木块上表面刚浸没，木块受的浮力逐渐增大，上表面刚浸没时，浮力达到最大值：F浮=0ga3以开始位量为向下位移x的起点，浮力可表示为：F浮=ga3+0ga2x根据这一关系式，我们可作出F浮-x图象(如图右所示)在此图象中，梯形OhBA所包围的“面积”即为浮力在此过程所做的功。W=（0ga3+ga3）h/2=ga3h（0+）/2这里的“面积”为什么就是变力所做的功?大家可结合匀变速运动的速度图象中的“面积”表示位移来加以理解即使F-x关系是二次函数的关系，它的图象是一条曲线，这个“面积”仍是变力在相应过程中所做的功例题：用锤子把钉子钉入木块中，设锤子每次打击时，锤子对钉子做的功均相同，钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比。如果第一次被打入木块的深度为2Cm。求第二次打击后可再进入几厘米？22+x2kK(2+x)S/cmF/N图2O解：由于锤子对钉子每一次做的功均相同，而锤子对钉子做的功又可以用阻力做的功来代替，已知钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比,设钉入进入的深度为x,那么阻力：, FS图象如图2所示。 第一次锤子对钉子做的功：第二次锤子对钉子做的功：由于有：解得：例题：静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动（如图2甲所示），拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系（如图乙所示），图线为半圆则小物块运动到x0处时的动能为 （ ）Fxx0OFmxFOx0图2甲图2乙A0 B C D【精析】由于WFx，所以F-x图象与x轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为C答案正确六、：用动能定理求解变力做功动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是：W 外=EK，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。例题：如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用当拉力为F时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R当拉力逐渐增至4F时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R2在此过程中，拉力对小球做了多少功?解答此题中的F是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功根据F=mv2R，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就是拉力所做的功由F=mv12R 4F=mv220.5R得WF=mv222-mv122=FR/2QLPF图5O 例题：（89年全国高考） 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点，.如图5所示，此时悬线与竖直方向夹角为,则拉力F所做的功为：（ ） A：B：C.：D：分析：在这一过程中，小球受到重力、拉力F、和绳的弹力作用， 只有重力和拉力做功，由于从平衡位置P点很缓慢地移到Q点.，小球的动能的增量为零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。解：由动能定理可知： 故B答案正确。例题：如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成角的位置在此过程中，拉力F做的功各是多少？LmF用F缓慢地拉；F为恒力；若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零可供选择的答案有A. B. C. D.【精析】若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解F做的功等于该