复变函数的极限和连续.ppt

数学物理方法第一章 1 五 复变函数的极限和连续 一 复变函数的极限 1 定义 是以任意方式 设函数在点的某邻域内有定义 若对于任意给定的 总存在有 使得当时 就有 则称当时以为极限 并记为 数学物理方法第一章 2 2 性质 数学物理方法第一章 3 二 复变函数的连续 1 函数在某点连续的定义 设在点及其邻域内有定义 并且当时 有 则称函数在点连续 连续函数 在区域B内各点均连续的函数称为在区域内B的连续函数 注意 连续的定义比实变函数要求更严格 数学物理方法第一章 4 思考 数学物理方法第一章 5 1 3导数 一 导数1 导数的定义 设函数是在区域B中定义的单值函数 对B内某一点 若极限存在 并且与的方式无关 则称在可导 并称这个极限值为在点的导数 记作 数学物理方法第一章 6 例1 设 解 例2 试证明 证明 而 所以 该函数在复平面上不可导 数学物理方法第一章 7 2 微分的定义 微分 或者 称之为函数的微分 3 导数和微分的法则和公式 实变函数与复变函数导数和微分的定义形式相同 因此实变函数所有的导数和微分的公式法则可推广到复变函数 数学物理方法第一章 8 常用公式 数学物理方法第一章 9 二 柯西 黎曼条件 C R条件 要解决的问题 给定一函数如何判断在点是否可导 在点可导的必要条件是存在 且满足C R条件 导数存在的必要条件 数学物理方法第一章 10 证明 由导数的定义知 以任何方式趋于零时 极限存在 且有相同的极限值 即与的方式无关 使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形 设 数学物理方法第一章 11 2 沿平行于y轴的方向趋于零 沿平行于X轴的方向趋于零 数学物理方法第一章 12 因为在可导 因此 所以 柯西 黎曼条件 C R条件 说明 A C R条件的有限性 B 可导函数的虚部与实部不是独立的 而是相互紧密联系的 数学物理方法第一章 13 三 导数存在的充分必要条件在B内点z可导的充要条件是 函数的偏导数存在且连续 并且满足C R条件 证明 板书 数学物理方法第一章 14 作业 试推导极坐标系中的C R条件 数学物理方法第一章 15 数学物理方法第一章 16 2 区域解析若函数在区域B内处处可导 则称f z 在区域B内解析 3 若函数在点a不解析 则称点a是f z 的奇点 1 点解析解析 数学物理方法第一章 17 数学物理方法第一章 18 数学物理方法第一章 19 数学物理方法第一章 20 二 函数解析的充要条件 函数在区域 或者点 解析的充要条件 说明 由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函数中加上很强的条件后选出来的一类特殊的复变函数 这一类函数在物理学中有广泛的应用 解析函数的实部和虚部通过C R条件互相联系 并不独立 数学物理方法第一章 21 三 解析函数的性质 1 正交性 若函数 证明 梯度 由C R条件 所以 数学物理方法第一章 22 1 调和性 若函数 数学物理方法第一章 23 数学物理方法第一章 24 四 解析函数的求解 由解析函数的充要条件可知 解析函数的实部和虚部通过C R条件联系 因此如果知道解析函数的实部或虚部 则可求解该解析函数 下面以虚部已知证明 1 证明 数学物理方法第一章 25 1 曲线积分法全微分的积分与路径无关 故可以选取特殊积分路径 使积分容易算出2 凑全微分显示法把du的等式右边凑成全微分显示3 不定积分法 2 方法 数学物理方法第一章 26 例1已知解析函数的实部 求虚部和这个解析函数 解 方法一 所以 C为常数 C为常数 C为常数 数学物理方法第一章 27 方法二 解 所以 数学物理方法第一章 28 方法三 将上面第二式对y积分 x视作参数 有 其中为x的任意函数 将上式两边再对x求导 由C R条件得 常数 所以 数学物理方法第一章 29 例2 2 已知解析函数的虚部 求实部和这个解析函数 方法三提示 数学物理方法第一章 30 场在物理上和工程技术上得到广泛应用 当所研究的场在空间某方向上是均匀的 则只需要在垂直于该方向的平面上研究它 这样的场便称为平面场 本节对解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍 解析函数 实 虚部是共轭调和函数 曲线族u 常数与v 常数是正交曲线族 1 5平面标量场 1 平面静电场在无电荷区 静电场电势满足拉普拉斯方程 电场所在区域上的某一解析函数的实部 或虚部 就可以用来表示该区域上的静电场的电势 这个解析函数称为平面静电场的复势 其实部或虚部就是电势 为叙述方便 这里说u是电势 u 常数 是等势线族 曲线族v x y 常量 垂直于等势线族 因而v 常量 是电场线族 数学物理方法第一章 31 例1 已知平面电场的电势为u x2 y2 求电场线方程 分析 等势面与电力线相互正交 对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部 满足C R条件 解 设电场线方程为 v x y c 电场线方程为 数学物理方法第一章 32 2 平面无旋液流由于无旋 速度矢量可表为某标量的梯度 该标量称速度势 用一解析函数f的实部或虚部表示速度势 该解析函数称该平面无旋液流的复势 其虚部或实部即是流量