压轴题经典.doc

数学综合练习题1椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于、两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明：.2. 以椭圆1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.3. 已知，二次函数f（x）ax2bxc及一次函数g（x）bx，其中a、b、cR，abc，abc0.（）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.4已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称（）求双曲线C的方程；（）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； （）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程5. 对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+， 数列是等差数列吗？请给予证明；（）令试比较与的大小6. 设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中nN*.(1) 求数列an的通项公式；(2)若T2n=a1+2a2+3a3+2na2n, Qn=,其中nN*,试比较9T2n与Qn的大小.7 已知=（x,0），=（1，y），（+）（）（I） 求点（x，y）的轨迹C的方程；（II） 若直线L：(0)与曲线C交于A、B两点，D（0，1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围参考答案1.（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解得 所以椭圆的方程为，离心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组得，依题意，得。设，则， 。 由直线PQ的方程得。于是。 ，。 由得，从而。所以直线PQ的方程为或（3）证明：。由已知得方程组注意，解得因，故。而，所以。2. 解：因a1，不防设短轴一端点为B（0，1）设BCykx1（k0）则AByx1 把BC方程代入椭圆，是（1a2k2）x22a2kx0|BC|，同理|AB|由|AB|BC|，得k3a2k2ka210即（k1）k2（1a2）k10 k1或k2（1a2）k10当k2（1a2）k10时，（a21）24由0，得1a，由0，得a，此时，k1故，由0，即1a时有一解，由0即a时有三解 3. 解：依题意，知a、b0abc且abc0a0且c0 （）令f（x）g（x），得ax22bxc0.（*）4（b2ac）a0，c0，ac0，0f（x）、g（x）相交于相异两点 （）设x1、x2为交点A、B之横坐标则|A1B1|2|x1x2|2，由方程（*），知|A1B1|2 ，而a0， 4（）21（3，12）|A1B1|（，2） 4解：（）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0该直线与圆相切，双曲线C的两条渐近线方程为y=x 故设双曲线C的方程为又双曲线C的一个焦点为 ， 双曲线C的方程为 （）由得 令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根因此 解得又AB中点为，直线l的方程为令x=0，得， （）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 由于点N是线段的中点，设，则，即代入并整理得点N的轨迹方程为 5. 解：（）因为所以 令，得，即 （） 又 两式相加 所以， 又故数列是等差数列（） 所以 6.（1）f1(0)=2,a1=,fn+1(0)=f1fn(0)=,an+1=an,数列an是首项为,公比为的等比数列，an=()n1.（2）T2n=a1+2a2+3a3+(2n1)a2n1+2na2n,T2n=(a1)+()2a2+()3a3+()(2n1)a2n1+()2na2n=a2+2a3+(2n1)a2nna2n,两式相减得T2n=a1+a2+a3+a2n+na2n,所以，T2n=+n()2n1=()2n+()2n1, T2n=()2n+()2n1=(1). 9T2n=1, Qn=1,当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9, 9T2nQn;当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,9T2nQn; 当n3时，22n=（1+1）n2=(C+C+C+C)2(2n+1)2,9T2nQn.7解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),=（x, 0）(1,y)= (x, y).(+)(), (+)()=0, (x+)( x)+y(y)=0, 故P点的轨迹方程为（II）考虑方程组 消去y，得（13k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*)显然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)0.设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=，x0=, y0=k