高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第6讲 离散型随机变量的均值与方差课件 理.ppt

第6讲离散型随机变量的均值与方差 1 离散型随机变量的均值和方差 一般地 若离散型随机变量x的分布列为 则称e x x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 均值和方差的性质设a b是常数 随机变量x y满足y ax b ae x b 则e y e ax b d y d ax b a2d x 3 两点分布及二项分布的均值和方差 p np 1 若x服从两点分布 则e x d x p 1 p 2 若x b n p 则e x d x np 1 p 1 已知 的分布列为 则e d a 0 b 0 2 c 1 d 0 3 2 已知随机变量 的分布列是 则d b a 0 6 b 0 8 c 1 d 1 2 解析 e 1 0 4 2 0 2 3 0 4 2 则d 1 2 2 0 4 2 2 2 0 2 3 2 2 0 4 0 8 d 3 已知 的分布列为 a e p d pqb e p d p2c e q d q2d e 1 p d p p2 其中p 0 1 则 c 考点1 离散型随机变量的期望 例1 2015年福建 某银行规定 一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误 该银行卡将被锁定 小王到银行取钱时 发现自己忘记了银行卡的密码 但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一 小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试 若密码正确 则结束尝试 否则继续尝试 直至该银行卡被锁定 1 求当天小王的该银行卡被锁定的概率 2 设当天小王用该银行卡尝试密码次数为x 求x的分布列和数学期望 解 1 设 当天小王的该银行卡被锁定 的事件为a 2 依题意 得x所有可能的取值是1 2 3 所以x的分布列为 规律方法 1 一般地 若离散型随机变量x的分布列为 则称e x x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 求数学期望 均值 的关键是求出其分布列 若已知离散型分布列 可直接套用公式e x x1p1 x2p2 xipi xnpn求其均值 随机变量的均值是一个常数 它不依赖于样本的抽取 只要找准随机变量及相应的概率即可计算 互动探究 1 2012年大纲 乒乓球比赛规则规定 一局比赛 双方比分在10平前 一方连续发球2次后 对方再连续发球2次 依次轮换 每次发球 胜方得1分 负方得0分 设在甲 乙的比赛中 每次发球 发球方得1分的概率为0 6 各次发球的胜负结果相互独立 甲 乙的一局比赛中 甲先发球 1 求开始第4次发球时 甲 乙的比分为1比2的概率 2 表示开始第4次发球时乙的得分 求 的期望 考点2 离散型随机变量的方差 例2 2013年浙江 设袋子中装有a个红球 b个黄球 c个蓝球 且规定 取出1个红球得1分 取出1个黄球2分 取出1个蓝球得3分 1 当a 3 b 2 c 1时 从该袋子中任取2个球 有放回 且每个球取到的机会均等 记随机变量 为取出这2个球所得分数之和 求 的分布列 2 从该袋子中任取1个球 且每个球取到的机会均等 记b c 解 1 由已知 得当两次取出的球分别是红红时 2 当两次取出的球分别是红黄 或黄红时 3 当两次取出的球分别是黄黄 红蓝 或蓝红时 4 当两次取出的球分别是蓝蓝时 6 所以 的分布列是 当两次取出的球分别是黄蓝 或蓝黄时 5 2 由已知 得 有三种取值即1 2 3 所以 的分布列是 故a b c 3 2 1 规律方法 1 一般地 若离散型随机变量x的分布列为 xn e x 2pn为随机变量x的方差 2 若x是随机变量 且y ax b 其中a b是常数 则y也是随机变量 则e y e ax b ae x b d y d ax b a2d x 3 均值体现了随机变量取值的平均水平 如果两个随机变量的均值相等 还要看随机变量的取值在均值周围的变化 方差大 说明随机变量取值较分散 方差小 说明取值较集中 互动探究 考点3二项分布的期望和方差 例3 某商店根据以往某种玩具的销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图9 6 1 将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售量相互独立 图9 6 1 1 估计日销售量的众数 2 求在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率 3 用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数 求随机变量x的分布列 期望e x 及方差d x 2 记事件a1 日销售量不低于100个 事件a2 日销售量低于50个 事件b 在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个 则p a1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 p a2 0 003 50 0 15 p b 0 6 0 6 0 15 2 0 108 3 x的可能取值为0 1 2 3 分布列为 因为x b 3 0 6 所以期望e x 3 0 6 1 8 方差d x 3 0 6 1 0 6 0 72 规律方法 若x b n p 则e x np d x np 1 p 互动探究 3 2013年福建 某联欢晚会举行抽奖活动 举办方设置了 人有且只有一次抽奖机会 每次抽奖中奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们 的累计得分为x 求x 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计的得分的数学期望较大 思想与方法 利用分类讨论思想求数学期望 例题 2014年湖北 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站 过去50年的水文资料显示 水的年入流量x 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超过120的年份有35年 超过120的年份有5年 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 并假设各年的年入流量相互独立 1 求在未来4年中 至多有1年的年入流量超过120的概 率 2 水电站希望安装的发电机尽可能运行 但每年发电机最 多可运行台数受年入流量x限制 并有如下关系 若某台发电机运行 则该台年利润为5000万元 若某台发电机未运行 则该台年亏损800万元 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机多少台 2 记水电站年总利润为y万元 安装1台发电机的情形 由于水库年入流量总大于40 故1台发电机运行的概率为 1 对应的年利润y 5000 e y 5000 1 5000 安装2台发电机的情形 依题意 当40 x 80时 1台发电机运行 此时y 5000 800 4200 因此p y 4200 p 40 x 80 p1 0 2 当x 80时 2台发电机运行 此时y 5000 2 10000 因此p y 10000 p x 80 p2 p3 0 8 由此得y的分布列如下 所以e y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安装3台发电机的情形 依题意 当40120时 3台发电机运行 此时y 5000 3 15000 因此p y 15000 p x 120 p3 0 1 由此得y的分布列如下 所以e y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 综上所述 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装 发电机2台 规律方法 本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力 关键在于如果迅速 准确将信息提取 加工 构建数学模型 化归为数学期望问题 1 古典概型中 a发生的条件下b发生的条件概率公式为 其中 在实际应用中p b a n ab n a 是一种重要的求条件概率的方法 2 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响 计算式为p ab p a p b 互斥事件是指在同一试验中 两个事件不会同时发生 计算公式为p a b p a p b 3 二项分布是概率论中最重要的几种分布之一 在实际应 用和理论分析中都有重要的地位 1 判断一个随机变量是否服从二项分布 关键有